Государственное бюджетное общеобразовательное учреждение
лицей №150
Калининского района Санкт-Петербурга
Применение метода сечений для решения геометрических задач второй части итоговой аттестации.
Информационный проект
Работу выполнила
Сорокина Анастасия Олеговна
Учащаяся 10 «а» класса
Руководитель
Мангуш Мария Юрьевна
Учитель алгебры и геометрии старшей и средней школы
Санкт-Петербург
Лицей № 150, 2021
Введение3
Глава 14
1.1 Вспомогательная теория.4
1.2 Методы сечений.5
1.3 Понятие позиционной задачи. Примеры задач на построение сечений.7
1.3.3 Построение сечений многогранников на примере задач второй части итоговой аттестации9
Заключение по главе 114
Ресурсы15
Глоссарий15
На данный момент 10 классы начинают свою подготовку к Единому Государственному Экзамену (ЕГЭ), а 11 классы уже активно к нему готовятся. Так как с каждым годом экзамен изменяется, усложняются и появляются новые задания, а в подготовительных материалах тема применения метода сечений для решений геометрических задач не так широко рассмотрена, тогда как на экзамене по профильной математике встречается целый блок заданий на ее использование,мой проект поможет ученикам 10 и 11 класса облегчить и сократить время подготовки к Единому Государственному Экзамену.
Личная заинтересованность в проекте: данный проект поможет мне в подготовке к Единому Государственному Экзамену.
Цель проекта: создать к маю 2021г.плакат для учеников одиннадцатых классов с разбором задач на применение метода сечений, имеющиеся на итоговой аттестации и разместить его на сайте школы.
Задачи моего проекта:
Изучить материалы про метод сечений и составить конспект по данной теме
Провести анкетирование учащихся 10-11 классов с целью узнать степень их осведомленности по данной теме
Предложить ученикам конспект по теме «сечения» для изучения
Провести повторное анкетирование по данной теме с целью узнать какое количество учеников усвоило материал
Сделать плакат с материалами по данной теме для подготовки школьников к итоговой аттестации к маю 2021г
Для начала стоит сказать, что тема сечений встречается в разделе "Стереометрия" в курсе десятых и одиннадцатых классов. Поэтому, для начала, стоит рассмотреть некоторую теорию, которая поможет разобраться в рассматриваемой теме.
Стереометрия - это раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур в пространстве, таких как: прямая, точка, плоскость.
Стоит отметить, что в курсе десятого и одиннадцатого класса тема сечений рассматривается только для многогранников. Введем понятие многогранника.
Многогранник - геометрическое тело, ограниченное со всех сторон плоскими многоугольниками - гранями.
В пространстве две фигуры, для нашего случая плоскость и многогранник могут иметь следующее взаимное расположение: не пересекаются, пересекаются в точке, пересекаются по прямой и плоскость пересекает многогранник по его внутренности, и при этом образуют следующие фигуры:
пустая фигура (не пересекаются)
точка
отрезок
многоугольник (то есть сечение)
Введем понятие сечение.
Сечение — это плоская фигура, которая образуется при пересечении пространственной фигуры плоскостью и граница которой лежит на поверхности пространственной фигуры.
В общем случае секущая плоскость пересекает плоскость каждой грани многогранника и каждое ребро многогранника. Прямую, по которой секущая плоскость пересекает плоскость какой-либо грани многогранника, называют следом секущей плоскости на плоскости этой грани, точку, в которой секущая плоскость пересекает какое-нибудь ребро фигуры, называют следом секущей плоскости на этом ребре. След секущей плоскости на плоскости основания называют следом секущей плоскости.
Для построения сечений также пригодятся следующие теоремы и признаки:
Две прямые параллельны, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.
Теорема о параллельности трех прямых: если a∥b, b∥c, то и a∥c.
Признак параллельности прямой и плоскости: прямая, не лежащая в плоскости, параллельна этой плоскости, если она параллельна некоторой прямой из этой плоскости.
Две плоскости параллельны, если они не имеют общих точек.
Прямая и плоскость параллельны, если они не имеют общих точек.
Признак параллельности двух плоскостей: если две пересекающиеся прямые одной плоскости параллельны двум пересекающимся прямым из другой плоскости, то такие плоскости параллельны.
Если две плоскости пересекаются, то их линия пересечения — прямая.
Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то их линии пересечения параллельны.
Данная теория поможет при построении сечений многогранников, стоит отметить, что некоторые из методов сечений, которые будут рассматриваться в данной работе являются аксиоматическими, то есть при их построении применяются теоремы, признаки и аксиомы стереометрии.
