Урок алгебры в 9 классе по теме "Арифметическая прогрессия"

МБОУ «Ноздрачевская средняя общеобразовательная школа» Курского района Курской области

Автор разработки – Алябьева Марина Ивановна

Должность: учитель математики

Урок алгебры в 9 классе

Тема: Арифметическая прогрессия

Цели: 1.(образовательная) обобщить и систематизировать теоретические знания по теме «Арифметическая прогрессия»; совершенствовать навыки нахождения п-гочлена и суммы п первых членов арифметической прогрессии с помощью формул;

2.(развивающая) развивать познавательный интерес учащихся, учить их видеть связь между математикой и окружающей жизнью; развивать грамотную математическую речь;

3.(воспитательная)воспитывать волю и настойчивость для достижения конечных результатов; воспитание уважительного отношения к одноклассникам.

Задачи урока:

Образовательные:

Закрепить навыки решения задач по данной теме с использованием формул.

Установить, действительно ли прогрессии играют большую роль в повседневной жизни.

Сформировать навыки применения знаний к решению прикладных задач.

Воспитательные:

Воспитывать умение делать самооценку своих знаний, умение работать в парах.

Содействовать воспитанию интереса к математике и ее приложениям, активности, умению общаться.

Развивающие:

Развивать умение анализировать, сравнивать, обобщать; чётко и сжато выражать мысли.

На конкретных примерах применения прогрессий убедиться в том, что алгебра является частью общечеловеческой культуры.

Продолжить развитие логического мышления и вычислительной культуры учащихся.

УУД:

Регулятивные: прилагать волевые усилия и преодолевать трудности и препятствия на пути достижения целей.

Личностные: оценивать усваиваемое содержание (исходя из социальных и личностных ценностей).

Коммуникативные: аргументировать свою точку зрения, вступать в диалог, участвовать в дискуссии и аргументировать свою позицию.

Познавательные: анализировать, сравнивать, классифицировать и обобщать факты, преобразовывать информацию.

Тип урока: урок комплексного применения знаний и умений.

Формы организации деятельности на уроке:

фронтальная

индивидуальная

групповая

Методы:

словесные;

наглядные;

практические.

Форма проведения урока: урок-игра (восхождение на пик горы «Победа»)

Девиз урока: «Победу нам так просто не добыть, чтоб до нее дойти, нам нужно знания на уроке применить»

Ход урока

1. Организационный этап (подготовительный)

Сегодня мы с вами совершим восхождение на пик горы «Победа». Гора Победа считается наивысшей точкой в Сибири. Гора расположена в Якутии, недалеко от Полярного круга. Когда-то это был слоистый вулкан, который извергался примерно 750 лет назад. Его высота составляла более 3000 метров. На сегодняшний день его высота почти 2500 метров. Уменьшение произошло из-за многочисленных разрушений в результате извержений. Свое название гора получила в честь победы над фашистами в 1945 году. Гору обнаружил географ С.И. Обручев, который с 20-х годов XX века неоднократно собирал в эти края экспедицию. Но первое восхождение на Победу случилось в 1966 году. Хотя есть данные, что гору обнаружили еще раньше, в конце XIX веке.

Девиз урока: «Победу нам так просто не добыть, чтоб до нее дойти нам нужно знания на уроке применить». А вот по какой теме, вы сейчас попробуете ответить.

Какая тема объединяет понятия?

Разность

Суммаn первых членов

Первый член

Среднее арифметическое

(арифметическая прогрессия) Тема нашего урока: «Арифметическая прогрессия» (записывают дату, классная работа, тема урока)

Ребята, предлагаю вам послушать « Притчу о целеустремленной лягушке».

Притча о целеустремленной лягушке

Собрались несколько лягушек и разговорились.

- Как жаль, что мы живём в таком маленьком болоте. Вот бы добраться до соседнего болота, там значительно лучше! – проквакала одна лягушка.

- А я слышала, что в горах есть отличное место! Там чистый большой пруд, свежий воздух, и нет этих хулиганов-мальчишек, – мечтательно проквакала вторая лягушка.

