Задачи про множества. Пересечение, объединение множеств. Круги Эйлера
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Круги Эйлера — это геометрическая схема, с помощью которой можно наглядно изобразить отношения между множествами.
При решении целого ряда задач Эйлер использовал идею изображения множеств с помощью кругов. Однако этим методом еще до Эйлера пользовался Лейбниц, который использовал их для геометрической интерпретации логических связей между понятиями. Свое развитие графические методы получили в сочинениях английского логика Венна. Поэтому такие схемы иногда называют диаграммами Эйлера--Венна.
.
Черный и белый шоколад
На схеме прямоугольник изображает всех учащихся 6 класса, круг Ч – тех, кто любит чёрный шоколад, а круг Б – тех, кто любит белый шоколад. Штриховкой выделено некоторое подмножество этих шестиклассников.
Начало формы
Поставьте в соответствие каждому рисунку соответствующее описание выделенного множества.
Конец формы
Те, кто любит и чёрный, и белый шоколад.
Те, кто любит белый и не любит чёрный шоколад.
Те, кто любит какой-нибудь один вид шоколада: или чёрный, или белый.
Те, кто не любит ни чёрный, ни белый шоколад.
Подсказка 1 из 1
Если кто-то любит и то и другое, то это пересечение множеств.
Если кто-то не любит ничего, то это все то, что лежит за множествами.
Если кто-то любит, что-то одно, то должно быть заштриховано только это и не должно быть заштриховано пересечение множеств..
Решение задачи
Те, кто любит и чёрный, и белый шоколад.
Те, кто любит белый и не любит чёрный шоколад.
Те, кто любит какой-нибудь один вид шоколада: или чёрный, или белый.
Те, кто не любит ни чёрный, ни белый шоколад.
Множество кошек
Выберите несколько верных утверждений в соответствии с рисунком.
Множество Животные является подмножеством множества Кошки.
Множество Вислоухие является подмножеством множества Кошки.
Множество кошки является подмножеством множества Животные.
Множества школьных предметов
Из десяти опрошенных школьников семерым нравится математика, восьмерым — история.
Скольким ребятам нравится математика и история одновременно, если двоим ребятам не нравятся ни история ни математика?
Подсказка 1 из 1
Поскольку двоим не нравится ничего, то математика или история нравятся восьмерым из опрошенных.
Решение задачи
Поскольку двоим не нравится ничего, то математика или история нравятся восьмерым из опрошенных. Заметим, что в числе тех, кому нравится математика, есть те, кому нравится и математика, и история. Также и в числе тех, кому нравится история, есть эти же люди (кому нравятся оба предмета).
Следовательно, сложив количество тех, кому нравится математика с количеством тех, кому нравится история, мы получим всех, кому нравится только математика, всех, кому нравится только история и дважды учтем тех, кому нравится и то и другое. Обозначив учтенное дважды количество за x, получим: 8+7−x=8, откуда x=7.
Круги Эйлера
Некоторые ребята из нашего класса любят ходить в кино. Известно, что 15 ребят смотрели фильм «Обитаемый остров», 11 человек – фильм «Стиляги», из них 6 смотрели и «Обитаемый остров», и «Стиляги».
Начало формы
Сколько человек смотрели только фильм «Стиляги»?
Конец формы
Подсказка 1 из 2
Изобразим эти множества с помощью кругов Эйлера:
Подсказка 2 из 2
6 человек смотрели и «Обитаемый остров», и «Стиляги». Отметим это на кругах Эйлера:
Решение задачи
6 человек, которые смотрели фильмы «Обитаемый остров» и «Стиляги», помещаем в пересечение множеств.
Получаем:
15 – 6 = 9 – человек, которые смотрели только «Обитаемый остров».
11 – 6 = 5 – человек, которые смотрели только «Стиляги».
Получаем:
Ответ: 5 человек смотрели только «Стиляги».