1.2.1 Метод следов .
Суть метода следов при решении задач на построение сечений заключается в построении общих точек, а по ним и прямых пересечений, то есть следов секущей плоскости с плоскостями граней, диагональных или осевых сечений тела. Обычно решение задачи на построение сечения методом следов начинается с построения прямой пересечения секущей плоскости с основной плоскостью. Эту прямую называют главным следом.
Нужно отметить, что метод следов, который является основным в программе школы не всегда удобен в практике построения сечений, так как расположение точек, определяющих след, может быть за рамками чертежа или две заданные точки сечения могут лежать на прямой, параллельной основанию.
1.2.2 Метод дополнения n-угольной призмы или пирамиды до треугольной призмы или пирамиды.
Суть этого метода состоит в следующем: данную призму(пирамиду)
достраиваем до треугольной призмы(пирамиды), строим сечение полученной треугольной призмы(пирамиды), искомое сечение получается как часть сечения треугольной призмы(пирамиды).
1.2.3 Метод параллельных прямых
В основу этого метода положено свойство параллельных плоскостей:
«Прямые, по которым плоскость пересекает данные параллельные плоскости, параллельны между собой».
1.2.4 Метод переноса секущей плоскости
Суть этого метода состоит в следующем: строится такое вспомогательное сечение данного многогранника, которое удовлетворяет следующим требованиям:
1) Оно должно быть параллельно секущей плоскости.
2) В пересечении с поверхностью данного многогранника образуется
треугольник.
Далее соединяем проекцию вершины треугольника с вершинами той грани многогранника, которую пересекает вспомогательное сечение, и находим точки пересечения со стороной треугольника, лежащей в этой грани. Соединяем вершину треугольника с этими точками. Через точку искомого сечения проводим прямые параллельные построенным отрезкам в предыдущем пункте и находим точки пересечения с ребрами многогранника.
1.3 Проверка правильности построения сечений.
Построенное сечение выпуклого многогранника всегда выпуклый
Вершины данного сечения всегда лежат на соответствующих ребрах данного многогранника.
Данные точки, лежащие на гранях многогранника, всегда должны лежать на сторонах многоугольника полученного сечения.
Две стороны многоугольника, получившегося сечения, не могут
принадлежать одной грани данного многогранника.
Если сечение пересекает параллельные грани, то соответствующие этим
граням стороны построенного сечения должны быть параллельными.
1.3.1 Позиционные задачи
Всякую задачу, где требуется определить общие элементы данных фигур, то есть построить пересечение данных фигур, называют позиционной.
Ясно что, чтобы позиционная задача была разрешима, достаточно того, чтобы изображение было полным. В основе решения задач на построение сечений лежит принцип расширения числа заданных элементов, который заключается в следующем: с помощью ранее заданных точек, прямых и плоскостей на изображении определяют дополнительные точки, прямые и плоскости как заданные элементы изображения относительно плоскости, принятой за основную.
1.3.2 Задачи, встречающиеся во второй части итоговой аттестации и примеры их решений.
Для начала следует сказать, что все задачи, рассматриваемые в данной работе- задачи, взятые из открытого банка заданий по математике Единого Государственного Экзамена. Стоит также учитывать, что построение сечений является в задачах ЕГЭ является вспомогательным заданием и от того как построено сечение будет зависеть решение всей задачи.
В основном в задачах второй части итоговой аттестации встречаются следующие задания на построения:
построение сечения, проходящего через заданную прямую параллельно другой заданной прямой;;
построение сечения многогранника плоскостью, проходящей через заданную прямую перпендикулярно заданной плоскости;
построение сечения многогранника плоскостью, проходящей через заданную точку параллельно заданной плоскости;
Задача №1
Основанием прямой четырехугольной призмы ABCDA'B'C'D' является квадрат ABCD со стороной , высота призмы равна Точка K — середина ребра BB'. Через точки K и С' проведена плоскость α, параллельная прямой BD'.
а) Докажите, что сечение призмы плоскостью α является равнобедренным треугольником.
б) Найдите периметр треугольника, являющегося сечением призмы плоскостью α.
Данную задачу надо начать с построения нужного сечения.
Нам для этого дано:
кубAA'BB'CC'DD'
K-серединаBB'
CKa
a||D'B
Построение:
Рассмотрим треугольник D'BB'
(надо построить такую прямую, которая будет параллельна D'B и содержать в себе точку К )
Такой прямой может являться средняя линия данного треугольника.
