РФ ДВФО Приморский край
КОНСПЕКТ ФАКУЛЬТАТИВА ПО МАТЕМАТИКЕ
АЛГОРИТМЫ ПИФАГОРОВЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ
Часть первая:
геометрическая интерпретация степени квадрата, сумм квадратов, создание алгоритма и универсальных формул, для вычисления всех Пифагоровых троек.
Часть вторая:
использование алгоритма и универсальных формул из части первой настоящего факультатива, для вычисления любых Пифагоровых ' n' последовательностей.
Часть третья:
алгоритм специальных последовательностей сумм квадратов, формально не являющихся Пифагоровыми, но вычисляемыми по такому же алгоритму и формулам.
Для 7– 11 классов средних общеобразовательных школ
Алексей Владимирович Левченко
Приморский край.
2023 год
Факультатив по Пифагоровым последовательностям.
Часть первая Пифагоровы тройки.
Автор: Алексей Владимирович Левченко
Цель: закрепление понятия степени числа, графический и геометрический алгоритм сумм квадратов, выведение формул для Пифагоровых троек, практические вычисления.
.
1) Если рассматривать квадраты чисел не в качестве соотношений катетов с гипотенузой, а как площади квадратов, составленных из единичных квадратов со стороной 1, можно создать удобный для учеников алгоритм формирования уравнений, для Пифагоровых троек.
2) Смысл метода в том, что любой квадрат, надстраивается единичными квадратами, минимально возможным способом:
к одной стороне надстраиваемого квадрата, присоединяется точно такая же, "у".
И к прилежащей стороне, присоединяется такая же: у + у = 2у
3) Остаётся заполнить одним единичным квадратом вершину, между присоединёнными элементами:
2у + 1, это величина надстройки.
4) Учитывая, что вся надстройка, это весь квадрат-"надстройщик", то
х² = 2у + 1=> у = (х² - 1): 2.
5) Таким образом, минимально возможная надстройка, графически – в виде прямого угла из единичных квадратов.
Значит – сторона надстраиваемого квадрата, увеличится на единицу.
6) В силу правил арифметики, количество единичных квадратов в надстройке, всегда нечётное.
То есть: х² нечётное число, соответственно ′х′– нечётное число.
7) Необходимо разделитьх² так, чтобы получились три части – это будут две стороны надстраиваемого квадрата, и плюс один единичный угловой квадрат , вершина надстройки, соединяющий две стороны.
8) Сторона первого квадрата – х; второго квадрата y = (x² - 1): 2; соответственно сторона результата
z = (x² - 1): 2 + 1.
9) [Напоминание из предыдущего факультатива: эти формулы, относительно только одной надстройки, когда х² – минимальная, единственная – и значит нечётная надстройка].
10) Пример:
возьмём любое* нечётное число х, от трёх и выше. Возведём в квадрат: 3²=9, это площадь первого квадрата, она же, величина надстройки для второго квадрата.
11) Вычислим сторону другого квадрата, для этого– вычтем из х² единицу («угловой» квадрат), 9-1=8, получив удвоенную искомую сторону*; поэтому, разделим результат на два8:2=4.
Готовы две стороны, 3 и 4.
12) Поскольку известно, что одна надстройка, увеличивает сторону квадрата ровно на единицу, то =>
воспользуемся формулойy = (x² - 1): 2, из которой следует формула:
z = y + 1 = (x² - 1): 2 +1;
z = (x² - 1): 2 + 1;
z = (9 - 1) : 2 + 1 = 5.
13) [Или суммировать квадраты, и затем извлечь корень, кому так удобней].
Пифагорова тройка: 3, 4, 5.
14)Если же необходимо увеличить сторону надстраиваемого квадрата не на единицу, а сразу на две, то нужны две подряд надстройки.
Одна надстройка нечётная, значит две надстройки – чётное число.
15) Поэтому икс, основание и сторона первого квадрата, тоже чётное число, как и квадрат – тоже чётный.
