Тема «Тригонометрические функции»
Методика изучения числовой окружности
Пусть дана окружность радиусом 1 и пусть на ней отмечена точка А –
правый конец горизонтального диаметра. Поставим в соответствие каждому действительному числу t точку окружности по следующему правилу:
еслиt >0 , то, двигаясь из точки A в направлении против часовой стрелки (положительное направление обхода окружности), опишем по окружности путь длиной t; конец этого пути и будет искомой точкойM (рис.1);
если t <0, то, двигаясь из точки A в направлении по часовой стрелке (отрицательное направление обхода окружности), опишем по окружности путь длиной |t |; конец этого пути и будет искомой точкой M ;
числуt=0 поставим в соответствие точку A.
Единичную окружность с установленным соответствием назовем числовой окружностью.
Это вторая геометрическая модель для множества действительных чисел. Первую модель – числовую прямую – учащиеся уже знают. Есть аналогия: для числовой прямой правило соответствия (от числа к точке) почти дословно такое же. Но есть и принципиальное отличие – источник основных трудностей в работе с числовой окружностью: на прямой каждая точка соответствует единственному числу, на окружности это не так. Если точка M окружности соответствует числу t, то она соответствует и всем числам видаt+2πk, где 2π – длина единичной окружности, а k – целое число, показывающее количество полных обходов окружности в ту или иную сторону.
Этот момент труден для учащихся. Следует предложить им для понимания сути дела реальную задачу:
Беговая дорожка стадиона имеет длину 400 м, бегун находится в 100 м от места старта. Какой путь он пробежал? Если он только начал бег, то пробежал 100 м; если успел пробежать один круг, то – (100+400*1 ) м = 500 м, два круга – (100+400*2 )м = 900 м ; если успел пробежатьk кругов, то путь составит (100+400*k ) м . Вот теперь можно сопоставить полученный результат с выражением t+2πk.
Вся школьная тригонометрия строится на модели числовой окружности. Опыт показывает, что недоработки с этой моделью, слишком поспешное введение тригонометрических функций не позволяют создать надежный фундамент для успешного усвоения материала. Следовательно, не нужно торопиться, а отвести некоторое время на рассмотрение следующих пяти различных типов задач с числовой окружностью:
Отыскание на числовой окружности точек, соответствующих заданным числам, выраженным в долях числа π.
Отыскание на числовой окружности точек, соответствующих заданным числам, не выраженным в долях числа π.
Составление аналитических записей (двойных неравенств) для дуг числовой окружности.
Отыскание декартовых координат точек числовой окружности, центр которой совмещен с началом системы координат.
Отыскание на числовой окружности точек по заданным координатам.
Рассмотрим некоторые из них.
Пример 1: Найти на числовой окружности точки, соответствующие числам
Решение:
Разделим дугу AB пополам точкой E на три равные части – точками F и K (рис.2). Тогда . Значит, числу соответствует точка F , числу – точка E, числу – точка K. (рис.1)
Пример 2: Найти координаты точки .
Решение:
Точкарасположена ближе к вертикальной оси, чем к горизонтальной, т.е. модуль ее абсциссы меньше, чем модуль ее ординаты. Значит, модуль абсциссы равен , модуль ординаты равен . Знаки в обоих случаях отрицательны (третья четверть). Вывод: точка имеет координаты . В четвертом типе задач
(рис.2)
отыскиваются декартовы координаты всех точек, о которых упоминалось выше.
Фактически в курсе данного типа задач мы готовим учащихся к вычислению значений тригонометрических функций. Если все здесь будет отработано достаточно надежно, то переход на новую ступень абстракции (ордината – синус, абсцисса – косинус) окажется менее болезненным, чем обычно.
Четвертый тип включает в себя задания такого типа: для точки M(5 ) найти знаки декартовых координат M(x;y ).
Решение не должно вызывать трудности у учащихся: числу t=5 соответствует точка M четвертой четверти, значит,x>0,y<0 .
Пример 3: Найти на числовой окружности точки с ординатой и записать, каким числам они соответствуют.
Решение:
Прямаяпересекает числовую окружность в точкахM и N.
Устанавливаем, что точка M соответствует числу , значит, она соответствует всем числам вида ; точка N соответствует числу , а значит, и всем числам вида . (рис.3)
Ответ: ; .
