Муниципальное автономное общеобразовательное учреждение гимназия №40 им. Ю.А. Гагарина г. Калининграда
Программа курса внеурочной деятельности
«Параметры. Решение задач с параметром»
для учащихся 7-8 класса
Малая Алла Александровна
учитель высшей категории
Г. Калининград
2020
Содержание.
Введение
Понятие уравнения с параметром
Линейные уравнения с параметрами
Линейные уравнения и приводимые к ним уравнения с параметрами
Графический метод решения уравнений c параметром
Системы линейных уравнений
Рациональные уравнения с параметрами
Квадратные уравнения с параметрами
Задачи на применение теорем Виета
Иррациональные уравнения с параметрами
Решение различных уравнений с параметрами.
Введение
Решение задач с параметрами является одним из самых трудных разделов школьной математики и требует большого количества времени на их изучение. При решении задач с параметрами требуется, кроме хорошего знания стандартных методов решений уравнений и неравенств, умение проводить логические построения, аккуратность и внимательность для того, чтобы не потерять решение и не приобрести лишних. Это требует от школьника более развитого логического мышления и математической культуры.
Из опыта работы в выпускных классах, видно, что учащиеся, владеющие методами их решения, обычно успешно справляются и с другими задачами. Но в то же время задачи с параметрами, включенные в содержание ЕГЭ по математике, очень часто оказываются не по силам учащимся.
Поэтому наша цель – научить учащихся методам решения задач с параметром, помочь преодолеть психологический барьер, который обусловлен противоречивыми характеристиками параметра.
Формировать умение учащихся видеть в выражении число, обозначенное буквой, необходимо на начальных ступенях обучения математике, а так же в 5-6 классах на простейших задачах - сравнение чисел, корень уравнения.
Продолжить работу по решению простейших линейных уравнений с параметрами и приводимых к ним можно в 7 классе при изучении темы: "Решение линейных уравнений". Задачи с параметрами можно и нужно использовать, уже начиная с линейных и квадратных уравнений и неравенств (7 – 9 классы).
Понятие уравнения с параметром
С параметрами учащиеся встречаются при введении некоторых понятий – функция прямая пропорциональность: y = kx ; линейная функция y=kx +b, где k - это параметр; а так же линейные и квадратные уравнения. К задачам с параметрами можно отнести задачи, например, поиск решений линейных и квадратных уравнений в общем виде, исследование количества их корней в зависимости от значений параметра.
Основное, что нужно усвоить при первом знакомстве с параметром – необходимость осторожного обращения с фиксированным, но неизвестным числом. Необходимость осторожного обращения с параметром хорошо видна на таких примерах, где замена параметра числом делает замену более простой. К таким задачам, например, относятся: сравнить два числа, решить линейное или квадратное уравнение и неравенство и т.д.
Рассмотрим примеры:
Сравнить: -a и 3a
Решение:
Если а 0, то -а 3а
Если а = 0, то -а = 3а
Если а, то -а 3а
Линейные уравнения и приводимые к ним уравнения с параметрами.
Линейным уравнением называется уравнение вида
2) Если
10. При каком значении
Точка В (5;) принадлежат прямой y = kx, значит 5к=
Найдем к, к= 3/2 и подставим , = 7,5
Ответ: = 7,5
5. Системы линейных уравнений
1. Подберите такие значения a и b, при которых система уравнений
имеет бесконечно много решений
единственное решение
не имеет решений
Решение:
1) a = -2 b = -6
2) a = 3 b = 7
3) a = -2 b =-12
2. При каком значении а имеет решение система уравнений:
Решение:
Решим систему 2-х уравнений
Умножим (1) уравнение на3, (2) уравнение на (-7)
Решим методом алгебраического сложения, получаем
= 63 - 140
-11 = - 77
= 7
Найдем ,
Подставим найденные значения в третье уравнение
Ответ: при
3. Графики функций y = ax + 12 и y = (3 – a)x + a пересекаются в точке с абсциссой 2. Найдите ординату точки пересечения.
Решение:
получаем y = 2a + 12 и y = (3 – a)2 + a
получим
2a + 12 = (3 – a)2 + a
2а+ 12 = 6 – 2а + а
3а = -6
а = - 2
:
У = -2 * 2 + 12 = 8
Ответ: у = 8
Рациональные уравнения с параметром
Уравнение, левая и правая части которого являются рациональными выражениями, называются рациональными. Процесс решения заключается в построении алгоритма, позволяющего для любого значения параметра – найти множество корней уравнения.