- А вам-то что с этого? – огрызнулась большая жаба. – Всё равно вам туда никогда не добраться!

- Почему не добраться? Мы лягушки можем всё! Правда, друзья? – сказала лягушка-мечтатель и добавила, - давайте докажем этой вредной жабе, что мы сможем переехать в горы!

- Давайте! Давайте! Переедем в большой чистый пруд! – заквакали все лягушки на разные голоса.

Так они все стали собираться к переезду. А старая жаба рассказала всем жителям болота о «глупой затеи лягушек».

И вот когда лягушки двинулись в путь, все, кто остался в болоте, в один голос закричали:

- Куда вы, лягушки, это же НЕВОЗМОЖНО! Вы не дойдёте до пруда. Уж лучше сидеть в своём болоте!

Но лягушки не послушали, и двинулись в путь. Несколько дней они шли, многие выбивались из последних сил и отказывались от своей цели. Они поворачивали обратно в родное болото.

Все, кого встречали лягушки на своём нелёгком пути, отговаривали их от этой безумной затеи. И так их компания становилась всё меньше. И только одна лягушка не свернула с пути. Она не вернулась обратно в болото, а дошла до чистого красивого пруда и поселилась в нём.

Почему именно она сумела достичь цели? Может, она была сильнее других?

Оказалось, что эта лягушка просто была ГЛУХАЯ! Она не слышала, что это НЕВОЗМОЖНО! Не слышала, как её отговаривали, именно поэтому именно она легко добралась до своей цели!

"Чтобы дойти до цели, надо, прежде всего, идти"Оноре́ де Бальза́к (французский писатель). И мы с вами не будем стоять на месте, а будем идти только вперед.

Закончился двадцатый век.

Куда стремится человек?

Изучен космос и моря,

Строенье звезд и вся земля.

Но математиков зовет

Известный лозунг

«Прогрессио – движение вперед»

Давайте совместно определим цели нашей работы на уроке. Для этого я вам предлагаю прочитать некоторые мысли, выбрать наиболее подходящие для нашей работы и дополнить их: Умение применять формулы... Умение грамотно … Умение обобщать, систематизировать… Умение логически … Умение применять … Умение работать…

Сегодня на уроке мы подведем итоги по теме «Арифметическая прогрессия», проверим свои знания и навыки при выборе нужных формул, ответим на вопрос, а встречаются ли прогрессии в жизни?

Итак, добро пожаловать в страну «Арифметическая прогрессия».

Мы отправляемся покорять большую гору, которая называется «Победа».

А что значит: покорить гору? Как вы думаете? (Предлагают варианты. Значит дойти до ее вершины.) А что такое горы?

(Что об этом говорят словари? «Горы – это возвышенные участки земной поверхности, круто поднимающиеся над окружающей территорией. В отличие от плато, вершины в горах занимают небольшую площадь».

Давайте проверим, насколько вы готовы начать восхождение.

2. Проверка домашнего задания

Мы сейчас находимся у подножия горы. Вам на дом были даны пять заданий, которые встречаются в ОГЭ по математике. Откройте домашние работы и проверьте их с эталоном решения. В конце урока вы мне сдадите тетради с вашими работами.

Задания для домашней работы к уроку «Арифметическая прогрессия»

1) Дана арифметическая прогрессия (а_n), разность которой равна -1,7; a₁ = 2,7. Найдите а₁₆.

2) Дана арифметическая прогрессия (а_n), для которой а₄ = -5, а₈ = 4. Найдите разность прогрессии.

3) Арифметическая прогрессия (а_n) задана условиями: а₁ = -23, а_n+1 = a_n + 13. Найдите а₁₄.

4) В зрительном зале кинотеатра в каждом из первых пяти рядов по 16 мест, а в каждом следующем ряду, начиная с шестого, на 2 места больше, чем в предыдущем. Сколько мест в зрительном зале, если всего в нем 12 рядов?

