Чем геометрия Лобачевского отличается от геометрии Евклида

АВТОНОМНАЯ НЕКОММЕРЧЕСКАЯ ПРОФЕССИОНАЛЬНАЯ

ОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ

«КУБАНСКИЙ ИНСТИТУТ ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ»

ИНДИВИДУАЛЬНЫЙ ПРЕКТ

По дисциплине «математика» на тему: «Чем геометрия Лобачевского отличается от геометрии Евклида»

Выполнил студент группы 20-ПД1-9

Специальность Правоохранительная Деятельность

Касамбули Даниил Яннисович

Руководитель:

Преподаватель математики Ширяева Е.А

Подпись

Краснодар,2021

Содержание

Введение……………………………………………………………………....3

Основная часть……………………………………………………………….4

1. Краткая биография Лобачевского……………………………………..4

2. Его взгляд на «аксиому о параллельных прямых»…………………...5

3. Краткая биография Евклида……………………………………………9

4. Его видение «аксиомы о параллельных прямых»…………………….9

5. Главные отличия геометрии Лобачевского от геометрии Евклида …9

Заключение……………………………………………………………………..10

Список литературы…………………………………………………… 11

Введение

Изучение одного из самых интересных и сложных разделов математики мы начали еще в начальной школе на примере нахождения площадей и периметра таких фигур квадрат и прямоугольник. Также мы находили радиусы и диаметры у круга, искали объем у куба. Хотя выполняли все это, практикуя простые формулы умножения и деления. Более детальное изучение этого раздела мы начали в 7 классе. Однако, мы изучали геометрию Евклида - античного математика, который является основоположником этой науки. Но был человек предложивший более свежий и альтернативный взгляд на древнюю науку. Этого человека звали Николай Иванович Лобачевский. Его псевдогеометрия произвела фурор. Это произошло в 1868 году, когда итальянский математик и физик Эудженио Бальтрами выпустил статью об интерпритациях геометрии Лобачевского.В этой работе Бельтрами дал прозрачное геометрическое доказательство непротиворечивости новой геометрии, точнее того что геометрия Лобачевского противоречива тогда и только тогда, когда противоречива геометрия Евклида. Однако, эту геометрию приняли не сразу, и по-разному. Поэтому ее лишь поверхностно изучают в школьных учебниках геометрии. Многие люди либо не знают о существовании геометрии Лобачевского, либо знают очень мало. Поэтому цель моей работы вытекает из прошлого предложения - повысить интерес к Геометрии Лобачевского, а также простым языком разъяснить старшеклассникам и студентам главные отличия двух геометрий. Задачами я обозначил: повышение интереса к науке, а также умение различать геометрии Евклида и Лобачевского.

3

Основная часть

1. Краткая биография Лобачевского

Выдающийся российский математик, создатель неевклидовой геометрии Николай Иванович Лобачевский родился 1 декабря 1792 года в Нижнем Новгороде. Отец умер, когда мальчику было 7 лет. После этого мать с 3-мя сыновьями переехала в Казань. В 1807 году поступил в Казанский университет. Завершив обучение, Лобачевский получил степень магистра по физике и математике с отличием и был оставлен при учебном заведении. В 1814 году Лобачевский по ходатайству Броннера и Бартельса был назначен  адъюнктом чистой математики.7 июля 1816 года Лобачевский был утвержден профессором. Преподавательская деятельность Лобачевского до 1819 года была посвящена исключительно математике: читал лекции по арифметике, алгебре и геометрии. В 1827 году был избран ректором университета. 29 апреля 1838 года "за заслуги на службе и в науке" Николай Лобачевский получил дворянский титул и герб.В 1846 году по истечении 30 лет службы министерство по уставу должно было принять решение об оставлении Лобачевского профессором. Вскоре Лобачевский разорился, дом в Казани и имение жены были проданы за долги. В 1852 году умер от туберкулеза старший сын Алексей, любимец Лобачевского. Здоровье его самого было подорвано, слабело зрение. Последний труд почти ослепшего ученого «Пангеометрия» в 1855 году дописали его ученики.Полное признание и широкое распространение геометрия Лобачевского получила через 12 лет после его смерти. В 1868 году итальянский математик Бельтрами в своем труде «Опыт толкования неевклидовой геометрии» показал, что в евклидовом пространстве на псевдосферической поверхностях имеет место геометрия куска плоскости Лобачевского, если на них за прямые принять геодезические линии. Истолкование геометрии Лобачевского на поверхностях евклидова пространства решающим образом способствовало общему признанию идей Лобачевского.