Следующая надстройка, всегда больше предыдущей на два: так как её сторона больше на единицу и плюс «свой» угол.
16) Значит надо взять любое чётное натуральное число икс, от четырёх и больше, (основание и сторону первого квадрата), возвести в квадрат, и разделить его на два, ибо надстроек две => x² : 2.
17) Надстройки отличаются на два, значит от результата надо вычесть единицу [которую можно прибавить ко второй половине, если это зачем-то понадобится, тогда ученикам будет видно,что разница станет ровно два] => x² : 2 - 1.
Это величина первой, меньшей надстройки.
[x²:2+1, величина второй, большей надстройки].
18) Итак: получив формулу меньшей надстройки, нужно вычесть из неё угловой квадрат, получив удвоенную сторону игрек.
(x² : 2 - 1) - 1 = x² : 2 - 2;
2у = x² : 2 - 2, удвоенная сторона надстраиваемого квадрата.
19) Разделив на два, получим сторону*:
у = (x² : 2 - 2) : 2.
20) Поскольку надстроек было две, значит сторона игрек, до стороны зет, увеличена ровно на две единицы:
z = у + 2 = (x² : 2 - 2) : 2 + 2.
21) Три примера:
х=4; 4²=16; 16:2=8; 8-2=6; 6:2=3; 3+2=5 Пифагорова тройка 4, 3, 5.
х=6; 6²=36; 36:2=18; 18-2=16; 16:2=8; 8+2=10 Пифагорова тройка 6, 8, 10.
х=8; 8²=64; 64:2=32; 32-2=30; 30:2=15; 15+2=17 Пифагорова тройка 8, 15, 17.
22) В силу правил арифметики, равенства сторон квадрата, все вышеуказанные соотношения, жёстко детерминированы.
Поэтому из формул и примеров следует, что число надстроек, равно:
-- числу, вычитаемому из части квадрата-"надстройщика",
-- разности между настройками,
-- количеству всех вершин – «угловых», единичных квадратов надстроек,
-- каждому делителю квадрата стороны, [квадрата-донора] т. е. х²
-- числу единичных квадратов (единиц), на которые увеличена сторона игрек, до стороны зет.
23) Тогда рассмотренный в п.22 универсальный коэффициент, обозначим символом k.
Исходя из вышеизложенного, можно составить общие формулы.
24) Для нечётных икс, k – нечётное число. Для чётных икс, k – чётное число:
у = (х² : k - k) : 2; z = (х² : k - k) : 2 + k
25) Рассмотрим примеры:
для х=24;
24²=576; 576:2=288; 288-2=286; 286:2=143; 143+2=145. Тройка 24, 143, 145.
24²=576; 576:4=144; 144-4=140; 140:2=70; 70+4=74. Тройка 24, 70, 74.
24²=576; 576:6=96; 96-6=90; 90:2=45; 45+6=51. Тройка 24, 45, 51.
24²=576; 576:8=72; 72-8=64; 64:2=32; 32+8=40. Тройка 24, 32, 40.
24²=576; 576:12=48; 48-12=36; 36:2=18; 18+12=30. Тройка 24, 18, 30.
24²=576; 576:16=36; 36-16=20; 20:2=10; 10+16=26. Тройка 24, 10, 26.
24²=576; 576:18=32; 32-18=14; 14:2=7; 7+18=25. Тройка 24, 7, 25.
длях=45;
45²=2025; 2025:1=2025; 2025-1=2024; 2024:2=1012; 1012+1=1013.
Тройка 45, 1012, 1013.
45²=2025; 2025:3=675; 675-3=672; 672:2=336; 336+3=339.
Тройка 45, 336, 339.
45²=2025; 2025:5=405; 405-5=400; 400:2=200; 200+5=205.
Тройка 45, 200, 205.
45²=2025; 2025:9=225; 225-9=216; 216:2=108; 108+9=117.
Тройка 45, 108, 117.
45²=2025; 2025:15=135; 135-15=120; 120:2=60; 60+15=75.
