Технологии личностно-ориентированного подхода в обучении математике:
сборник материалов X Региональной научно-практической конференции «Певзнеровские чтения» (Комсомольск-на-Амуре, 12 мая 2023 г.). – Комсомольск-на-Амуре: АмГПГУ, 2023.
ИЗОБРАЖЕНИЕ ФИГУР С ПОМОЩЬЮ
ПАРАЛЛЕЛЬНОГО ПРОЕКТИРОВАНИЯ
Сумина Г. Н.1, Иванов С. Ю.2
Амурский гуманитарно-педагогический государственный университет,
г. Комсомольск-на-Амуре, Россия,1suminagn@mail.ru, 2ivanov_sergey15102004@mail.ru
Аннотация. В данной статье продемонстрировано применение свойств параллельного проектировании при построении изображения фигур.
Ключевые слова: параллельное проектирование, изображение фигур, инварианты параллельного проектирования
Геометрия один из разделов математики, которая дает возможность почувствовать красоту математики и может стать для кого-то началом пути в «большую науку». Каждый любитель геометрии имеет шанс открыть нечто новое и пополнить ее собственной драгоценной находкой, ибо геометрия поистине неисчерпаема!
Данная статья посвящена параллельному проектированию и его применению при построении изображений фигур. В работе рассмотрен удивительный способ решения некоторых задач. К сожалению, параллельное проектирование ушло из школьного курса геометрии. Некоторые учителя, учитывая значимость параллельного проектирования в изображении фигур, хотя бы бегло уделяют внимание параллельному проектированию и его свойствам. Некоторые учителя математики на своих уроках широко используют наглядные изображения фигур, облегчающие понимание и усвоение рассуждений и выводов, позволяющие найти правильное решение задачи, воспитывающие пространственное воображение у учащихся. Но молодые учителя
этому вопросу не уделяют никакого внимания, потому что не видели этой темы в учебнике. Поэтому ученики строят изображения фигур, пользуясь только интуицией.
Внимание в этой работе направлено на будущее поколение учителей, ведь умение
аккуратно и красиво чертить, правильно изображать пространственные фигуры на плоскости, прямая обязанность каждого учителя математики.
Наверное, в детстве, многие из нас сталкивались с проблемой, что не решается задача по геометрии, потому что чертёж был какой-то «не такой». И пусть он был весьма правдоподобен, но задача все же решалась с трудом. А такие проблемы возникают, не только в школе, в университете, но и в практической деятельности, и тут на помощь приходит параллельное проектирование. Что же такое параллельное проектирование?
Пусть π - некоторая плоскость, которую назовем плоскостью проекций, l -
пересекающая ее прямая. Через произвольную точку A, не принадлежащую прямой l, проведем прямую, параллельную прямойl. Точка пересечения этой прямой с плоскостью π называется параллельной проекцией точки A на плоскость π в направлении прямой l. Обозначим ее A'.
Если точка A принадлежит прямой l, то параллельной проекцией A на плоскость π считается точка пересечения прямойl с плоскостью π. Таким образом, каждой точке A пространства сопоставляется ее проекция A' на плоскость π. Это соответствие называется параллельным проектированием на плоскость π в направлении прямой l. Параллельное
проектирование обладает рядом свойств, которые помогают при построении изображений фигур.
Если прямая параллельна или совпадает с проектирующей прямой l, то ее проекцией в направлении этой прямой является точка. Если прямая не параллельна и не совпадает с прямой l, то ее проекцией является прямая. При параллельном проектировании параллельные прямые переходят в параллельные прямые. Это свойство ученики используют при построении изображения прямоугольника или квадрата в виде параллелограмма.
Параллельное проектирование сохраняет отношение длин отрезков, лежащих на одной прямой или параллельных прямых. В частности, при параллельном проектировании середина отрезка переходит в середину соответствующего отрезка. Любой треугольник изображается в виде произвольного треугольника, его изображение зависит от выбранного направления проектирования. Рассмотрим несколько задач на построение изображений с применением свойств параллельного проектирования.