4

2. Его понимание «аксиомы о параллельных прямых»

Аксиома параллельности Лобачевского - в любой плоскости существует прямая а0 и точка А0, не принадлежащая этой прямой, такие, что через эту точку проходит по крайней мере две прямые, не пересекающие а0. Широко распространено заблуждение, что в геометрии Лобачевского параллельные прямые пересекаются. Геометрия Лобачевского имеет обширные применения, как в математике, так и в физике. Историческое её значение состоит в том, что её построением Лобачевский показал возможность геометрии, отличной от евклидовой, что знаменовало новую эпоху в развитии геометрии, математики и науки вообще. Модель планиметрии Лобачевского на евклидовой плоскости была построена французским математиком Анри Пуанкаре в 1882 г. На евклидовой плоскости проведём горизонтальную прямую. Эта прямая называется абсолютом (x). Точки евклидовой плоскости, лежащие выше абсолюта, являются точками плоскости Лобачевского. Плоскостью Лобачевского называется открытая полуплоскость, лежащая выше абсолюта. Неевклидовы отрезки в модели Пуанкаре - это дуги окружностей с центром на абсолюте или отрезки прямых, перпендикулярных абсолюту (AB, CD). Фигура на плоскости Лобачевского - фигура открытой полуплоскости, лежащей выше абсолюта (F). Неевклидово движение является композицией конечного числа инверсий с центром на абсолюте и осевых симметрий, оси которых перпендикулярны абсолюту. Два неевклидовых отрезка равны, если один из них неевклидовым движением можно перевести в другой. Таковы основные понятия аксиоматики планиметрии Лобачевского. Все аксиомы планиметрии Лобачевского непротиворечивы. Определение прямой следующее: «Неевклидова прямая - это полуокружность с концами на абсолюте или луч с началом на абсолюте и перпендикулярный абсолюту». Таким образом, утверждение аксиомы параллельности Лобачевского выполняется не только для некоторой прямой a и точки A, не лежащей на этой прямой, но и для 5 любой прямой a и любой не лежащей на ней точки A. За геометрией Лобачевского возникли и другие непротиворечивые геометрии: от евклидовой отделилась проективная геометрия, сложилась многомерная евклидова геометрия, возникла риманова геометрия (общая теория пространств с произвольным законом измерения длин) и др. Из науки о фигурах в одном трёхмерном евклидовом пространстве геометрия за 40 - 50 лет превратилась в совокупность разнообразных теорий, лишь в чём-то сходных со своей прародительницей - геометрией Евклида. Отправным пунктом геометрии Лобачевского послужил V постулат Евклида - аксиома, эквивалентная аксиоме о параллельных. Он был в список постулатов в «Началах» Евклида. Относительная сложность и неинтуитивность его формулировки вызывала ощущение его вторичности и порождала попытки вывести его как теорему из остальных постулатов Евклида. Среди пытавшихся доказать были следующие учёные: древнегреческие математики Птолемей (II в.), Прокл (V в.) (основывался на предположении о конечности расстояния между двумя параллельными), Ибн аль-Хайсам из Ирака (конец X - начало XI вв.) (основывался на предположении, что конец движущегося перпендикуляра к прямой описывает прямую линию), иранские математики Омар Хайям (2-я половина XI - начало XII вв.) и Насир ад-Дин ат-Туси (XIII в.) (основывались на предположении, что две сходящиеся прямые не могут при продолжении стать расходящимися без пересечения), немецкий математик Клавиус (1574), итальянские математики Катальди (впервые в 1603 году напечатал работу, целиком посвященную вопросу о параллельных), Борелли (1658), Дж. Витале (1680), английский математик Валлис (1663, опубликовано в 1693) (основывался на предположении, что для всякой фигуры существует ей подобная, но не равная фигура), французский математик Лежандр (1800) (основывался на допущении, что через каждую точку внутри острого угла можно провести прямую, пересекающую обе стороны угла; у него также были другие попытки доказательства). При этих попытках доказательства пятого постулата математики вводили не 6 которое новое утверждение, казавшееся им более очевидным. Были предприняты попытки использовать доказательство от противного: итальянский математик Саккери (1733) (сформулировав противоречащее постулату утверждение, он вывел ряд следствий и, ошибочно признав часть из них противоречивыми, он счёл постулат доказанным), немецкий математик Ламберт (около 1766, опубликовано в 1786) (проведя исследования, он признал, что не смог обнаружить в построенной им системе противоречия).