Тройка 45, 60, 75.
45²=2025; 2025:25=81; 81-25=56; 56:2=28; 28+25=53.
Тройка 45, 28, 53.
45²=2025; 2025:27=75; 75-27=48; 48:2=24; 24+27=51.
Тройка 45, 24, 51.
Факультатив для учащихся средних школ, по Пифагоровым последовательностям. Часть вторая, Пифагоровы n-наборы.
Автор: Алексей Владимирович Левченко
Цель: использование алгоритма и формул вычисления Пифагоровых троек, для вычисления любых Пифагоровых последовательностей, практические примеры, закрепление понятий сумм натуральных квадратов.
Учитывая алгоритм и формулы вычисления Пифагоровы троек,
нетрудно делать вычисления не только всех возможных Пифагоровых троек, четвёрок, но и всех возможных Пифагоровых n-наборов.
По причине простоты и доступности метода детям, он так же приемлем для изучения на факультативах в средней школе, с седьмого класса.
Алгоритм всё так же предусматривает задание любого чётного или нечётного икс, как первой переменной.
От него, вычисляем игрек. Потом зет.
Таким образом, первые две переменные, дают в сумме «новый икс», а третья по счёту переменная, начинает играть роль «нового игрека».
То есть: подсчёт любой Пифагоровой четвёрки, приводит к расчётам последовательных троек.
Алгоритм повторяется, если считаем уже пятёрки, шестёрки и прочие последовательности сумм любых натуральных квадратов.
В итоге, всё равно каждую итерацию, считаем тройки.
*24)Для нечётных икс, k – нечётное число. Для чётных икс, k – чётное число:
у = (х² : k - k) : 2; z = (х² : k - k) : 2 + k
x² + y² + z² = w²
1) Зададим х=3
Тогда:
х=3; делитель (для 3² = 9) => k = 1
других делителей для «9» нет; а «3» и «9», не используем. Пусть ученики ответят –почему.
3²=9; 9:1=9; 9-1=8; 8:2=4; 4+1=5; [пять – это «новый икс», пусть будет Х₂₅(5²)].
делитель (для нечётного числа 5² = 25) => k = 1
Х₂₅=5; 5²=25; 25:1=25; 25-1=24; 24:2=12; 12+1=13; [12 это «у»,13 это «w»]
Пифагорова четвёрка: 3, 4, 12, 13
2) х=9; делитель для «81»: k = 1
9²=81; 81:1=81; 81-1=80; 80:2=40; 40+1=41;
делитель (для 41² = 1681) => k = 1
Х₁₆₈₁=41; 41²=1681; 1681:1=1681; 1681-1=1680; 1680:2=840; 840+1=841;
=> 9, 40, 840, 841
(!!)используем следующий делитель для «81»:k = 3
9²=81; 81:3=27; 27-3=24; 24:2=12; 12+3=15;
делитель (для 15² = 225) => k = 1
Х₂₂₅-₁=15; 15²=225; 225:1=225; 225-1=224; 224:2=112; 112+1=113;
=> 9, 12, 112, 113;
(!!)используемделительk=3,но только для 5² – «225», поскольку и для «81», и для «41», делителейуже нет.
Х₂₂₅-₃=15; 15²=225; 225:3=75; 75-3=72; 72:2=36; 36+3=39;
=> 9, 12, 36, 39;
…k=5,для«225»
Х₂₂₅-₅=15; 15²=225; 225:5=45; 45-5=40; 40:2=20; 20+5=25;
=> 9, 12, 20, 25;
k=9,для «225»
Х₂₂₅-₉=15; 15²=225; 225:9=25; 25-9=16; 16:2=8; 8+9=17;
=> 9, 12, 8, 17;
х=8;k=2,для чётного числа «64»
8²=64; 64:2=32; 32-2=30; 30:2=15; 15+2=17;
делитель (для нечётного числа 17² = 289) => k = 1 Х₂₈₉-₁=17; 17²=289; 289:1=289; 289-1=288; 288:2=144; 144+1=145; => 8, 15, 144, 145;
k=4,для «64» 8²=64; 64:4=16; 16-4=12; 12:2=6; 6+4=10;
делитель (для 10² = 100) => k = 2
Х₁₀₀-₂=10; 10²=100; 100:2=50; 50-2=48; 48:2=24; 24+2=26;
=> 8, 6, 24, 26.
