Дидактический материал по теме: "Решение квадратных уравнений"

ГБОУ «ШКОЛА № 22 Г.О.ГОРЛОВКА»

Дидактический материал

по теме «Решение квадратных уравнений, 8 класс»

Справочный материал

для использования учителями и обучающимися при изучении темы: «Квадратное уравнение и его корни» 8 класс

Квадратным уравнением называют уравнение вида ax²+bx+c=0,гдеа,b,c-заданные числа,а≠0, х - неизвестное.

Коэффициенты а, b и с квадратного уравнения называют так:

а – первым или старшим коэффициентом, b - вторым коэффициентом, с – свободным членом.

Пример

В уравнении 4х²+5х+1=0старший коэффициент a=4,второй коэффициентb=5,а свободный членc=1.

Корнями квадратного уравнения называют такие значения переменной,  
при которых квадратное уравнение обращается в верное числовое равенство. 

Решить квадратное уравнение   —  значит найти все его корни или  
установить, что корней нет. 

Виды квадратных уравнений (в зависимости от значения коэффициентов)

Квадратное уравнение ax²+bx+c=0называютнеполным, если хотя бы один из коэффициентов b и c равен нулю или оба коэффициента b и c равны нулю.

Неполное квадратное уравнение при с=0 имеет видax²+bx = 0, где а ≠ 0; b≠ 0.

В левой части этого уравнения есть общий множитель x.Вынесем общий множитель x за скобки.

Мы получим x(ax+b)=0. Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Поэтому получаемx=0илиax+b=0. Таким образом, данное уравнение эквивалентно двум уравнениям:

Решаем получившуюся систему уравнений.

Решив эту систему, мы получим и . Следовательно, данное квадратное уравнение имеет два корня иx=.

Пример:

4x²-8x=0

Разложим левую часть уравнения на множители и найдем корни:

4x(x-2) =0

4x=0 или x-2=0

Ответ: 0; 2.

Неполное квадратное уравнение при b=0 имеет видax² + c = 0, где a≠0, с≠0.

Для решения данного неполного квадратного уравнения выразим x²:

При решении последнего уравнения возможныдва случая:

если , то получаем два корня:

если , то уравнение во множестве действительных числе не имеет решений.

Пример:

4х²- 144=0

4х²=144

х²=144:4

х²=36

х=6 и х=-6

Ответ: 6;-6.

Пример:

3х²+ 75=0

3х²=-75

х²= -75:3

х²= - 25 в этом случае уравнение не имеет решения.

Ответ: нет корней.

Неполное квадратное уравнениеприb=0 и c=0 имеет вид ax² = 0, a≠0.

Разделим обе части уравнения на а, мы получим х²=0. Таким образом, данное квадратное уравнение имеет один кореньх=0. В этом случае говорят, что квадратное уравнение имеет двукратный корень х=0.

Способы решения полных квадратных уравнений

Решение с помощью дискриминанта:

Дискриминантом квадратного уравнения D называется выражение b² — 4ac, т.е.

D= b² — 4ac.

При решении уравнения с помощью дискриминанта возможны три случая:

Корней нет

Два равных корня

Два разных корня

1)D > 0. Тогда корни уравнения равны:

.

Пример 1.

2х²-7х+3=0

а=2,b= - 7, c=3

D= b² — 4ac = (-7)²-4∙ 2 ∙ 3=49-24=25>0 (уравнение имеет два корня)

х₁====3, х₂====

Ответ: ; 3

2)D = 0. В данном случае решение даёт два двукратных корня: х₁= х₂=

Пример 2.

9х²-6х+1=0

а=9,b=-6,c=1

D= b² — 4ac = (-6)²-4∙ 9 ∙ 1=36-36=0 (говорят, что уравнение имеет один корень)

х₁= х₂===

Ответ:.

3)D < 0. В этом случае уравнение не имеет решения.

Пример 3.

5х²-8х-4=0

а=5,b=-8,c=-4

D= b² — 4ac = 8²-4∙ (-8) ∙ (-4) = 64-128= - 64<0 (уравнение не имеет корня)

Ответ: нет корней.

Рассмотрим решение квадратного уравнения видаax²+2mx+c=0,

гдеа≠0,b=2m.

