ЗАКОНЫ ДВИЖЕНИЯ НОСИТЕЛЕЙ В ПОЛУПРОВОДНИКАХ

ЗАКОНЫ ДВИЖЕНИЯ НОСИТЕЛЕЙ В ПОЛУПРОВОДНИКАХ

Согласно квантовой теории для описания движения свободных носителей в кристалле можно использовать понятие эффективной массы электрона m_n и дырки m_p. Эффективная масса не совпадает с массой свободного электрона m_o в вакууме, обычно m_n<m_p. Например, в кремнии m_n=0,33m₀,m_p=0,55m₀. Импульс электрона не сохраняется при движении в периодическом электрическом поле кристалла и вместо него вводится понятиеквазиимпульса , где – постоянная Планка, – волновой вектор. Квазиимпульс подчиняется закону сохранения. В отличие от электронов в вакууме связь энергии и квазиимпульса электронов в кристалле зависит от кристаллографического направления вследствие анизотропии кристалла.

В идеальном кристалле свободные носители движутся без соударений и при отсутствии внешних сил их квазиимпульс постоянен. В реальном кристалле всегда присутствуют дефекты кристаллической решетки, на которых происходит рассеяние носителей, т.е. изменение направления и скорости их движения при взаимодействии с дефектом. Важнейшими дефектами являются ионы донорных и акцепторных примесей, поскольку практически в любом приборе применяются примесные полупроводники. Идеальность решетки нарушается также за счет тепловых колебаний атомов, которые вызывают рассеяние, называемое фононным, так как оно сопровождается возбуждением или поглощением фононов.

Тепловое движение.

Свободные носители в полупроводниках можно рассматривать как электронный или дырочный газ, заполняющий объем кристалла, в котором частицы находятся в непрерывном хаотическом тепловом движении. Средняя скорость теплового движения определяется по известной формуле , гдеm – эффективная масса частицы. Времяt_пр и длина l_пр=v_Tl_пр свободного пробега определяется процессами рассеяния, т.е. зависит от концентрации центров рассеяния и температуры

При хаотическом движении направления скоростей носителей равновероятны и электрический ток равен нулю.

Дрейфовое движение.

Если в полупроводнике создано электрическое поле, носители ускоряются этим поле на пути свободного пробега. Приобретенная скорость теряется при рассеянии, затем носители снова ускоряются до следующего столкновения. В результате хаотическое движение носителей приобретает составляющую, направленную вдоль вектора напряженности поля. Направленное движение носителей под действием электрического поля называется дрейфом(дрейфовым движением). Скорость направленного движения, усредненная по всем носителям одного знака, называетсяскоростью дрейфа v_др. Скорость дрейфа пропорциональна напряженности электрического поля E:

(1)

Коэффициент пропорциональности  называется подвижностью, см²/(Вс). Это средняя скорость, которую приобретает электрон или дырка в электрическом поле с напряженностью 1 В/см. Здесь знак «+» относится к дыркам, «–» – к электронам. Здесь и далее будем рассматривать одномерный случай и опускать обозначение векторной величины.

Направленное движение носителей заряда – это электрический ток. Плотности электронной и дырочной составляющих дрейфового тока равны произведению плотности соответствующих зарядов на скорость дрейфа:

(j_n)_др=–en(v_n)_др=en_nE (2а)

(j_p)_др=ep(v_p)_др =ep_pE,(2б)

где _n и _p – подвижности электронов и дырок, e – элементарный заряд. Плотность дрейфового тока равна

j_др=(j_n)_др +(j_p)_др =e(n_n+p_p)E (3)

Здесь коэффициент пропорциональности перед E – удельная электропроводность :

= e(n_n+p_p)(4)

Диффузия.

При неравномерном распределении частиц в объеме возникает направленное движение, стремящееся выровнять концентрацию, которое называется диффузией. Скорость диффузии пропорционально градиенту концентрации с обратным знаком. В случае заряженных частиц это приводит к появлению диффузионных токов:

(j_n)_дф=eD_n(dn/dx) и (j_p)_дф=eD_p(dp/dx),(5)

где D_n и D_p – коэффициенты диффузии электронов и дырок, см²/с. Ток дырок направлен против градиента концентрации вследствие их положительного заряда, электронный ток противоположен направлению их движения.

Электронный и дырочный токи включают обе составляющие (2) и (5):

j_n =en_nE + eD_n(dn/dx),(6)

j_p=ep_pE eD_p(dp/dx).(7)

Подвижность и коэффициент диффузии связаны соотношением Эйнштейна:

D=_T, (8)

(9)

Коэффициент φ_Т называется температурным потенциалом.

Уравнение непрерывности.

Это уравнение связывает скорость изменения концентрации носителей с их распределением в пространстве.

Рассмотрим одномерную задачу. Выделим элемент объема полупроводника с единичной площадью толщиной dx (рис.1.). Слева в этот объем втекает токj(x) и справа вытекает j(x+dx). Разность токов, деленная на объем dx дает скорость уменьшения плотности заряда. Но эта величина есть частная производная -j/x. Поделив ее на заряд носителя, получаем скорость изменения концентрации за счет разности токов. С учетом процессов генерации и рекомбинации можно записать

где G - скорость генерации носителей за счет внешних факторов, вторые члены дают скорость рекомбинации избыточных (неравновесных) носителей.

Когда внешние факторы отсутствуют (G=0), подставляя выражения (6), (7) в эти уравнения и дифференцируя, получаем

(10а)

(10б)

Это и есть уравнения непрерывности для дырок и электронов в общем виде. В объеме полупроводника сохраняется электронейтральность, поэтому, согласно уравнению Пуассона, Ex=0, тогда уравнения упрощаются:

(11а)

(11б)

Наличие электрического поля E не приводит к нарушению условия электронейтральности. Оно может существовать в объеме полупроводника даже в равновесном состоянии при неоднородном легировании, и в общем случае его нужно учитывать. В частном случае E=0 уравнение непрерывности превращается в уравнение диффузии:

(12а)

(12б)