Обратите внимание, что делитель «4», для 10² = 100, уже не подходит:
при подстановке коэффициента (делителя) в выражение
у = (х² : k - k) : 2, где икс равен 10, то 100:4=25 [х² : k].
От частного вычесть коэффициент, 25-4=21, [х² : k – k].
Тогда разность на два, нацело не делится: 21:4=5,25. (х² : k - k) : 2.
Игрек равный 5,25, натуральным числом не является.
Пифагоровы последовательности, подразумевают только натуральные числа.
Рассмотрим Пифагоровы пятёрки:x² + y² + z² + w² = v²
Выберем икс, равный двенадцати, он относительно небольшой, и для него, есть целых четыре Пифагоровых тройки:
12, 35, 37 (делитель два)
12, 16, 20 (делитель четыре)
12, 9, 15 (делитель шесть)
12, 5, 13 (делитель восемь)
У каждой итерации, есть своя сумма, (37, 20, 15, 13), для которой могут быть свои делители, и из которой – вычисляется третья переменная зет.
После ещё одной суммы, вычисляется переменная дабл-ю, для которой тоже будут делители, и следующую сумму, уже рисуем в результат пятёрки.
(помните:предыдущие суммы, в ряд вычисленных переменных, НЕ рисуем).
Поэтому пятёрок, может быть посчитано немало.
Используем делители, только 2 и 4, этого пока достаточно.
Неплохая тренировка – и концеңтрации внимания, и его распределения – посредством ветвящегося алгоритма, сопряжённая с необходимостью держать в памяти всю схему, и постараться в ней не запутаться.
Итак:у = (х² : k - k) : 2; у = (х² : k - k) : 2 + k;
1) х=12; 12²=144; (144:2-2):2=35; 35+2=37;
готовы икс, игрек: 12, 35.
Сумму 37в результат не пишем, но принимаем её за Х₁₃₆₉, [1369 – это 37²], и вычисляем из неё зет:
Х₁₃₆₉-₁=37; 37²=1369; (1369:1-1):2=684; 684+1=685;
готовы икс, игрек, зет: 12, 35,684;
Сумму 685в результат не пишем, но принимаем её за Х₄₆₉₂₂₅, и вычисляем из неё w,v:
Х₄₆₉₂₂₅-₁=685; 685²=469225; (469225:1-1):2=234612; 234612+1=234613;
готовы икс, игрек, зет, дабл-ю: 12, 35,684, 234612.
В этот раз, сумму v рисуем, поскольку она – результат, пятёрка:
12, 35,684, 234612, 234613.
Анализ проделанных вычислений:
Для144, ещё есть коэффициенты (делители), но это мы уже знаем. Основная ветка алгоритма.
Для1369, делителей больше нет (37 – не в счёт, не забывайте).
Для469225, два делителя есть: 5, 25, другая ветка алгоритма.
Доработаем эту другую* ветку:
Х₄₆₉₂₂₅-₅=685; 685²=469225; (469225:5-5):2=46920; 46920+5=46925;
готовы икс, игрек, зет, дабл-ю: 12, 35,684, 46920.
Сумму рисуем, поскольку она – результат:
12, 35,684, 46920, 46925.
Х₄₆₉₂₂₅-₂₅=685; 685²=469225; (469225:25-25):2=9372; 9372+25=9397;
готовы икс, игрек, зет, дабл-ю: 12, 35,684, 9372.
Сумму рисуем, поскольку она – результат:
12, 35,684, 9372, 9397.
