Скорость. Ускорение и его составляющие

Скорость. Ускорение и его составляющие

Для характеристики движения материальной точки вводится векторная величина — скорость, которой определяется как быстротадвижения, так и его направлениев данный момент времени.

Пусть материальная точка движется по какой-либо криволинейной траектории так, что в момент времени tей соответствует радиус-вектор r₀ (рис. 3). В течение малого промежутка времени t точка пройдет путь As и получит элементарное (бесконечно малое) перемещение r.

Вектором средней скорости <v> называется отношение приращения r радиуса-вектора точки к промежутку времени t:

Направление вектора средней скорости совпадает с направлениемr. При неограниченном уменьшении t средняя скорость стремится к предельному значению, которое называется мгновенной скоростью v:

Мгновенная скоростьv, таким образом, есть векторная величина, равная первой производной радиус-вектора движущейся точки по времени. Так как секущая в пределе совпадает с касательной, то вектор скорости v направлен по касательной к траектории в сторону движения (рис. 3). По мере уменьшения t путь s все больше будет приближаться к |r|, поэтому модуль мгновенной скорости

Таким образом, модуль мгновенной скорости равен первой производной пути по времени:

При неравномерном движении модуль мгновенной скорости с течением времени изменяется. В данном случае пользуются скалярной величиной (v) —средней скоростью неравномерного движения:

Если выражение ds = vdt(см. формулу (2.2)) проинтегрировать по времени в пределах от tдо t+t,то найдем длину пути, пройденного точкой за времяt:

В случае равномерного движения числовое значение мгновенной скорости постоянно; тогда выражение (2.3) примет вид

Длина пути, пройденного точкой за промежуток времени от t₁до t₂,дается интегралом

В случае неравномерного движения важно знать, как быстро изменяется скорость с течением времени. Физической величиной, характеризующей быстроту изменения скорости по модулю и направлению, является ускорение.

Рассмотрим плоское движение, т. е. такое, при котором все участки траектории точки лежат в одной плоскости. Пусть вектор vзадает скорость точки

А в момент времени t.За время tдвижущаяся точка перешла в положение Ви приобрела скорость, отличную от v как по модулю, так и направлению и равнуюv₁=v + v.Перенесем вектор v₁ в точку А и найдем v (рис.4).

Средним ускорениемнеравномерного движения в интервале от t до t+tназывается векторная величина, равная отношению изменения скорости v к интервалу времени t:

Мгновенным ускорением а (ускорением) материальной точки в момент времени tбудет предел среднего ускорения:

Таким образом, ускорение а есть векторная величина, равная первой производной скорости по времени.

Разложим векторv на две составляющие. Для этого из точкиА (рис. 4) по направлению скорости v отложим вектор

AD,по модулю равный v₁. Очевидно, что вектор CD,равный v_, определяет изменение скорости по модулю за время t:v_=v₁-v.Вторая же составляющая вектора v-v_n характеризует изменение скорости за время tпо направлению.

Тангенциальная составляющая ускорения

т.е. равна первой производной по времени от модуля скорости, определяя тем самым быстроту изменения скорости по модулю. Найдем вторую составляющую ускорения. Допустим, что точка Вдостаточно близка к точке А,поэтому As можно считать дугой окружности некоторого радиуса r, мало отличающейся от хорды АВ.Тогда из подобия треугольников АОВи EADследуетv_n/AB = v₁/r,но так какAB = vt,то

В пределе при t0 получим v₁v.

Поскольку v1v, угол EADстремится к нулю, а так как треугольник EADравнобедренный, то угол ADEмежду v и v_nстремится к прямому. Следовательно, при t0 векторы v_n и v оказываются взаимно перпендикулярными. Так как вектор скорости направлен по касательной к траектории, то векторv_n, перпендикулярный вектору скорости, направлен к центру ее кривизны. Вторая составляющая ускорения, равная

называетсянормальной составляющей ускорения и направлена по нормали к траектории к центру ее кривизны (поэтому ее называют также центростремительным ускорением).

Полное ускорениетела есть геометрическая сумма тангенциальной и нормальной составляющих (рис.5):

Итак, тангенциальная составляющая ускорения характеризует быстроту изменения скорости по модулю (направлена по касательной к траектории), а нормальнаясоставляющая ускорения — быстроту изменения скорости по направлению (направлена к центру кривизны траектории).

В зависимости от тангенциальной и нормальной составляющих ускорения движение можно классифицировать следующим образом:

1) а_=0, а_n = 0 — прямолинейное равномерное движение;

2) a_=a=const,a_n=0 — прямолинейное равнопеременное движение. При таком виде движения

Если начальный момент времени t₁=0,а начальная скорость v₁=v₀,то, обозначив t₂ = tи v₂ = v,получим a = (v-v₀)/t,откуда

v =v₀+at.

Проинтегрировав эту формулу в пределах от нуля до произвольного момента времени t,найдем, что длина пути, пройденного точкой, в случае равнопеременного движения

3) а_=f(t), а_n=0 — прямолинейное движение с переменным ускорением;

4) а_=0, а_n=const. При а_=0 скорость по модулю не изменяется, а изменяется по направлению. Из формулы а_n=v²/r следует, что радиус кривизны должен быть постоянным. Следовательно, движение по окружности является равномерным;

5) а_=0, а_n0 — равномерное криволинейное движение;

6) a_=const,a_n0—криволинейное равнопеременное движение;

7) a_=f(t),a_n0 — криволинейное движение с переменным ускорением.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Детлаф А.А. Курс физики: учеб. пособие для вузов / А.А. Детлаф. ‒ 2-е изд., испр. и доп. – М.: Высш. шк., 2003. – 718 с.

2. Трофимова Т.И. Курс физики: учеб. пособие / Т.И. Трофимова. ‒ 3-е изд., испр. – М.: Высш. шк., 2003. – 542 с.

3. Ю.А. Барков, Г.Н. Вотинов, О.М. Зверев, А.В. Перминов. КРАТКИЙ КУРС ОБЩЕЙ ФИЗИКИ. Издательство Пермского национального исследовательского политехнического университета, 2015