Методическая разработка «Предикаты»

УПРАВЛЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ ЛИПЕЦКОЙ ОБЛАСТИ

ГОАПОУ «Липецкий металлургический колледж»

для специальности (группы специальностей):

Липецк-2021

Методические указания по выполнению практических работ по учебной дисциплине ОП 08 «Дискретная математика»

Составитель : Афанасьева Л.Н., преподаватель математических дисциплин

Методические указания по проведению практических работ предназначены для студентов ГОАПОУ «Липецкий металлургический колледж» специальности 09.02.01 Компьютерные системы и комплексы для подготовки к практическим работам с целью освоения практических умений и навыков и профессиональных компетенций.

Методические указания по проведению практических работ составлены в соответствии с рабочей программой учебной дисциплины « Дискретная математика» (дисциплина входит в математический и общий естественнонаучный учебный цикл учебного плана специальности 09.02.01 Компьютерные системы и комплексы по программе базовой подготовки).

Введение

Методические указания по проведению практических работ составлены в соответствии с содержанием рабочей программы учебной дисциплины « Дискретная математика» (дисциплина входит в математический и общий естественнонаучный учебный цикл учебного плана специальности 09.02.01 Компьютерные системы и комплексы по программе базовой подготовки).

Практические работы направлены на освоение следующих практических умений и знаний согласно требованиям ФГОС СПО специальности09.02.01 Компьютерные системы и комплексы, рабочей программы дисциплины « Дискретная математика».

уметь:

- находить область истинности предикатов

- построение отрицаний к предикатам, содержащим

кванторные операции;

знать:

- область истинности предикатов;

- операции над предикатами;

- равносильность предикатов;

Методические указания по проведению практических работ содержат теоретическую часть, который кратко представляет основной материал, необходимый для освоения коммуникативных умений и знаний; практические задания; контрольные вопросы для самопроверки.

Методические указания по проведению практических работ могут быть использованы студентами для самостоятельной работы, преподавателями на учебных занятиях по математике.

Практические работы следует проводить по мере прохождения студентами теоретического материала.

Методические указания к выполнению практической работы для студентов

1. К выполнению практической работы необходимо подготовиться до начала учебного занятия.

2. При подготовке к практической работе используйте рекомендованную литературу, предложенную в данных методических указаниях, конспекты лекций.

3. К выполнению работы допускаются студенты, освоившие необходимый теоретический материал.

4. Студенты обязаны иметь при себе линейку, карандаш, калькулятор, тетрадь.

5. По окончании выполнения практической работы проверьте себя, ответив на контрольные вопросы для самопроверки.

6. Если практическая работа не сдана в указанные сроки (до выполнения следующей практической работы) по неуважительной причине, оценка снижается.

Практическая работа №8

Цель практического занятия:

Корректировать знания, умения и навыки по теме:«Определение логического значения предикатов».

Закрепить и систематизировать знания по теме.

Порядок выполнения работы:

1. Усвоить теоретический материал по теме«Определение логического значения предикатов».

2. Ответить на контрольные вопросы для самопроверки.

3. Выполнить и записать задания практической работы в тетрадь по математике.

4. Сдать выполненную практическую работу на проверку преподавателю

Теоретическая часть:

В математике постоянно используются высказывания, зависящие от одной

или нескольких переменных.

Предложения, в которые входят переменные и которые при замене этих

переменных их значения становится высказываниями, называютсяпредикатами.

Если предложение зависит от одной переменной, то это одноместный

предикат, от двух переменных, то это двуместный предикат и т.д.

!!!Высказывание –нульместный предикат.

МножествоРзначение переменных при подстановки, которых в предикат

получается истинное высказывание, называетсямножеством истинности предиката.

Если предикат двуместный, трехместный и т.д., то для каждой переменной

должно быть указано множество его значений.

Истинное высказывание - называют областью истинности предиката.

Обозначение предикатов:

Р(х), где х Х –одноместный предикат;

Р(х, у), где х Х, у У – двуместный предикат.

Тождественно истинным называется предикат истинный всюду на области определения.

Тождественно ложным называется предикат, множество истинности которого пусто.

Предикат, который не является тождественно истинными и тождественно ложными называются выполнимыми.

Пример: Дан предикат, определить его множество истинности.

х<7, х є N

={1,2,3,4,5,6}.

Пример:

Москва- столица России - нульместный предикат, тождественно истинный(ти)

() -не является предикатом , т.к. при подстановки конкретных не получится высказывание.

_{-одноместный предикат, тождественно истинный (ти).}

_{,-двуместный предикат, тождественно ложный (тл).}

_{-выполнимый одноместный предикат.}

На предикаты переносятся все операции, которые мы осуществляли над высказываниями(), кроме того для предикатов существует еще две операции:

Квантор общности для всех имеет место ₍

Квантор существования существует , для которого найдется

∀- квантор общности, используется вместо слов "для всех", "для любого".

∃- квантор существования, используется вместо слов "существует", "имеется". Используется также сочетание символов ∃!, которое читается, как существует единственный.