2) Основная ветка, коэффициент четыре:
х=12; 12²=144; (144:4-4):2=16; 16+4=20;
готовы икс, игрек: 12, 16.
Сумму 20в результат не пишем, принимаем её за Х₄₀₀, и вычисляем из неё зет:
Х₄₀₀-₂=20; 20²=400; (400:2-2):2=99; 99+2=101;
готовы икс, игрек, зет: 12, 16,99;
Сумму 101не пишем, принимаем её за Х₁₀₂₀₁, и вычисляем из неё w,v:
Х₁₀₂₀₁-₁=101; 101²=10201; (10201:1-1):2=5100; 5100+1=5101;
готовы икс, игрек, зет, дабл-ю: 12, 16,99, 5100
Суммуv уже рисуем, поскольку она – результат:
12, 16,99, 5100, 5101.
Х₄₀₀-₄=20; 20²=400; (400:4-4):2=48; 48+4=52;
готовы икс, игрек, зет: 12, 16,48;
Сумму 52в результат не пишем, принимаем за Х₂₇₀₄, и вычисляем из неё w,v:
Х₂₇₀₄-₂=52; 52²=2704; (2704:2-2):2=675; 675+2=677;
готовы икс, игрек, зет, дабл-ю: 12, 16,48, 675
Суммуv уже рисуем, поскольку она – результат:
12, 16,48, 675, 677.
Видим, что появилась ещё одна ветка, поскольку для:
20²=400, есть делители: 8,10;
И для 52²=2704, есть делители: 4,8,26;
Для 101²=10201 делителей больше нет.
Продолжим здесь же,от20²=400;
Х₄₀₀-₈=20; 20²=400; (400:8-8):2=21; 21+8=29;
готовы икс, игрек, зет: 12, 16,21;
Сумму 29в результат не пишем, принимаем за Х₈₄₁, и вычисляем из неё w,v:
Х₈₄₁-₁=29; 29²=841; (841:1-1):2=420; 420+1=421;
готовы икс, игрек, зет, дабл-ю: 12, 16,21, 420
Сумму уже рисуем, поскольку она – результат:
12, 16,21, 420, 421.
Х₄₀₀-₁₀=20; 20²=400; (400:10-10):2=15; 15+10=25;
готовы икс, игрек, зет: 12, 16,15;
Сумму 25в результат не пишем, принимаем за Х₆₂₅, и вычисляем из неё w,v:
Х₆₂₅-₁=25; 25²=625; (625:1-1):2=312; 312+1=313;
готовы икс, игрек, зет, дабл-ю: 12, 16,15, 312
Сумму уже рисуем, поскольку она – результат:
12, 16,15, 312, 313.
Возникла ещё ветка, ибо у 625, есть второй делитель, 5:
Х₆₂₅-₅=25; 25²=625; (625:5-5):2=60; 60+5=65;
готовы икс, игрек, зет, дабл-ю: 12, 16,15, 60
Сумму уже рисуем, поскольку она – результат:
12, 16,15, 60, 65.
для52²=2704, и делителей: 4,8,26;
Х₂₇₀₄-₄=52; 52²=2704; (2704:4-4):2=336; 336+4=340;
готовы икс, игрек, зет, дабл-ю: 12, 16,48, 336
Сумму рисуем, поскольку она – результат:
12, 16,48, 336, 340
.
Х₂₇₀₄-₈=52; 52²=2704; (2704:8-8):2=165; 165+8=173;
готовы икс, игрек, зет, дабл-ю: 12, 16,48, 165
Сумму рисуем, поскольку она – результат:
12, 16,48, 165, 173
Х₂₇₀₄-₂₆=52; 52²=2704; (2704:26-26):2=39; 39+26=65;
готовы икс, игрек, зет, дабл-ю: 12, 16,48, 39
Сумму рисуем, поскольку она – результат:
12, 16,48, 39, 65
Как видим, подсчёт для икс, равного 12, дал одиннадцать Пифагоровых пятёрок.
При том, что мы успели использовать только два делителя для 12²=144 => 2 и 4.
