«Применение интеграла для нахождения площадей плоских фигур»

ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ «ШКОЛА №48 ГОРОДСКОГО ОКРУГА ДОНЕЦК»

Конспект урока по предмету «Алгебра и начала математического анализа»

для 11 класса

углублённый уровень

Тема: «Применение интеграла для нахождения

площадей плоских фигур»

Автор: учитель математики

Смолякова Юлия Леонидовна

Класс: 11 Дата: 23.10.2024

Тема урока:«Применение интеграла для нахождения площадей плоских фигур»

Цель урока:научить учащихся находить площади плоских фигур с помощью определённого интеграла.

Задачи:

Образовательные:

- выявить незаменимую роль первообразной и интеграла в решении многих задач науки и практики;

- формировать знания и умения учащихся в области применения первообразной и интеграла;

- способствовать формированию умения составлять математические модели реальных ситуаций.

Воспитательные:

- способствовать воспитанию творческой активности учащихся;

- формировать ответственное и добросовестное отношение к порученным обязанностям;

- формировать умения работать в коллективе, принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях;

- воспитать культуру делового общения.

Развивающие:

- способствовать развитию познавательных интересов учащихся;

- развивать навыки коллективной и самостоятельной работы;

- содействовать развитию мышления, самостоятельности, наблюдательности, творческих способностей.

Технологии: технология проблемного обучения, технология обучения в сотрудничестве.

Методы обучения: проблемный, частично-поисковый.

Тип урока: Урок открытия новых знаний, обретения новых умений и навыков.

Учебник:Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа, 10-11 классы/ Алимов Ш.А., Колягин Ю.М., Ткачева М.В. и другие, Акционерное общество «Издательство «Просвещение»-2023

Оборудование:компьютер, графический планшет, презентация, учебник.

Продолжительностьзанятия: 45минут.

Ход урока

«Три пути ведут к знанию:

путь размышления – это путь самый благородный,

путь подражания – это путь самый лёгкий

и путь опыта – это путь самый горький».

Конфуций

Вам самим предстоит выбрать свой путь, а моя задача помочь продвигаться вам по этому пути. Итак, в путь….

Организационный момент. Формулирование цели и задач занятия.Мотивация.

Актуализация опорныхзнаний.

В качестве актуализации опорных знаний предлагается провести небольшую самостоятельную работу с последующей самопроверкой.

На слайде презентации представлен банк заданий для повторения правил вычисления неопределённых интегралов. Обучающиеся в тетрадях выполняют работу по вариантам.

Работа дифференцированная, задания 4 и 5 повышенной сложности.

Повторение свойств определенного интеграла.

Определенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме определенных интегралов от слагаемых функций:

Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла:

При перестановке пределов интегрирования определенный интеграл меняет свой знак на противоположный:

Определенный интеграл с одинаковыми пределами равен нулю:

Отрезок интегрирования можно разбивать на части:

Одной из задач, которую мы ставим с вами на каждом уроке, успешное прохождение итоговой аттестации в форме ЕГЭ.

На занятии по подготовке к ЕГЭ мы уже разобрали два основных типа заданий по теме «Первообразная».

Подготовка к ЕГЭ

B 8.

На рисунке изображён график функции .

Функция  — одна из первообразных функции .

Найдите площадь закрашенной фигуры.

B 8.  

На рисунке изображён график некоторой функции . Функ­ция  — одна из первообразных функции . Найдите площадь закрашенной фигуры.

Решение.

Най­дем фор­му­лу, за­да­ю­щую функ­цию гра­фик ко­то­рой изоб­ражён на ри­сун­ке.

Сле­до­ва­тель­но, гра­фик функ­ции по­лу­чен сдви­гом гра­фи­ка функ­ции на еди­ниц влево вдоль оси абс­цисс. По­это­му ис­ко­мая пло­щадь фи­гу­ры равна пло­ща­ди фи­гу­ры, огра­ни­чен­ной гра­фи­ком функ­ции и от­рез­ком оси абс­цисс. Имеем:

Ответ: 4.

Еще не­сколь­ко спо­со­бов рас­суж­де­ний по­ка­жем на при­ме­ре сле­ду­ю­щей за­да­чи.

Ответ: 4

B 8.

На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик не­ко­то­рой функ­ции Поль­зу­ясь ри­сун­ком, вы­чис­ли­те опре­де­лен­ный ин­те­грал

B 8.

На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик функ­ции  — одной из пер­во­об­раз­ных не­ко­то­рой функ­ции , опре­делённой на ин­тер­ва­ле . Поль­зу­ясь ри­сун­ком, опре­де­ли­те ко­ли­че­ство ре­ше­ний урав­не­ния на от­рез­ке .

 В8.

 На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик не­ко­то­рой функ­ции (два луча с общей на­чаль­ной точ­кой). Поль­зу­ясь ри­сун­ком, вы­чис­ли­те , где  — одна из пер­во­об­раз­ных функ­ции .

Объяснение нового материала.

Работа с учебником: Разбор заданий параграфа 58 учебника. Все задачи выведены на экран с помощью презентации

Изучая геометрию Евклида, мы научились вычислять площади многих фигур (прямоугольник, квадрат, трапеция, ромб, …, находить площади сложных фигур как сумму или разность их частей), но не любой.

Нам необходим новый метод вычисления площадей плоских фигур. Это вычисление площадей плоских фигур с помощью определенного интеграла.

Основные случаи расположения плоской фигуры и соответствующие формулы площадей (презентация)

Фигура ограниченная графиком непрерывной и неотрицательной функции , осью абсцисс и прямыми .

Фигура ограниченная графиком непрерывной и неположительной функции , осью абсцисс и прямыми .

Фигура ограниченная графиками двух непрерывных функций и на и прямыми , где .

4. Фигура ограниченная графиками двух и более непрерывных функций на .

С учетом проделанной работы, сформулируем и запишем алгоритм решения задач по теме урока.

Алгоритм:

Определяем границы плоской фигуры.

Если границы не указаны, то находим их, решая уравнение f(x) =0 или f(x)=g(х).

Строим график функции (функций).

Записываем формулу Ньютона-Лейбница.

Находим первообразную функции.

Вычисляем значение по формуле.

Закрепление изученного материала:

Отработка алгоритма:

Дано:, х=-1, х=2, у=0.

Найти: S_тр.

Решение: Построим график и выделим площадь, которую необходимо найти.

S=

= 3 + 3 = 6 (кв.ед.)

Ответ:S= 6 кв.ед.

2)

Дано:y = x²,y = x + 2.

Найти: S_тр.

Работа в парах.

Задание: вычислите площадь заштрихованной фигуры.

Карточка для пары №1

Карточка для пары №2

Карточка для пары №3

Карточка для пары №4

Подведение итогов урока, рефлексия:

Отметить положительные моменты урока, отметить недостатки. Прокомментировать оценки.

Мне сегодня на уроке понравилось….

Я сегодня испытывал затруднение в ……

Мне сегодня было интересно узнать о….

Мне сегодня было легко…..

Мне сегодня было трудно….

6. Домашнее задание:

Н. И. Лобачевский говорил: «Математика – язык, на котором говорят все точные науки».

Найти в сети Интернет, в каких дисциплинах и какие величины можно вычислить с помощью определенного интеграла.

Прочитать параграф 58 учебника, выучить алгоритм нахождения площади плоской фигуры. В тетради решить № 1016(1), 1017(1), 1018(1).