5) Найдите сумму всех натуральных чисел, не превосходящих 250, которые при делении на 4 дают в остатке 3.

Решения задач по теме «Арифметическая прогрессия» (домашняя работа)

1) Дано: а₁ = 2,7; d = -1,7.

Найти: а₁₆

Решение

а₁₆ = а₁ + 15d

а₁₆ = 2,7 + 15 · (-1,7) = 2,7 – 25,5 = - 22,8

Ответ: -22,8

2) Дано: а₄ = -5, а₈ = 4

Найти:d

Решение

а₈ = а₄ + 4d

4 = -5 + 4d

4d = 9

d = 9 : 4

d = 2,25

Ответ: 2,25

3) Дано: а₁ = -23, а_n+1 = a_n + 13

Найти: а₁₄

Решение

а₂ = а₁ + 13

а₂ = -23 + 13 = - 10

d = а₂ – а₁

d= -10 – (-23) = -10 + 23 = 13

а₁₄ = а₁ + 13d

a₁₄ = -23 + 13 · 13 = -23 + 169 = 146

Ответ: 146

4) Дано: первые пять рядов – по 16 мест в каждом; 6 ряд – 18 мест, 7 ряд – 20 мест и т. д. Всего 12 рядов.

Найти: количество мест в зале

Решение

1. 5 · 16 = 80 мест в первых пяти рядах.

2. 18; 20; … - это арифметическая прогрессия, в которой а₁ = 18, d = 2, n = 7.

S_n =

S₇ = · 7

S₇ = · 7

S_{7 =} 24 · 7 = 168

3. 80 + 168 = 248 мест в зрительном зале

Ответ: 248 мест

5) Дано: натуральные числа ≤ 250, при делении на 4 дают в остатке 3

Найти: сумму этих натуральных чисел

Решение

3; 7; 11; …; 247. Это арифметическая прогрессия, в которой а₁ = 3, d = 4, а_n = 247. Найдем количество членов этой прогрессии.

= + (n – 1)d

247 = 3 + (n – 1) · 4

(n – 1) · 4 = 244

n – 1 = 61

n = 62

S_n =

S₆₂ = · 62

S_{62 =} 250· 31 = 7750

Ответ: 7750

3. Актуализация знаний учащихся (поднятие на склон)

Работа в парах

а) Найди соответствие между формулой и ее названием

б) Найди последовательности, которые являются арифметической прогрессией

поставьте рядом «+», если является и «-», если не является

1. -3; 0; 4; 7; 11; 14; …

2. 0; 4; 8; 12; 16; …

3. 1; 2; 4; 8; 16; …

4. -2; 4; 10; 16; 22; …

5. 32; 22; 12; 2; -8; …

6. 7; -7; 7; -7; 7 …

7. 8; 8; 8; 8; 8 …

в) Найдите первые четыре члена арифметической прогрессии, заданной формулой:

1)_n=3n-3 0; 3; 6; 9;…

2)_n=2+4n 6; 10; 14; 18;…

3)_n=4 –n 3; 2; 1; 0; …

4. Прогрессии в жизни и быту (решение задач)

Продолжаем подниматься на следующий склон

1) Родители ко Дню рождения своего сына решили купить ему мобильный телефон. Для этого они в первый месяц отложили 600 рублей, а в каждый последующий месяц они откладывали на 50 рублей больше, чем в предыдущий. Какая сумма будет у родителей через 10 месяцев? Хватит ли им денег на покупку телефона, который стоит 8200 рублей?

Дано:₁ = 600, d = 50, n = 10

Найти:S₁₀

Решение

S₁₀ = · 10

S₁₀ = · 10

S₁₀ = (1200 + 450) · 5

S₁₀ = 1650 · 5 = 8250 руб.

Ответ: 8250 рублей, денег хватит на покупку телефона

2)В спорте: Альпинисты в первый день восхождения поднялись на высоту 1400 м, а затем каждый следующий день они проходили на 100 м меньше, чем в предыдущий. За сколько дней они покорили высоту в 5000 м?

