Методика изучения темы: «Тригонометрические функции» в курсе алгебры и начал анализа
В изучении тригонометрических функций в школе выделяются два основных этапа:
Первоначальное знакомство с тригонометрическими функциями углового аргумента в курсе геометрии (8-9 класс).
Систематизация и расширение знаний о тригонометрических функциях в курсе алгебры и начал анализа (10-11 класс).
Нас интересует второй этап. Он характеризует переход от углового аргумента к числовому. С начала курса мы должны рассматривать тригонометрические функции углов любой величины – следовательно, учащихся необходимо познакомить с углом как с величиной, которая может изменяться от - до +. В курсе геометрии данное понятие не встречалось, поэтому, это следует наверстать на втором этапе. Следовательно, необходимо вводить числовую окружность, работу с которой уместно провести тоже на втором этапе. Как знакомить учащихся с числовой окружностью мы рассмотрели выше.
Не стоит оставлять недоработанными даже самые маленькие детали, так как даже незначительные с виду недоработки, появляющиеся при рассмотрении числовой окружности, при изучении самих тригонометрических функций могут стать причиной появления больших пробелов в знаниях.
После того, как мы научились работе с числовой окружностью как самостоятельным объектом, можно переходить к введению самих тригонометрических функций.
Необходимо помнить, что определения тригонометрических функций с помощью числовой окружности тяжело укладываются в сознании учащихся по одной простой причине: на первом этапе определения были даны в геометрической трактовке – как отношения сторон прямоугольного треугольника.
Из психологии известно: «если какое-нибудь важное понятие вводится в первый раз, то ассоциации, сопутствующие ему, врезаются в сознание учащегося чрезвычайно прочно. Последующие впечатления бывают слабее и не могут стереть того обличия, в котором это понятие явилось впервые». [6]
Независимо от того, что мы уже прибегали к окружности для введения «новых» определений синуса и косинуса на этапе расширения множества значений, принимаемых углом, необходимо еще раз провести взаимосвязь между прямоугольным треугольником и числовой окружностью.
Отметим, что школьные учебники почему-то не уделяют данному факту необходимого внимания (см. главу «Анализ изложения темы «Тригонометрические функции» в различных школьных учебниках»), значит учителю необходимо обратить внимание на то, чтобы приведение тригонометрических функций на данном этапе были озвучены следующие моменты.
Рассмотрим числовую окружность единичного радиуса, расположенную в прямоугольно декартовых координатах.
В положительном направлении от оси отложим угол такой, что . Обозначим полученную на окружности точку как . Опустим из точки перпендикуляр на ось , получим точку . Рассмотрим получившийся прямоугольный треугольник по определению равен отношению , однако радиус окружности равен единице, значит, . Аналогично, . Обратим внимание, что длина - это абсцисса точки в прямоугольно-декартовой системе координат, а длина - ее ордината. Следовательно, синус и косинус угла определяются через ординату и абсциссу точки , что гораздо удобнее при работе в прямоугольно-декартовой системе координат.
При работе с числовой окружностью мы уяснили тот факт, что поскольку длину дуги единичной окружности без труда можно выразить через центральный угол, на нее опирающийся, то точку , можно построить и с помощью другого способа - отложением дуги заданной длины. А поскольку длина дуги – всегда действительное число, то, от тригонометрических функций углового аргумента мы можем перейти к тригонометрическим функциям числового аргумента.
Возвратимся к наложенным на угол ограничениям. Угол находится в промежутке от 00 до 900, а тогда и длина дуги лежит между нулем и . Пользуясь все той же геометрической интерпретацией, несложно показать, что данные определения можно применить и на любые углы и числа.
Понятия тангенса и котангенса можно ввести двояко: как отношение синуса к косинусу (косинуса к синусу) и как ординату (абсциссу) точки пересечения касательной к окружности в точке (1;0) ((0;1)) и прямой .
На самом деле, после определения функций синуса и косинуса, у нас уже нет нужды в числовой окружности как средстве для введения понятий тангенса и котангенса. Но так как мы выбрали эту модель, то стоит показать, как определить функции тангенс и котангенс только с помощью их геометрического определения (заметим, что выражения «тангенс угла – это отношение синуса к косинусу » и « котангенс угла – это отношение косинуса к синусу » не являются определениями – это уже свойства).
Использование второго подхода поможет нам не только на этапе изучения самих тригонометрических функций, но и на этапе решения тригонометрических уравнений и неравенств. Следовательно, уместнее прибегнуть именно ко второму подходу, а определение тангенса как отношение синуса к косинусу рассматривать как свойство.
Таким образом, мы ввели понятия всех тригонометрических функций (предусмотренных программой). Но перед переходом к их исследованию и построению графиков, следует проверить у учащихся отработку следующих навыков:
Нахождение значений всех тригонометрических функций в «главных» точках.
Для лучшего запоминания значений тригонометрических функций можно использовать следующую вспомогательную таблицу:
В данной таблице значения синуса и косинуса представлены в более удобной для восприятия и запоминания форме.
Решение простейших тригонометрических уравнений и неравенств.
Определение знаков тригонометрических функций в заданных точках.
Упрощение выражений с использованием основного тригонометрического тождества и формул приведения.
Нахождение по заданному значению одной из тригонометрических функций значений всех остальных тригонометрических функций.
После получения вышеперечисленных навыков, ученики тем самым получат запас средств, достаточных для более основательного исследования и построения графиков тригонометрических функций.
Построение графиков и исследование функций может проводиться двумя способами:
Сперва по точкам строится график, а затем с помощью графической интерпретации проводится исследование всех свойств функции;
Построение графика выполняется после исследования функции, а наглядные представления о свойствах учащиеся получают из анализа поведения функций на числовой окружности.
Разумнее использовать второй подход, поскольку при данном подходе, во-первых, все свойства тригонометрических функций изображаются на обеих моделях (на числовой окружности и на графике), а, во-вторых, это является хорошей пропедевтической работой для последующего обучения исследованию функций и построению графиков с помощью производной.
Независимо от того, что, при анализе поведения функции на числовой окружности, мы только иллюстрируем некоторое свойство, стоит помнить, что иногда «доказательство» с помощью окружности – это единственное доступное для учеников обоснование некоторых фактов. Однако отдельные случаи все-таки требуют более четкого обоснования формулируемых утверждений.