Задача 1. Дано изображение равнобедренного треугольника в виде разностороннего треугольника. На этом изображении постройте:
а) Изображение биссектрисы угла при вершине.
б) Изображение перпендикуляра к основанию, проведенного через середину
боковой стороны.
Оригинал
При построении изображения необходимо учесть следующие факты. Биссектриса угла при вершине равнобедренного треугольника является медианой и высотой, то есть основание треугольника она делит пополам. На изображении треугольника соединяем вершину с серединой противолежащей стороны. Так как перпендикуляр, проведенный через середину боковой стороны к основанию параллелен биссектрисе (высоте), а параллельность прямых сохраняется, то на изображении треугольника через середину боковой стороны проводим отрезок к основанию, параллельный изображению биссектрисы.
Задача 2. Треугольник АВС - изображение прямоугольного треугольника А1В1С1, длины катетов А1С1 и В1С1 которого относятся как 3:4. Постройте изображение центра круга, вписанного в треугольник А1В1С1.
Оригинал Изображение
Работая с оригиналом, мы отмечаем те свойства оригинала, которые сохраняются при параллельном проектировании. Центр вписанной окружности лежит в точке пересечения биссектрис. Биссектриса, проведенная из вершины острого угла В, делит катет АС в отношении 5:3, считая от вершины А. А биссектриса, проведенная из вершины острого угла А, делит катет ВС в отношении 3:4, считая от вершины С.
Построение.
Делим отрезок АС в отношении 5:3, считая от вершины А. Получена точка N. Отрезок ВN является изображением биссектрисы.
Отрезок ВС, являющийся изображением катета, делим в отношении 4:3 считая от вершины В, получим точку M. Отрезок AM является изображением биссектрисы, проведенной из вершины острого угла А.
АМ∩ВN =О – изображение центра вписанной окружности.
Задача 3. На изображении правильного шестиугольника постройте изображение:
а) Апофемы шестиугольника;
б) Биссектрисы одного из внешних углов.
Оригинал Изображение
Построим изображение правильного треугольника. Не все ученики знают алгоритм его построения.
Прежде всего, необходимо найти в оригинале те свойства правильного шестиугольника, которые сохраняются при параллельном проектировании. Две главные диагонали оригинала в точке пересечения делятся пополам. Соединив точки А1и F1 и точки B1 и D1 получим два треугольника А1О F1 и С1О D1.
На полудиагоналях А1О и ОС1 строим параллелограмм А1В1С1О, а на полудиагоналях F1О и ОD1 строим параллелограмм F1OD1E1. Изображение правильного шестиугольника построено. Апофемой правильного шестиугольника называется перпендикуляр, проведенный из центра О к стороне шестиугольника. Перпендикулярность отрезков при параллельном проектировании не сохраняется, а вот середина отрезка переходит в середину отрезка. Если К1 – середина стороны С1D1, то отрезок ОК1 – изображение апофемы.
Для построения внешнего угла правильного шестиугольника продолжим стороны АF и DE до пересечения. Получили правильный треугольник FET. Биссектриса внешнего угла FET является также медианой. На изображении правильного шестиугольника продолжим стороны А1F1 и D1E1 до пересечения в точке Т1. Соединив точку Е1 с серединой отрезка F1T1, получим изображение биссектрисы внешнего угла правильного шестиугольника.
Задача 4.Дано изображение треугольника и двух его высот. Постройте изображение центра круга, описанного около треугольника оригинала.
Оригинал Изображение
Построение.
Через точку М - середину стороны АВ проводим изображение серединного перпендикуляра, параллельного высоте СС1'. Через точку N – середину стороны АС проведем изображение серединного перпендикуляра, параллельного высоте ВВ1'. Пересечение изображений этих серединных перпендикуляров даст точку О – изображение центра описанной окружности.
Очень жаль, что задачи такого вида в настоящее время решаются только в классах с углубленным изучением математики.
45