12, 35,684, 234612, 234613.
12, 35,684, 46920, 46925.
12, 35,684, 9372, 9397.
12, 16,99, 5100, 5101.
12, 16,48, 675, 677.
12, 16,48, 336, 340
12, 16,48, 165, 173
12, 16,48, 39, 65
12, 16,21, 420, 421.
12, 16,15, 312, 313.
12, 16,15, 60, 65.
Часть третья. Специальные последовательности.
1) Существуют последовательности сложения квадратов, которые сами хоть и не являются Пифагоровыми, поскольку одно из слагаемыхне квадрат числа, но вычисляются такие суммы – по этому* же алгоритму.
[Причина подчинения алгоритму – та же, геометрическая и арифметическая:
[эти суммы, почти всегда могут участвовать в надстраивании квадратов.
2) Суть в следующем:
имеется сумма квадратов последовательных натуральных чисел.
Каждая такая сумма, начинается с единицы, и вся она – выступает в роли первого (так удобней читать запись) слагаемого. Примеры:
1²+2²+3²; 1²+2²+3²+4²+5²; и т.д.
3) Затем, по алгоритму и формулам для Пифагоровых последовательностей, вычисляется второе слагаемое, и затем вся сумма.
[Отличие от Пифагоровых*, ещё и в том, что из первого слагаемого, не во всех случаях – можно посчитать второе слагаемое и всю сумму].
Выражение, примет вид, образец: (1² +2 ² + 3² + 4² + 5² + 6²) + Y²=z²
[Например для 0² +1², игрек станет равен нулю, зет – единице, то есть формулы сработают и
[вэтом [случае.0² +1² +y²=z²; у = 0; z = 1.
[Ноль – не натуральный, и поэтому рассматривать его не будем.
4) Следующая сумма: (1² +2 ²) + y²=z²;( 1² + 2² = 5);
Поскольку сумма квадратов (такая как пять, и другие*) – сама квадратом неявляется, но она по-прежнему – надстройка, то заменим, для точности выражения – символ х² на символ S [Superstructure]- «надстройка», [ну или Sum, «сумма»]:
y=(x²:k-k):2;=> y = (S: k - k) : 2; y=(5:1-1):2=2; z = (S: k - k) : 2 + k; z=(5:1-1):2+1=3;
Решение примет вид: (1² +2²) +2² = 3²; Далее, скобки в решениях, рисовать не станем.
1² +2 ² +3² + y² =z²1² +2 ² + 3² = 14;
y=(14:2-2):2;y=(7-2):2;y=5:2 =>
=> нацело не делится, значит – для суммы квадратов1² +2 ² + 3² + y² не существует такого четвёртого натурального квадрата y², который в сумме с предыдущими
1² +2 ² + 3², дал бы в результате натуральный квадратz². Решения нет.
5) 1² +2 ² + 3² + 4² + y²=z²
1² +2 ² +3² + 4² = 30;
y=(30:2-2):2; y=(15-2):2; y=13:2 => нацело не делится...(см. выше)
6) 1² +2 ² + 3² + 4² + 5² + y²=z²
1² +2 ² +3² + 4² + 5² = 55;
y=(55:1-1):2; y=(55-1):2; y=27; z=(55:1-1):2+1=28
1² +2 ² +3² + 4² + 5² + 27² = 28²
У числа 55, кроме делителяk=1, есть ещё один: k=5, поэтому продолжим:
#1² +2 ² + 3² + 4² +5² + y²= z²
#1² +2 ² + 3² + 4² +5²=55;
#y=(55:5-5):2; y=(11-5):2; y=3;z=3+5=8
#1² +2 ² + 3² + 4² +5² + 3²= 8²
7) 1² +2 ² + 3² + 4² +5² + 6² +y²= z²
1² +2 ² + 3² + 4² +5² + 6² = 91;
y=(91:1-1):2; y=90:2= 45; z=(91:1-1):2+1=46;
1² +2 ² + 3² + 4² +5² + 6² +45² = 46²;
#k=7:
#1² +2 ² + 3² + 4² +5² + 6² +y²= z²
#1² +2 ² + 3² + 4² +5² + 6² = 91;
# y=(91:7-7):2; y=6:2= 3; z=3+7=10;
#1² +2 ² + 3² + 4² +5² + 6² +3² = 10²;
8)1² +2 ² +3² + 4² + 5² + 6² + 7² + y²= z²
1² +2 ² + 3² + 4² +5² + 6² +7² = 140;;
y=(140:2-2):2; y=34; z=34+2=36;
1² +2 ² +3² + 4² + 5² + 6² + 7² + 34²= 36²;
#k=10:
#1² +2 ² +3² + 4² + 5² + 6² + 7² + y²=z²
#1² +2 ² +3² + 4² + 5² + 6² + 7² = 140;;
#y=(140:10-10):2; y=2; z=2+10=12;
#1² +2 ² +3² + 4² + 5² + 6² + 7² + 2²= 12²;
. …………………..