Пример№1: «студент группы у ЛМК» , _{-это множество студентов.}

-найдется студент группы у ЛМК - ти

-каждый студент , является студентом группы у ЛМК – тл

Пример№2:

1)X – это множество людей; Р() : «Рост человека меньше 180 см».

Рассмотрим все варианты навешивания кванторов, определим их истинность:

()Р() – «У всех людей рост меньше 180 см» - тл

()Р() – «У некоторых людей рост меньше 180 см» - ти

( )Р()–«У единственного человека рост меньше 180 см» - тл

Пример№3:

_Р() : «Число кратно 5»,

₍)Р() –любое натуральное _{кратно 5 (тл)}

()Р()- найдется натуральное число _{кратное 5 (ти).}

Построение отрицаний к предикатам, содержащим

кванторные операции

1.Для построения отрицаний высказываний, содержащих квантор существования, нужно заменить его квантором всеобщности,

а предложение, стоящее после квантора, заменить его отрицанием.

2.Для построения отрицаний высказываний, содержащих квантор всеобщности, нужно заменить его квантором существования,

а предложение, стоящее после квантора, заменить его отрицанием.

Пример: Постройте отрицание

Конъюнкцией двух предикатов F() и Q(), имеющих общую область

определения X, называют такой предикат F()Q(),, что для любого

значение этого предиката является конъюнкцией высказываний F() Q().

Множество истинности для предиката F()Q()служит пересечением

множеств истинности F() и Q().

Пример: Даны предикаты. Найти множество истинности конъюнкции

предикатов.

Дизъюнкцией двух предикатов F() и Q(), называется такой предикат

F() Q(), что для всех

значение этого предиката является дизъюнкция

высказываний F()VQ().

Множество истинности для предиката F() Q(), является объединение

множеств истинности F() и Q().

Пример: Даны предикаты. Найти множество истинности дизъюнкции

предикатов.

Импликацией двух предикатов F() и Q(), определенных на одном и том же

множестве Х, называют предикат F() Q(), который при любом , имеет значение F()Q().

Пример: Даны предикаты. Составить импликацию предикатов и выяснить

их истинность

Эквиваленцией двух предикатов F() и Q(), определенных на одном и том

же множестве Х, называют предикат F() Q(), такой, что для всех

его значение равно F() Q()

Пример: Даны предикаты. Составить эквиваленцию предикатов и выяснить

их истинность

Отрицанием предиката F() называется , определенный

одним и тем же множеством Х, значением которого для любого , является

отрицание выказывания .

_{формуле операциями:} = I_P ∪ I_Q, I_{P∧ Q} = I_P ∩ I_Q , I_P→Q = I ∪ I_Q, ,

Пример: Найти область истинности предиката

P ( X, Y ) = (( X + Y ) - нечётно ) ∨ (( X - Y ) делятся на 3) , где X = {1;3;6;7}, Y = {2;4;5}.

Решение.

Составим таблицы истинности для предикатов P₁ ( X, Y ) = (( X + Y) - нечётно),

P₂( X, Y ) = (( X - Y ) - делятся на 3без остатка),

P = P₁ ∨ P₂.

I_P = I _P1∨P2 = I_P1 ∪ I_P2 = {(1,2), (1,4), (3,2), (3,4), (6,5), (7,2), (7,4)} ∪ {(1,4), (7,4)} = { (1,4), (7,4)}.
Ответ: I_P = {(1,2), (1,4), (3,2), (3,4), (6,5), (7,2), (7,4)}.

Пример: Найти область истинности предиката

P ( X ) = (( число 3 не делитель x ) → ( x ≤ 6 ))

на множестве однозначных натуральных чисел.

Решение.

Определим области истинности предикатов P₁ : (число 3 не делитель на x),

P₂ : x ≤ 6,

P = P₁→ P₂ .

I_P1 = {2,4,5,7,8,}, I_P2 = {1,2,3,4,5,6}, I_P = I_P1→P2  = {1,2,3,4,5,6,9}.

Ответ: I _P = {1,2,3,4,5,6,9}.

Формализация предложений с помощью логики

предикатов

1. Выделить простейшие высказывания; ввести подходящие

предикаты на соответствующих множествах.

2. С помощью логических операций и кванторов построить

формулы.

Пример Формализировать предложения с помощью логики предикатов:

Всякая функция, непрерывная на [0,1] сохраняет знак или принимает нулевое значение.

Решение:

X– функция; Q(x)– x непрерывна на [0,1], P(x)– x сохраняет

знак, R(x) – xпринимает нулевое значение

(Q(x))→P(x) R(x)).

Пусть даны два предиката, определенные на одном множестве. Высказывательные формы и назовемравносильными, если при любом наборе значений переменных, входящих в них, высказывательные формы принимают одинаковые значения истинности:

Если , то

Пример: Определить равносильность предикатов:

:

Решение: : или

:, предикаты не равносильны и

Контрольные вопросы для самопроверки:

1.Что называется предикатом? Приведите примеры предикатов.

2.Что называется множеством истинности предиката?

3.Какие предикаты называются одноместными, двуместными, n-местными?

4.Перечислите операции, которые можно осуществлять над предикатами.

Практическая работа №8

Задание для практической работы