Урок «Комбинации геометрических тел»

Тема «Комбинации геометрических тел»

Цели занятия

Образовательная цель:
Сформировать у обучающихся представление о взаимном расположении многогранников и тел вращения, а также научить решать задачи на нахождение элементов, объёмов и площадей в комбинированных геометрических фигурах.

Развивающая цель:
Развивать пространственное мышление, умение анализировать сложные геом-конфигурации, выделять базовые тела и устанавливать связи между их элементами.

Воспитательная цель:
Воспитывать аккуратность при выполнении чертежей, уважение к логике математических рассуждений, стремление к полноте и обоснованности решений.

Задачи занятия

• Повторить определения и свойства призм, пирамид, цилиндров, конусов и шаров.

• Ввести понятия «вписанное» и «описанное» тело.

• Рассмотреть основные типы комбинаций:

• шар и многогранник,

• цилиндр и призма,

• конус и пирамида.

• Научить находить радиусы, высоты, объёмы в комбинированных телах.

• Решить типовые задачи и организовать самопроверку.

Результаты обучения:

• владение основными понятиями о плоских и пространственных геометрических фигурах, их основных свойствах; сформированность умения распознавать на чертежах, моделях и в реальном мире геометрические фигуры;

• сформированность представлений о математике как части мировой культуры и о месте математики в современной цивилизации.

Цель на урок: выработать умение применять формулы для вычисления объёма прямой призмы и цилиндра при решении задач.

ОБОРУДОВАНИЕ: учебники по геометрии 10-11 класс (автор Атанасян Л.С.), компьютер, презентация https://ppt-online.org/32369

План:

1. Теоретическая основа

2. Примеры.

3. Самопроверка.

4. Домашняя работа.

1.Изучение материала. Теоретическая основа

1.1. Что такое комбинация геометрических тел?

Комбинация геометрических тел — это когда одно тело вписано в другое или описано около него. При этом тела имеют общие элементы: точки касания, общие плоскости симметрии, совпадающие центры или оси.

Основные термины:

Тело вписано в другое — все его вершины (или поверхность) касаются внутренней поверхности внешнего тела.

Тело описано около другого — его поверхность касается внешней поверхности внутреннего тела.

Комбинация геометрических тел— это не случайность, а система

Когда два тела «сочетаются» — будь то шар в пирамиде или цилиндр в призме — это не произвольное соседство. Это геометрическая система, в которой:

• одни элементы определяют другие,

• одни размеры ограничивают другие,

• всё подчинено симметрии, касанию или соосности.

Главный вопрос при анализе комбинации: «Что фиксировано, а что — следствие?»

1.2. Три ключевых типа связей между телами

Тип 1. Общая ось симметрии

Большинство комбинаций (особенно с телами вращения) строятся вокруг единой оси.

Пример: конус и пирамида с общим основанием — их высоты лежат на одной прямой.

Следствие: любое осевое сечение будет содержать оба тела целиком.

Тип 2. Касание поверхностей

Если одно тело вписано в другое, их поверхности касаются, но не пересекаются.

В точке касания радиус шара перпендикулярен грани призмы,

Образующая конуса касается ребра пирамиды.

Это даёт прямоугольные треугольники в сечении — основа для расчётов.

Тип 3. Совпадение характерных точек

Центр шара может совпадать с центром основания призмы,

Вершина конуса — с вершиной пирамиды,

Основание цилиндра — с основанием параллелепипеда.
Эти совпадения фиксируют положение одного тела относительно другого.

1.3. Почему осевое сечение — основа всего?

Любая комбинация, обладающая осью симметрии, полностью определяется своим осевым сечением.

• Шар → круг,

• Цилиндр → прямоугольник,

• Конус → равнобедренный треугольник,

• Правильная пирамида → равнобедренный треугольник,

• Призма с правильным основанием → прямоугольник.

Таким образом, сложная 3D-задача сводится к 2D-задаче на плоскости — с окружностями, треугольниками и прямоугольниками.

1.4. Как «собрать» комбинацию по описанию

Часто в задаче не говорят: «впишите шар в пирамиду». Вместо этого дают условия:

• «Шар касается всех граней пирамиды»,

• «Цилиндр помещён в призму так, что его основания лежат в плоскостях оснований призмы».

Алгоритм анализа:

1. Определите, какие поверхности соприкасаются.

2. Найдите общую ось или центр.

3. Постройте осевое сечение.

4. В сечении — найдите неизвестные длины через подобие, теорему Пифагора, тригонометрию.

5. Перенесите результат в 3D рисунки.

1.5. Частые ловушки и ошибки

Ошибка 1: считать, что шар можно вписать в любую пирамиду.
→ Нет! Только если все боковые грани одинаково наклонены к основанию (например, в правильную пирамиду).

Ошибка 2: путать радиусы вписанной и описанной окружностей в основании.
Для квадрата:

r_впис=

R_опис=

Ошибка 3: забывать, что высота — общая, но не всегда равна диаметру.
У шара, вписанного в призму: h=2r, но только если призма «подогнана» под шар.

2. Примеры

Пример 1. «Скрытая» комбинация: шар и треугольная пирамида

Условие:
Все рёбра правильной треугольной пирамиды равны 6 см. Найдите радиус шара, вписанного в пирамиду.