(пропускаем последовательности, где есть решения)
. …………………..
9) 1² +2 ² + 3² + 4² + 5² + 6² + 7² + 8² +9² + 10² +11² + y²=z²
1² +2 ² + 3² + 4² + 5² + 6² + 7² + 8² +9² + 10² +11² = 506
Решений нет
10) 1² +2 ² + 3² + 4² + 5² + 6² + 7² + 8² +9² + 10² +11² +12² + y²=z²
1² +2 ² + 3² + 4² + 5² + 6² + 7² + 8² +9² + 10² +11² +12² =650
Решений нет
. …………………..
. …………………..
11) 1²+2²+3²+…..+17² +18² +y²= z²
1²+2²+3² +….+17² +18² =2109
y=(2109:37-37):2; y=10; z=47;
1²+2²+3²+….+17² +18² +10²=47²
12) 1²+2²+3² +….+18²+19²+y²=z²
1²+2²+3² +….+17² + 18² +19²=2470
Решений нет
15) 1²+2²+3²+….+18²+19²+20² + y²=z²
1²+2²+3² +….+18² + 19² +20² =2870
Решений нет
13) 1² +2 ² +3²+….+20² +21² +y²=z²
1² +2² +3² +….+20² +21² =3311
y=(3311:1-1):2; y=1655; z=1656;
1² +2² +3²+……+20² +21² +1655²=1656²
#1²+2²+3²+…+20²+21²+y²=z²
#1² +2² +3² +….+20² +21² =3311
#y=(3311:7-7):2; y=233; z=240;
#1² +2² +3²+……+20² +21² +233²=240²
#1² +2² +3²+….+20² +21² +y² =z²
#1² +2² +3² +….+20² +21² =3311
#y=(3311:11-11):2; y=145; z=156;
#1² +2² +3²+……+20² +21² +145² = 156²
#1² +2² +3²+….+20² +21² +y²= z²
#1² +2² +3² +….+20² +21² = 3311
#y=(3311:43-43):2; y=17; z=60;
#1²+2²+3²+…+20²+21²+17²=60²
.……………….
.……………….
14) Вот интересный экземпляр последовательности, хорошо известный в истории математики, как задача Эдуарда Люка', о складировании пушечных ядер:
1² +2² +3²+….+ 22² + 23² + y² = z²
1² +2² +3²+….+ 22² + 23² = 4324
y=(4324:46-46):2; y=24; z=70;
решение: 1² +2² +3²+….+22² + 23² + 24² = 70²
[В ответе на задачу* – ещё ноль в квадрате был вначале, но здесь он уже не нужен].
П.С.
Для вычисления сумм последовательных натуральных квадратов (первого слагаемого!):
[ 1² +2² +3² +.....+n²],
в практических вычислениях, надо конечно пользоваться формулами, например самой распространённой:
∑[ 1² +2²+3²+.....+ n²] = n (n + 1) (2n + 1) / 6
.png)