Дано:₁ = 1400, d = -100, Sn = 5000

Найти:n

Решение

S_n =

5000 = ·

10000 = (2800 – 100(n – 1)) · n

10000 = (2800 – 100n + 100) · n

10000 = (2900 – 100n) · n

2900n – 100n² – 10000 = 0

n²– 29n + 100 = 0

D = (-29)² – 4 · 1 · 100 = 841 – 400 = 441

n₁ = = 25

n₂ = = 4

еслиn = 25, то a₂₅ = 1400 + 24 · (-100) = 1400 – 2400 = -1000<0 не удовлетворяет условию a_n > 0

Ответ: за 4 дня

3) Задача «Наследство».

Джентльмен получил наследство. Первый месяц он истратил 1000$, а каждый следующий месяц он тратил на 500$ больше, чем в предыдущий. Сколько $ он истратил за второй месяц? За третий? Каков размер наследства, если денег хватило на год такой безбедной жизни?

Дано:₁ = 1000, d = 500, n = 12

Найти:S₁₂

Решение

S_n =

S₁₂ = · 12

S₁₂= (2000 + 5500) · 6

S₁₂ = 7500 · 6

S₁₂ = 45000$

Ответ: 45000$

Физ.минутка (привал)

Хлопните в ладоши те, кто устал.

Встаньте те, кому интересна математика и тема нашего урока.

Поверните голову вправо те, кому понятна тема сегодняшнего урока, остальные – голову вперед наклоняют.

Поверните голову влево те, у кого сейчас хорошее настроение.

Поднимите руки вверх те, кто старается и делает все, чтобы учиться как можно лучше.

Зажмурьте глаза, кто любит мечтать.

4) За 16 дней Карл украл у Клары 472 коралла. Каждый день он крал на 3 коралла больше, чем в предыдущий день. Сколько кораллов украл Карл в последний день?

Дано:S₁₆ = 472, d = 3

Найти:a₁₆

Решение

S_n =

S₁₆ = · 16

472 = (2+ 45) · 8

2+ 45 = 472 : 8

2+ 45 = 59

2= 14

= 7

= 7 + 15 · 3

= 52

Ответ: Карл украл 52 коралла в последний день

5) Строя пирамиды для фараонов египтяне в каждом следующем ряду плит устанавливали на одну плиту меньше, чем в предыдущем. На самом верху стены возвышается одна плита. Сколько всего плит понадобится только для одной стены пирамиды, если плиты стоят в 60 рядов?

Ряды считаем сверху

1; 2; 3; 4; 5; …

= + 59d

= 1 + 59 · 1 = 60

S_n =

S₆₀ = · 60

S₆₀= 61 · 30 = 1830

Ответ: в одной стене пирамиды 1830 плит.

6) Отдыхающий, следуя совету врача, загорал первый день 5 мин., а в каждый последующий день увеличивал время пребывания на солнце на 5 мин. В какой день недели время его пребывания на солнце будет равно 50 мин., если он начал загорать во вторник.

Дано: = 5; d = 5; = 50

Найти:n

Решение

= + (n – 1)d

50 = 5 + (n – 1) · 5

(n – 1) · 5 = 45

n – 1 = 9

n = 10

Ответ: на десятый день, то есть в четверг

5. Тестирование

Тестирование по теме «Арифметическая прогрессия»

Вариант 1

1. У арифметической прогрессии первый член равен 7, второй равен 5. Найти разностьd.

А) 2 Б) -2 В) 12 Г) -12

2. У арифметической прогрессии первый член 5, второй 2. Найти третий член.

А) 3 Б) -3 В) 1 Г) -1

3. Найти седьмой член арифметической прогрессии, если ее первый член равен 2, а разность равна 5.

А) 30 Б) -28 В) 32 Г) 37

4. а₃=14; а₆= 26. Найдите d

А) 4 Б) -4 В) 10 Г) -10

5. Между числами 8 и 14 вставьте такое число, чтобы полученная последовательность чисел образовала арифметическую прогрессию.