Анализ:

Все рёбра равны → пирамида правильная и равногранная → шар вписать можно.

Осевое сечение — равнобедренный треугольник с основанием 6 см и боковыми сторонами 6 см.

Но! Высота пирамиды ≠ высоте боковой грани.

Решение:

1. Найдём высоту пирамиды H:

Радиус описанной окружности около основания:R==2

H²=6²−(2²=36−12=24

H=2

1. Объём пирамиды:

S_осн=⋅4=9? Нет!
S_осн=⋅36=9

V=⋅9⋅2 =6 =18

1. Площадь полной поверхности:

Боковая грань — равносторонний треугольник:S_гр=9

S_полн=9+3⋅9=36

1. Радиус вписанного шара:

r= ==≈1.22 см

Ответ: см

Пример 2. Цилиндр в наклонной призме?

Условие:
Можно ли вписать цилиндр в наклонную призму с квадратным основанием?

Анализ:

Цилиндр требует, чтобы его основания были параллельны и перпендикулярны оси.

В наклонной призме боковые рёбра не перпендикулярны основанию.

Значит, нельзя провести две параллельные плоскости, перпендикулярные оси цилиндра, которые бы совпали с основаниями призмы.

Вывод:
Нельзя. Цилиндр можно вписать только в прямую призму, основание которой — описанный многоугольник.

Пример 3. Два шара в конусе

Условие:
В конус вписаны два шара: один касается основания и боковой поверхности,

другой — вершины и боковой поверхности.

Радиусы шаров — 1 см и 3 см. Найдите высоту конуса.

Анализ решения:

Используем подобие треугольников в осевом сечении.

Расстояние от вершины до центра малого шара: x, до большого: x+4 (сумма диаметров).

Из подобия: =⇒x+4=3x⇒x=2

Высота конуса = x+2+6+y? Нет.
Попробуем по другому:

От вершины до центра малого шара: d₁, тогда sinα=1/d₁

До центра большого: d₂=d₁+4, sinα=

=⇒d₁=2

Тогда расстояние от вершины до основания:
H=d₁+1+расстояние от малого шара до основания
Но проще:
Общая высота = d₁+1+(d₂−3)+3=d₁+d₂+1=2+6+1=9?

Правильнее:
Высота = расстояние от вершины до основания =
= (расстояние до центра большого шара) + радиус большого шара =
= d₂+3=(d₁+4)+3=2+4+3=9 см.

Ответ: 9 см

Пример 4. Комбинация без слов

Условие:
В прямоугольный параллелепипед вписан шар. Объём параллелепипеда — 216 см³. Найдите объём шара.

Анализ:

Шар вписан → параллелепипед — куб (иначе шар не коснётся всех граней).

Пусть ребро = a, тогда a³=216⇒a=6

Радиус шара = 3 см

Объём шара = π⋅27=36π

Ответ: 36π см³

3. Самопроверка

Задание 1.
Все рёбра правильной четырёхугольной пирамиды равны 4 см. Найдите радиус вписанного шара.

Задание 2.
Можно ли описать шар около наклонной призмы? Почему?

Задание 3.
В конус вписан цилиндр так, что его верхнее основание делит высоту конуса пополам.

Во сколько раз объём конуса больше объёма цилиндра?

Задание 4.
Почему осевое сечение — главный инструмент при решении задач на комбинации?

Ключи

1.H²=4²−(2)²=8, H==2,
V=16⋅2=
S_полн=16+4⋅⋅16=16+16? Нет — боковая грань — равнобедренный треугольник с основанием 4

и боковыми 4 → высота ==2, площадь грани = ⋅4⋅2=4,
S_полн=16+16,
r= ===−1)

2.Да, если все вершины лежат на сфере. Наклон не мешает — главное, чтобы существовала точка,

равноудалённая от всех вершин.

3.Пусть высота конуса = 2h, радиус = R.
Тогда радиус цилиндра = R/2 (по подобию), высота = h.
V_кон=πR²⋅2h=πR²h
V_цил=π(R/2)²h=πR²h
Отношение: 2/3 и 1/4=8/3

4.Потому что оно сохраняет все ключевые связи (касание) и переводит 3D в 2D, где работают знакомые методы.

Домашняя работа

1Начертить

Цилиндр вписанный в призму

Цилиндр описанный около призмы,
Конус вписанный в пирамиду

Конус описанный вокруг пирамиды

2 Написать конспект

ИЛИ

Задания

1. В конус с высотой 12 см и радиусом 9 см вписан цилиндр максимального объёма. Найдите его объём.
(Подсказка: выразите объём цилиндра как функцию его высоты и найдите максимум.)

2. Около правильной треугольной пирамиды, у которой двугранный угол при основании равен 60°, описан шар радиусом 6 см. Найдите объём пирамиды.

Задание 3 (творческое).
Представьте, что вы видите только тень (проекцию) комбинации тел на стену. По тени — круг внутри квадрата — опишите, какие 3D-тела могли её создать.

Формат сдачи: PDF или фото решений.
Срок: до следующего занятия.

Заключение:
Комбинации тел — это не набор формул, а геометрический диалог между фигурами. Научившись его «слушать», вы сможете решать даже самые нестандартные задачи.