Наконец, стало возникать понимание о том, что возможно построение теории, основанной на противоположном постулате:немецкие математики Швейкарт (1818) и Тауринус (1825) (однако они не осознали, что такая теория будет логически столь же стройной). Лобачевский в работе «О началах геометрии» (1829), первой его печатной работе по неевклидовой геометрии, ясно заявил, что V постулат не может быть доказан на основе других посылок евклидовой геометрии, и что допущение постулата, противоположного постулату Евклида, позволяет построить геометрию столь же содержательную, как и евклидова, и свободную от противоречий. Одновременно и независимо к аналогичным выводам пришёл Янош Бойяи, а Карл Фридрих Гаусс пришёл к таким выводам ещё раньше. Однако труды Бойяи не привлекли внимания, и он вскоре оставил эту тему, а Гаусс вообще воздерживался от публикаций, и о его взглядах можно судить лишь по нескольким письмам и дневниковым записям. Например, в письме 1846 года астроному Г.Х. Шумахеру Гаусс так отозвался о работе Лобачевского: Это сочинение содержит в себе основания той геометрии, которая должна была бы иметь место и притом составляла бы строго последовательное целое, если бы евклидова геометрия не была бы истинной… Лобачевский называет ее "воображаемой геометрией"; Вы знаете, что уже 54 года (с 1792 г.) я разделяю те же взгляды с некоторым развитием их, о котором не хочу здесь упоминать; таким образом, я не нашёл для себя в сочинении Лобачевского ничего фактически ново 7 го. Но в развитии предмета автор следовал не по тому пути, по которому шёл я сам; оно выполнено Лобачевским мастерски в истинно геометрическом духе. Я считаю себя обязанным обратить Ваше внимание на это сочинение, которое, наверное, доставит Вам совершенно исключительное наслаждение. В итоге Лобачевский выступил как первый наиболее яркий и последовательный пропагандист этой теории. Хотя геометрия Лобачевского развивалась как умозрительная теория, и сам Лобачевский называл её «воображаемой геометрией», тем не менее именно Лобачевский рассматривал её не как игру ума, а как возможную теорию пространственных отношений. Однако доказательство её непротиворечивости было дано позже, когда были указаны её интерпретации и тем полностью решён вопрос о её реальном смысле, логической непротиворечивости. Лобачевский строил свою геометрию, отправляясь от основных геометрических понятий и своей аксиомы, и доказывал теоремы геометрическим методом, подобно тому, как это делается в геометрии Евклида. Основой служила теория параллельных линий, так как именно здесь начинается отличие геометрии Лобачевского от геометрии Евклида. Все теоремы, не зависящие от аксиомы о параллельных, являются общими для обеих геометрий; они образуют так называемую абсолютную геометрию, к которой относятся, например, теоремы о равенстве треугольников. Вслед за теорией параллельных строились другие разделы, включая тригонометрию и начала аналитической и дифференциальной геометрии.

8

3. Краткая биография Евклида

О ранних годах этого человека известно совсем мало, так как прошло очень длительное время, а многие документы были безнадежно утрачены. Наиболее достоверными для нас представляются факты, приведенные античным философом Проклом Диадохом в его комментариях к «Началам». Однако ничего конкретного нельзя ожидать даже и от этих кратких отрывков, ведь сам последователь неоплатонизма жил через добрых восемь сотен лет после Евклида. Потому знать о нем мог только понаслышке, следовательно – делать на основе этих записок какие-либо выводы будет неправильно. Древние 9 арабские источники говорят, что он появился на свет в Александрии или Тире, был из состоятельного семейства, что и позволило ему получить блестящее образование. Существует версия, что предки его проживали в Нократе, а в дальнейшем перебрались в Дамаск.Некоторые документы свидетельствуют, что талантливый грек проходил обучение в центре науки того времени – Афинах, у самого мэтра Платона. Дополнительные данные о личности ученого дает математик и инженер эпохи позднего эллинизма Папп Александрийский, а также виртуозный византийский писатель-компилятор Иоанн Стобей, несмотря на то, что жили они намного позже. Вполне вероятно, что имелись документы, подтверждающие указанные ими факты, а у нас нет оснований не доверять их словам. Математик Евклид большую часть времени проводил в Александрийской библиотеке, основанной еще великим Птолемеем, что «проторил путь, идущему за ним».

10

4. Его взгляд на «аксиому о параллельных прямых»

Аксиома параллельных прямых: В одной плоскости с заданной прямой через точку, не лежащую на этой прямой, можно провести только одну прямую, параллельную заданной аксиомой. Аксиома,в свою очередь — такая истина, которую не надо доказывать.