У нас уже дана середина одного из катетов (точка K)
Рассмотрим квадрат D'C'A'B':диагональD'B'диаг.A'C' = E, так как A'B'C'D'- квадрат => E-серединаD'B'.
Далее соединяем точки E и K: получаем среднюю линию треугольника => EK||D'B
EKa=>Ea,но такжеЕ(D'C'B') так же как C'(D'C'B') , можем соединить эти точки,. Полученной прямой принадлежит диагональ C'A'=>A'-следующая точка, принадлежащая нужному сечению.
Так как A'( A'B'B) =>соединяем A' и K(K(A'B'B)
Получилось искомое сечение C'KA' || D'B (EKC'KA' и || D'B)
Далее имея сечение можно решить данную геометрическую задачу.
Задача№2
В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB равна 12, а боковое ребро SA равно 13. Точки M и N — середины рёбер SA и SB соответственно. Плоскость α содержит прямую MN и перпендикулярна плоскости основания пирамиды.
а) Докажите, что плоскость α делит медиану CE основания в отношении 5 : 1, считая от точки C.
б) Найдите площадь многоугольника, являющегося сечением пирамиды SABC плоскостью α.
Для решения данной геометрической задачи нужно построить верное сечение.
Дано для построения :
M и N- середины SA и SB соответственно
MNa
a(ACB)
Построение:
Проведем из вершины S прямую SE до середины AB,SEMN в точке К. Из точки C до точки E проведем прямую, так как Е- середина АВ=> СЕ- медиана. Из точки А проведем медиану до ВС=Н.ЕСАН=О-точка
пересечения медиан, проведем SO(SO будет ┴ (АВС) . Проведем из точки К прямую, параллельную SO, прямая ЕС в точке L.Через точку L проведем прямую, перпендикулярную ЕС. Прямая пересечет АС и ВС в точках P и Q, соответственно. Соединим М с Р, N с Q и получим искомое сечение- MNPQ.
Задача №3
В правильной четырехугольной пирамиде PABCD, все ребра которой равны 4, точка K ― середина бокового ребра AP.
а) Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точку K и параллельной прямым PB и BC.
б) Найдите площадь сечения.
В данной задаче одним из вопросов является построение сечения.
Разберем вариант построения искомого сечения.
Дано для построения:
пирамидаPABCD
К-серединPA
a-искомое сечение
a||BC,a||PB
Построение:
Рассмотрим треугольник в плоскости (APB) треугольник APB :
PBAPB, прямой, параллельной прямой PB будет являться средняя линия треугольникаPAB, середина AP - К, отметим на AB середину L , соединим L и K.
Рассмотрим плоскость ADCB:
Из точки L проведем прямую, параллельную BC, она пересечет DC в точке M- ее середине.
По признаку параллельности прямой и плоскости плоскость KLM параллельна прямым PB и BC. Прямая LM параллельна прямой AD, следовательно, она параллельна плоскости APD, а, значит плоскость KLM пересекает плоскость APD по прямой, параллельной LM и пересекает ребро PD в его середине N.
Таким образом, искомое сечение ― трапеция KLMN.
В данной главе были изучены материалы по теме "методы сечения", Были разобраны методы сечений, которые могут помочь ученикам одиннадцатого класса на итоговой аттестации. Было введено понятие позиционной задачи. Также были показаны примеры построения сечений на задачах, встречающихся на ЕГЭ.
Знание разнообразных методов построения сечений важно при подготовке к итоговой аттестации.
Учебник Алгебры 10 класс
https://urok.1sept.ru/articles/212754 (методы построения сечений многогранников )
https://nsportal.ru/ap/library/nauchno-tekhnicheskoe-tvorchestvo/2015/10/05/postroeniya-secheniy-mnogogrannikov (построение сечений в многогранниках)
Потоскуев Е.В., Звавич Л.И. Геометрия. 10 кл.: Задачник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики. — М.: Дрофа, 2008.
Потоскуев Е.В. Изображение пространственных фигур на плоскости.
Построение сечений многогранников. Учебное пособие для студентов физико-математического факультета педвуза. — Тольятти: ТГУ, 2004.
Стереометрия - это раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур в пространстве, таких как: прямая, точка, плоскость.
Многогранник - геометрическое тело, ограниченное со всех сторон плоскими многоугольниками - гранями
Сечение — это плоская фигура, которая образуется при пересечении пространственной фигуры плоскостью и граница которой лежит на поверхности пространственной фигуры.
Всякую задачу, где требуется определить общие элементы данных фигур, то есть построить пересечение данных фигур, называют позиционной.