А) 13 Б) 10 В) 12 Г) 11

Вариант 2

1. У арифметической прогрессии первый член равен 9, второй равен 6. Найти разностьd.

А) 15 Б) -15 В) 3 Г) -3

2. У арифметической прогрессии первый член 7, второй 2. Найти третий член.

А) 3 Б) -3 В) 5 Г) -5

3. Найти шестой член арифметической прогрессии, если ее первый член равен 3, а разность равна 4.

А) 23 Б) 20 В) 17 Г) -17

4. а₄=12; а₇= 24. Найдите d

А) 4 Б) -4 В) 36 Г) -36

5. Между числами 7 и 13 вставьте такое число, чтобы полученная последовательность чисел образовала арифметическую прогрессию.

А. 9

Б. 10

В. 11

Г. 12

Ответы к тесту по теме «Арифметическая прогрессия»

6. Рефлексия

Ребята, а теперь сами оцените свою работу на уроке. Перед вами карточка с изображением горы. Если вы считаете, что хорошо усвоили на уроке, разобрались в понятии арифметической прогрессии, то нарисуйте флажок на вершине горы. Если осталось что-то неясно, нарисуйте флажок ниже на склоне, а если материал не усвоен, то у подошвы горы.

Кто спрашивает – переходит горы; кто не спрашивает – заблудится и на равнине - пословица.

Подошва (подножие) – это место, где начинается холм (гора).

Вершина – самая высокая часть холма или горы.

Склоны – это часть горы или холма, которая располагается между подошвой и вершиной.

Урок сегодня завершён

Но каждый должен знать:

Познание, упорство, труд

К прогрессу в жизни приведут!

Умственная физминутка: математический анекдот: Однажды Шерлок Холмс и его неизменный спутник Ватсон отправились в путешествие на воздушном шаре. Сильный ветер погнал их шар в неизвестном направлении. Затем ветер несколько унялся, и они приземлились в пустынной и загадочной местности.

Вскоре, однако, они заметили приближающегося к ним человека.

- Не могли бы вы хотя бы приблизительно. Сказать нам. Где мы находимся? – спросил его Холмс.

Человек задумался на некоторое время и затем ответил:

- Почему приблизительно? Я могу ответить абсолютно точно. Вы находитесь в гондоле воздушного шара.

Очередной порыв ветра понёс шар дальше в неизвестном направлении.

- Чёрт бы побрал этих математиков! – раздражённо проговорил Шерлок Холмс.

- А почему Вы считаете, что этот человек был математиком? – как всегда удивился Ватсон.

- Ну, во–первых, прежде чем ответить, он подумал. А во–вторых, его ответ был абсолютно точен и абсолютно бесполезен для нас.

Хочется закончить урок лозунгом многих математиков XVII века:  «Двигайтесь вперед, и вера в правильность результатов к вам придет!»

Вера и гору с места сдвинет.

Задания для домашней работы

1. Дан ряд високосных годов 2000, 2004, 2008, 2012, 2016, 2020,…, 2100. Определите сумму данного ряда. (53300)

2. Найдите сумму пронумерованных страниц вашего учебника.(27028)

3. Найдите сумму всех двузначных чисел, кратных 4. (1188)

4. Людям, которые копают колодец, обещают за первый метр зарплату 1000 рублей, за каждый следующий - на 500 рублей больше, нежели за предыдущий метр. Какую зарплату получат рабочие за копание 12-метрого колодца? (Ответ.6500 рублей)

5. Цена холодильника в магазине ежегодно уменьшается на одну и ту же сумму. Определите, на сколько каждый год уменьшалась цена холодильника, если, выставленный на продажу за 20000 рублей, через пять лет был продан за 12750 рублей.

Дано: a₁=20000; a₆=12750 Найти: d
a_n=a₁+d(n−1) ⇒ 12750=20000+5d ⇒ d=−1450 (руб).
Ответ: −1450