В этом случае дискриминант уравнения будет равенD₁=m² — ac, а корни уравнения

Пример:

5х²-8х-4=0

5х²-2∙4х-4=0

а=5,m=4, с=-4

D₁=m² — ac=4²-5∙(-4)=16+20=36

Ответ: - ; 2

Решение квадратного уравнения методом выделения полного квадрата.

Для решения квадратных уравнений применяется метод выделения полного квадрата. Решая уравнение данным методом, мы преобразуем его так, что в левой части получился квадрат двучлена (а - b)²=a²-2ab+b² или (а +b)²=a²+2ab+b² , а правая часть не содержит неизвестное.

Пример 1:

х²+2х -3=0

х²+2∙ х ∙1+1-1-3=(х+1)²– 4

(х+1)²= 4

х+1=2 и х+1= - 2

х=2-1=1 и х= - 2-1= -3

Ответ: -3; 1

Пример 2:

4х²-8х -12=0

4х²- 2∙ 2х ∙2+4 – 4-12=(2х-2)²– 16

(2х-2)²= 16

2х-2=4 или 2х-2= - 4

2 х=4+2 2х= - 4+2

2 х=6 2х= -2

х=6:2 х= -2:2

х=3 х= - 1

Ответ: -1;3.

Решение приведенного квадратного уравнения.

Квадратное уравнение вида x² + px + q = 0 называется приведенным квадратным уравнением (а=1).

Теорема Виета: Еслих₁их₂—корни уравнения x² + px + q = 0, то справедливы формулы х₁+ х₂=- pи х₁х₂ = q,т.е. сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

Пример:

х²+2х -15=0

р=2,q=-15

если х₁+ х₂=- pи х₁х₂ = q, то х₁+ х₂=-2 и х₁х₂ = -15. Значит х₁=3 и х₂ =-5.

Ответ: 3; -5.

Всякое квадратное уравнение может быть приведено к виду x² + px + q = 0 делением обеих частей на коэффициент а.

Теорема, обратная теореме Виета

Еслиmиnтакие, что m+n = - p,а m·n = q,тогдаm иn– корни уравнения

x² + px + q = 0

Теорема Виета для неприведённого уравнения

Если– корни уравнения , то

.

Пример

Имеем два корня (D0)

Решение квадратного уравнения методом коэффициентов:

а) Если в квадратном уравнении сумма коэффициентов равна 0, то первый корень равен единице, а второй равен с, деленному на а.

Еслиа+b+c=0,то х₁=1 и х₂ =.

Пример:

5х²-8х+3=0

а=5,b= - 8, c=0

а+b+c=5+(-8)+3=0,значит х₁=1 и х₂ =.

Ответ:1; .

б) Если в квадратном уравнении сумма коэффициентов а и cравна коэффициенту b,то первый корень равен минус единице, а второй равен минус с, деленному на а.

Еслиа+c=b, то х₁= - 1 и х₂ =.

Пример:

6х²+10х+4=0

а=6,b= 10, c=4

а+c=b, то х₁=-1 и х₂ =Видим, что 6+4=10,значитх₁=-1 и х₂ =.

Ответ:-1; - .

План решения задач на составление уравнений

Одну из неизвестных величин обозначить буквой (х),остальные – выразить через х.

Учитывая условие задачи и соотношение между величинами, составить уравнение.

Решить полученное уравнение.

Объяснить найденные корни соответственно условию задачи.

Записать ответ.

Дидактический материал

для использования учителями при рассмотрении темы: «Квадратное уравнение и его корни» 8 класс.

Литература:

Учебник Алгебра. 8 класс, Ю.Н. Макарычев, «Просвещение», 2013

Дидактический материал: Алгебра. 8 класс, А.П. Ершова, «Гимназия», 2000г.

Дидактический материал к урокам № 1- № 2

Найти корни уравнения:

Решить уравнения:

Найти корни уравнения и выполните проверку по теореме, обратной теореме Виета:

Найти подбором корни уравнения

Один из корней данного уравнения равен 2. Найти второй корень и коэффициент а.

Один из корней данного уравнения равен 4. Найти второй корень и число а.

Составьте квадратное уравнение, корни которого равны:

1

Разность корней квадратного уравнения равна 6. Найти с.

Сумма квадратов корней уравнения равна 65. Найти а.

Уравнениеимеет корни Найти, при каком значении m:

а)сумма квадратов корней равна 35.

б)сумма кубов корней равна 40.