Управление образования и науки Липецкой области
Государственное областное Автономное профессиональное образовательное учреждение
«Липецкий металлургический колледж»
Методическая разработка
ОТКРЫТОго Учебного занятия
по дисциплине
«МАТЕМАТИКА»
на тему:
«Вторая производная, её механический смысл. Исследование функции с помощью второй производной»
Преподаватель: | Ланина Юлия Алексеевна |
Липецк 2020
Методическая разработка открытого учебного занятия по дисциплине «Математика» на тему: «Вторая производная, её механический смысл. Исследование функции с помощью второй производной» для специальностей 1 курса
одобрено
цикловой комиссией естественнонаучных дисциплин
Протокол № _______ от «_______» __________2020 г.
Председатель:___________Красникова Л.Н.
Составитель: ____________ Ланина Ю.А., преподаватель математических
дисциплин
Тип занятия: изучение и первичное закрепление новых знаний и способов деятельности
Технология: практико - ориентированная
Цели занятия:
Дидактические:
- обобщение и систематизация знаний по теме: Исследование функции на экстремум с помощью производной первого порядка, её механический смысл»;
- изучение понятия производной второго порядка, ее механического смысла и применения к исследованию функций.
Развивающие:
- развитие логического мышления;
- формирование умения применять полученные знания на практике;
- расширение не только математический, но и общеобразовательный кругозор.
Воспитательные:
- привитие интереса к учебной дисциплине;
- развитие умений работать в команде, в паре, самостоятельно.
Оборудование:
- ПК;
- интерактивная доска;
- документ – камера;
- дидактические материалы.
Методы обучения:
- словесный,
- наглядный,
- практический.
Ход занятия
Организационный момент
Организация студентов, проверка готовности к занятию.
Актуализация опорных знаний
Вопросы для повторения основных определений и правил:
Какие точки называются точками экстремума?
Какая точка называется точкой максимума (минимума)?
Какие точки могут служить точками экстремума?
Как с помощью производной можно найти точки экстремума?
В чём заключается механический смысл производной первого порядка?
Самостоятельная работа (каждому студенту выдана карточка с заданием на нахождение экстремумов функции с помощью первой производной).
Изучение нового материала
Пусть функция имеет производную . Производная по переменной , если она существует, называется второй производной или производной второго порядка.
Вторую производную функции принято обозначать так:
, ,, , , .
Найдите производные второго порядка следующих функций:
1). ,
2). ,
3). ,
4). ,
5). .
Решение:
1). ,
.
2). ,
.
3). ,
.
4). ,
.
5). ,
.
Правило нахождения экстремумов функции с помощью второй производной:
Найти .
Найти критические точки данной функции, в которых .
Найти .
Исследовать знак второй производной в каждой из критических точек. Если при этом вторая производная окажется отрицательной, то функция в такой точке имеет максимум, а если положительной, то – минимум. Если же вторая производная равна нулю, то экстремум функции надо искать с помощью первой производной.
Вычислить значения функции в точках экстремума.
Исследуйте на экстремум с помощью второй производной функции:
1). ,
2). ,
3). .
Решение:
1). ,
, .
, , .
2).
; , .
, , ,
,.
3). ,
, , .
,,
,.
Механический смысл второй производной.
Пусть тело движется прямолинейно по закону . Скорость движения тела в данный момент времениопределяется как производная пути по времени, т.е. .
Если тело движется неравномерно, то скорость с течением времени изменяется и за промежуток времени получает приращение . В этом случае величина , показывающая изменение скорости в единицу времени, называется средним ускорением за промежуток времени от до .
Пусть , тогда , а среднее ускорение стремится к величине, которая называется ускорением в данный момент времени , т.е. .
Таким образом, ускорение прямолинейного движения тела в данный момент времени равно второй производной пути по времени, вычисленной для данного момента.
Задача 1. Тело движется прямолинейно по закону . Определите скорость и ускорение тела в момент времени .
Решение: , ;
, .
Задача 2. Определите момент времени , когда ускорение прямолинейного движения, совершаемого по закону , равно нулю. Какова при этом скорость?
Решение: ,
,.
,.
,.
Самостоятельная работа. Студентам возвращаются работы, которые они выполняли вначале занятия и дается еще одно задание: исследовать ту же функцию на экстремум с помощью второй производной.
После того, как задания выполнены, студенты обмениваются работами, проверяют их и выставляют отметки.
Подведение итогов занятия
Домашнее задание
1. Исследуйте функции на экстремум с помощью второй производной:
2. Тело движется прямолинейно по закону . Определите скорость и ускорение тела в момент времени t=3.
Литература
Богомолов Н.В. Практические занятия по математике. – М.: Высшая школа, 2017.
Григорьев С.Г., Задулина С.В. Математика: Учебник для студ. сред. проф. учреждений. – М.: Издательский центр «Академия», 2019. – 384 с.
Дадаян А.А. Математика, профессиональное образование. – М.: Форум – ИНФРАМ, 2017.
