Раздел 8.Основы тригонометрии
Тема. "Нахождение синуса, косинуса и тангенса углов. Тригонометрические тождества"
Учебная цель: дать определение синуса, косинуса, тангенса, доказать некоторые их свойства.
Учебные задачи:
Образовательные: ввести понятие тригонометрических функций синуса, косинуса, тангенса и котангенса, как координат точки единичной окружности; определить множество значении этих функций; рассмотреть перевод градусной меры измерения улов в радианную меру и наоборот; сформировать умение определять знаки тригонометрических функций; рассмотреть зависимости между косинусом, синусом, тангенсом и котангенсом одного и того же аргумента; научить находить значения тригонометрических функций по тригонометрической окружности выполнять действия с тригонометрическими функциями.
Развивающие: развивать и совершенствовать умения применять имеющиеся знания в различных ситуациях; развивать грамотную математическую речь, умение давать лаконичные формулировки.
Воспитательные: воспитывать аккуратность, умение слушать, высказывать свое мнение; культуру поведения.
Обеспеченность занятия:
1.Учебно-методическая литература:
Ш.А. Алимов и др., Алгебра и начала анализа. 10-11 кл. – М.: Просвещение, 2014.
Ю.М. Колягин и др., Алгебра и начала анализа. 10 кл. – М.: Мнемозина, 2011
А.Н. Колмогоров и др., Алгебра и начала анализа. 10–11 кл. – М.: Просвещение, 2011
2.Рабочая тетрадь: в клетку
3.Раздаточные материалы (карточки-задания, по количеству обучающихся).
4.Калькулятор: простой.
5.Ручка.
6.Карандаш простой.
Краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме практической работы.
Косинусом угла α называется абсцисса (то есть координата по оси OX) точки на единичной̆ окружности, соответствующей данному углу α.
Синусом угла α называется ордината (то есть координата по оси OY ) точки на единичной̆ окружности, соответствующей данному углу α.
Итак, косинус и синус — координаты точки на единичной окружности, соответствующей данному углу. Косинус — абсцисса (x), синус — ордината (y).
Поскольку радиус окружности равен 1, для любого угла и синус, и косинус находятся в пределах от −1 до 1:
−1 ≤ cos α ≤ 1, −1 ≤ sin α ≤ 1.
Основное тригонометрическое тождество является следствием теоремы Пифагора (квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов):
sin2 α+ cos2 α = 1
Чтобы узнать знаки синуса и косинуса какого-либо угла, находим на нашей окружности точку, соответствующую данному углу α, смотрим, положительны или отрицательны её координаты по x (это косинус угла α) и по y (это синус угла α).
Задача. Найдите sin α, если известно следующее:
Нам известен косинус, но неизвестен синус. Основное тригонометрическое тождество (в «чистом» виде) связывает как раз эти функции, поэтому будем работать с ним. Имеем:
sin2 α + cos2 α = 1 ⇒ sin2 α + 99/100 = 1 ⇒ sin2 α = 1/100 ⇒sin α = ±1/10 = ±0,1.
Для решения задачи осталось найти знак синуса. Поскольку уголα ∈ (π/2; π), то в градусной мере это записывается так: α ∈ (90°; 180°).
Следовательно, угол α лежит во II координатной четверти — все синусы там положительны. Поэтому sin α = 0,1.
Задания для практического занятия:
Задание 1
подготовка к работе на занятии:
- настрой на работу, организация внимания;
- проверка домашнего задания
Задание 2.
Воспроизведение и коррекция опорных знаний. Фронтально с группой.
Кроссворд по теме «Тригонометрия»
Значение переменной, обращающее уравнение в верное равенство? (Корень)
Единица измерения углов? (Радиан)
Числовой множитель в произведении? (Коэффициент)
Раздел математики, изучающий тригонометрические функции? (Тригонометрия)
Какая математическая модель необходима для введения тригонометрических функций? (Окружность)
Какая из тригонометрических функций четная? (Косинус)
Как называется верное равенство? (Тождество)
Равенство с переменной? (Уравнение)
Уравнения, имеющие одинаковые корни? (Равносильные)
Множество корней уравнения? (Решение)
Если вписать верные слова, то получится название одного из видов тригонометрических уравнений.
Задание 3
§23 , Стр. 126, Ш.А.Алимов и др., Алгебра и начала анализа. 10-11 кл. (Учебники выдает преподаватель)
Работа по учебнику.
а) Прочитать материал стр.126-130. Записать задачи себе в тетрадь.
б) Таблицу стр. 129 перечертить себе с тетрадь
Задание 4
Самостоятельно выполнить задания (с проверкой у доски – несколько человек)
№№ 430(1,3); 432(1,2); 434(1); 435(1,3)
Задание 5
Сделать самостоятельно
№№ 430(2); 432(3); 434(2); 435(2)
Дополнительно (индивидуально) тем, кто быстрее справится с заданиями: №439(1)
Обсудить и проверить решения друг с другом.
Задание 6
§24, Стр. 132, Ш.А.Алимов и др., Алгебра и начала анализа. 10-11 кл. (Учебники выдает преподаватель)
Работа по учебнику.
а) Прочитать материал стр.132-133. Записать задачи 1 и 2 себе в тетрадь.
Задание 7
Самостоятельно выполнить задания (с проверкой у доски – несколько человек)
№№ 442(нечет.); 444(1,3,5); 445(1,3,5); 446(1,3,5)
Задание 8
Сделать самостоятельно
№№ 442(чет.); 444(2,4,6); 445(2,4,6); 446(2,4,6)
Дополнительно (индивидуально) тем, кто быстрее справится с заданиями: №452(1)
Обсудить и проверить решения друг с другом.
Задание 9
§25 , §26 Стр. 135 и стр.139 Ш.А.Алимов и др., Алгебра и начала анализа. 10-11 кл. (Учебники выдает преподаватель)
Работа по учебнику.
а) Прочитать материал стр.135-137. Записать задачи 1 и 2 себе в тетрадь.
Работа в парах. Вопросы друг другу и преподавателю.
б) Задачу 4 разобрать у доски. Обсуждение. Записать решение в тетрадь.
в) Прочитать материал стр.139-140. Записать задачи 1 и 2 себе в тетрадь.
Работа в парах. Вопросы друг другу и преподавателю.
г) Задачу 4 разобрать у доски. Обсуждение. Записать решение в тетрадь.
Задание 10
Самостоятельно выполнить задания (с проверкой у доски – несколько человек)
№№ 457(1); 458(1); 459(1,3)463(1); 466(1,3)468(1)
Задание 11
Сделать самостоятельно
№№ 457(2); 458(2); 459(2)463(2); 466(2)468(2)
Дополнительно (индивидуально) тем, кто быстрее справится с заданиями: №471
Обсудить и проверить решения друг с другом.
Задание 12
Подвести итог работы на занятии.
Записать домашнее задание.
Вопросы для закрепления теоретического материала к практическому занятию:
Что называют синусом и косинусом угла?
Что называют тангенсом и котангенсом угла?
Знаки синуса, косинуса, тангенса?
Основное тригонометрическое тождество?
Зависимость между тангенсом и котангенсом?
Зависимость между косинусом и тангенсом?
Что называют тождеством?
Способы доказательства тождеств?
