Решение логических задач как основа развития мышления обучающихся
Математика - это сплошные задачи: простенькие примеры и «многоступенчатые» вычисления, наглядные построения и хитроумные абстракции, длительные наблюдения и мгновенные интуитивные прозрения, очевидные замечания и нерешенные проблемы. Очень важно начать решать и учиться решать задачи самостоятельно - «для того чтобы научиться плавать, надо самому оказаться в воде». Это согласуется с важнейшим правилом личности «Познай самого себя». Наряду с этим правилом существует и другое правило, особенно важное для исследователя и мыслителя: «Сомневайся во всем!». Существует, конечно, и методика решения задач, методика общая и методика частная.
Интерес к математике у обучающегося быстрее появляется и проявляется, если он участвует в различных математических состязаниях: кружках, олимпиадах, конкурсах, турнирах, математических боях, и, конечно, самостоятельно, дополнительно к учебной программе занимается математикой, решая трудные или необычные задачи, читая научно - популярные и занимательные книги по математике. При обучении математике особую функцию выполняют нестандартные задачи - задачи, требующие нетривиального подхода. Решение подобных задач не только вызывает неподдельный интерес к математике, но и приводит к более глубокому пониманию математики, овладению ей. Интерес к предмету и понимание предмета психологически тесно связаны между собой.
Понятие «логическая задача»
В широком смысле под логической задачей мы понимаем любую задачу, для решения которой не нужны особые (специальные) знания, а достаточно только логических рассуждений. Такие задачи не обязаны быть математическими или нестандартными. Простейшие арифметические задачи можно отнести к классу логических задач. Возьмем, например, следующую задачу: на лужке пасётся 70 голов гусей и коз, имеющих в совокупности 200 ног. Сколько среди них гусей? Эта задача легко решается алгебраически: обозначим число гусей через x, тогда коз будет 70 - x; получаем общее число ног 2x + 4(70 – x)=280 – 2x, равное по условию 200, отсюда x = 40. А вот чисто арифметическое (логическое) решение: поскольку каждое животное (гусь и коза) имеет, по крайней мере, 2 ноги, то уже получаем 270 = 140 ног; остальные 200 - 140 = 60 ног принадлежат козам; поэтому имеется 30 коз и, соответственно, 40 гусей. Сравним данные решения. Алгебраическое решение стандартное и более универсальное, в настоящее время именно так решаются арифметические задачи в школе. Логическое решение заставляет обучающихся думать, оно культивировалось в былые годы. Первый способ технологический, алгоритмический, согласуется с компетентностной моделью обучения. Второй способ требует осмысления задачной ситуации и её понимания, он отвечает знаниевому подходу в обучении. Умея разобрать и решить задачу логически, не составит никакого труда решить её и алгебраически. Безусловно, оба способа решения арифметических задач должны прививаться обучающимся: сначала логический, а уже затем алгебраический. Но так называемое логическое решение задач значительно лучше развивает логическое мышление ребёнка, следовательно, и его мышление в целом. В качестве иллюстрации приведём ещё пару арифметических задач. Из города A в город Б и из города Б в город A на рассвете одновременно вышли две старушки. В 12 часов они встретились. Потом продолжили свой путь. Одна пришла в конечный пункт в 4 часа дня, а другая - в 9 часов вечера. В каком часу рассвело в этот день? (Ответ: в 6 часов утра.). Маша живет от школы на расстоянии 2 км, а ее одноклассник Ваня - на расстоянии 5 км. На каком расстоянии друг от друга живут Маша и Ваня? Если чуть-чуть творчески подойти к данной задаче, то ответ становится очевидным: множеством решений (в км) служит числовой отрезок [3; 7]. Можно также изобразить ситуацию геометрически, нарисовав две концентрические окружности радиусов 2 см и 5 см с центром в «школе». И все увидеть!
В узком смысле понятие логической задачи предполагает некую «изюминку», определённую нестандартность - будь то необычное условие задачи, оригинальная идея, неожиданное решение. Для их решения важно умение «увидеть» существо дела, которое само вырабатывается и формируется в процессе размышления над логическими задачами. Многие олимпиадные математические задачи (вплоть до областного уровня) можно считать логическими.
Существуют целые группы олимпиадных задач, формируемые по методам их решения. Отметим следующие наиболее часто встречающиеся подходы: принцип Дирихле, перебор случаев, составление логических таблиц, диаграммы Эйлера - Венна, метод графов, идея симметрии, выделение инварианта, математическая индукция, правило крайнего, чётность, метод включений и исключений и т. п. Все перечисленные методы носят явный логический характер.
Нестандартные математические задачи принято также подразделять по «предметным» темам: взвешивания, переливания, игры, графы, комбинаторика, арифметика, делимость, элементарная алгебра, элементарная геометрия, функциональные уравнения, парадоксы, мудрецы, рыцари и лжецы, и т. д. Разумеется, классификации (разбиения) логических задач по методу и по теме не совпадают, но значительно налагаются друг на друга по сходным разделам (классам).
Логические задачи - это своеобразная «гимнастика для ума», средство для утоления естественной для каждого мыслящего человека потребности испытывать и развивать силу собственного разума и интеллекта в целом.