(рисунок-2- Аксиома параллельных прямых)

11

5. Главные отличия геометрии Лобачевского от геометрии Евклида

Геометрия Лобачевского отличается от евклидовой лишь в одной аксиоме — пятой. Но главное различие кроется в понимании самой природы пространства. Лобачевский строил свою геометрию, отправляясь от основных геометрических понятий и своей аксиомы, и доказывал теоремы геометрическим методом, подобно тому, как это делается в геометрии Евклида. Основой служила теория параллельных линий, так как именно здесь начинается отличие геометрии Лобачевского от геометрии Евклида. Все теоремы, не зависящие от аксиомы о параллельных, являются общими для обеих геометрий; они образуют так называемую абсолютную геометрию, к которой относятся, например, теоремы о равенстве треугольников. Вслед за теорией параллельных строились другие разделы, включая тригонометрию и начала аналитической и дифференциальной геометрии.Приведём несколько фактов геометрии Лобачевского, отличающих её от геометрии Евклида и установленных самим Лобачевским.

1.В геометрии Лобачевского не существует подобных, но неравных треугольников; треугольники равны, если их углы равны. Поэтому существует абсолютная единица длины, т.е. отрезок, выделенный по своим свойствам, подобно тому как прямой угол выделен своими свойствами. Таким отрезком может служить, например, сторона правильного треугольника с данной суммой углов.

2.Сумма углов всякого треугольника меньше 180⁰ и может быть сколь угодно близкой к нулю. Это непосредственно видно на модели Пуанкаре. Разность 180⁰ - (a + b + g), где a, b, g — углы треугольника, пропорциональна его площади. 12

3.Если прямые имеют общий перпендикуляр, то они бесконечно расходятся в обе стороны от него. К любой из них можно восстановить перпендикуляры, которые не достигают другой прямой.

4.Линия равных расстояний от прямой не есть прямая, а особая кривая, называемая эквидистантой, или гиперциклом.

5.Предел окружностей бесконечно увеличивающегося радиуса не есть прямая, а особая кривая, называемая предельной окружностью, или орициклом.

6.Предел сфер бесконечно увеличивающегося радиуса не есть плоскость, а особая поверхность - предельная сфера, или орисфера; замечательно, что на ней имеет место евклидова геометрия. Это служило Лобачевскому основой для вывода формул тригонометрии.

7.Длина окружности не пропорциональна радиусу, а растет быстрее.

Стоит выделить еще одно важное отличие геометрии Евклида и геометрии Лобачевского: в геометрии Евклида существует всего 3 признака равенства треугольников, а геометрии Лобачевского имеет место четвертый признак равенства треугольников: если углы одного треугольника соответственно равны углам другого треугольника, то эти треугольники равны.

13

Заключение

Подводя итоги проделанной мною исследовательской работы, хотелось бы сказать, что исследовав раздел один разделов математики - геометрию. Я осветил труды 2-х великих людей, потративших долгие годы на изучение этой науки. Это древнегреческий ученых Евклид и российский ученый Николай Лобачевский. Оба их труда стали общеизвестными, а также на них основывается все новейшие изобретения, сооружения, строения и т.д. Однако, оба ученых представили разные взгляды на геометрию. На основании своего исследования можно сказать, что конкретные различия во взглядах 2-х ученных можно увидеть лишь в 5 аксиоме Евклида- здесь начинается главные различия двух геометрий. Например: все знают, что у Евклида есть 3 признака равенства треугольников: по 2-м углам, по 2-м сторонам и углу между ними, по 3-м сторонам. Однако, Лобачевский добавляет 4 признак- если углы одного треугольника соответственно равны углам другого треугольника, то эти треугольники равны. Также в процессе исследования были выполнены поставленные цели и задачи, еще я по новому взглянул на геометрию Лобачевского, а также повторил Евклидовую геометрию.

14

Список использованных источников

1.сайтhttps://obrazovaka.ru/geometriya/aksioma-parallelnyh-pryamyh-sledstviya.html

2. сайтhttps://helpiks.org/6-74590.html

3. сайтhttps://perstni.com/magazine/biografii/kto-takoj-i-chem-izvesten-evklid-rasskaz-pro-drevnego-otcza-matematiki-otkrytiya-i-vklad-v-nauku.html

4.сайтhttps://mathvox.ru/geometria/osnovnie-ponyatiya-i-figuri-geometrii/glava-1-osnovnie-geometricheskie-figuri/geometriya-evklida-i-geometriya-lobachevskogo/

5. сайтhttps://ria.ru/20121201/912875559.html

15