Пример 1. Решите уравнение
Решение:
Приводим подобные и получаем
Уравнение равносильно системе ;
;
Исследуем на наличие решений:
1) если a =1 , то уравнение системы имеет вид 0x = 0 , с учетом ОДЗ, решением уравнения является любое число, кроме -2
2) если a1 , то получаем ;
Ответ: если a = 1 , то корнем уравнения является любое число, кроме -2; если a1, то x=1.
Мы видим, что при решении рационального уравнения с параметром, используем тот же алгоритм решения уравнения, как если бы вместо параметра было фиксированное число.
Пример 2. При каких значениях параметра a уравнение имеет единственное решение?
Решение:
Уравнение равносильно системе ;
;
1) При любом a уравнение имеет корень . Корень будет единственный, если или не удовлетворяет условию
Ответ: или
Пример 3. Для каждого значения параметра решите уравнение?
Решение:
1) если , то , то
2) если , то , то
3) если ; 1, то
Ответ:если, то если , то если ; 1, то
Примеры для самостоятельного решения:
4. Для каждого параметра решите уравнение:
1) ; 2) ; 3)
5. При каких значениях параметра уравнение имеет единственное решение
1) ; 2) ; 3)
7. Квадратные уравнения с параметрами
Квадратное уравнение = 0
Алгоритм решения уравнений:
Если a = 0, то получается линейное уравнениеbх + c=0.
Если a ≠ 0 и дискриминант уравнения D = b² – 4ac< 0, то уравнение не имеет действительных решений.
Если, a ≠ 0 и D = 0, то уравнение имеет единственное решение х =
Если a ≠ 0 и D > 0, то уравнение имеет два различных корня .
Пример 1. При каких значениях параметра a уравнение имеет единственный корень?
Решение: Уравнение имеет один корень, если его дискриминант равен нулю.
D = – 144
–144 = 0
Ответ: при
Пример 2. При каких значениях параметра b уравнение имеет два корня?
Решение: Уравнение имеет два корня, если его дискриминант больше нулю.
D = 9 – 4b
9 – 4b
– 4b
b
Ответ:Уравнение имеет два корня при b.
Пример 3. Для каждого параметра b решите уравнение:
Ответ: или = 4
Пример 4. При каких значениях параметра a сумма корней уравнения
равна 3?
Решение: По обратной т. Виета =3
+ - 3 = 0, отсюда = 1
Ответ: при = 1
Пример 5. При каких значениях параметра уравнение имеет единственный корень
Решение:
1) если , тогда получаем 15 = 0, решений нет;
2) если ≠ 0, ≠ 4, получаем квадратное уравнение. Уравнение имеет один корень, если дискриминант равен 0.
или Но при уравнение не имеет корней.
Ответ: = 19
Пример 6. При всех значениях параметра a решить уравнение
1) Решим квадратное уравнение по теореме обратной т. Виета, получаемили = 1;
2) уравнение равносильно системе
Исследуем на наличие корней: если а = 1, то ; если а = 7, то если а 1 и а 7, то .
Ответ: если а = 1, то ; если а = 7, то если а 1 и а 7, то .
Пример 7. При каких значениях параметра a уравнение имеет единственный корень?
Решение:
1)приполучаем 1 + 3 - + ;- 6 = 0,
если , то = 1 или , но так как по условию , то .
2) при получаем - + ;- 6 = 0,
если , получаем , = 3 или , но так как по условию , то – один корень;
3)если
ПолучаемD = , отсюда = 3,5.
Ответ: при = 3,5; 3; 4.
Примеры для самостоятельного решения:
Пример 8. При всех значениях параметра a решить уравнение
Пример 9. При каких значениях параметра a уравнение имеет единственный корень
Пример 10. При каких значениях параметра a уравнение имеет единственный корень
Заканчивая курс решения уравнений с параметрами для учащихся 7-8 классов, решим уравнение с модулем.
(ЕГЭ) Найдите все значения
Уравнение имеет ровно 3 корня при а = 1
Ответ: при а = 1
Подведение итога:
После того, как мои выпускники в 10-11 классах в рамках внеурочной деятельности изучали различные методы решения уравнений и неравенств с параметрами и успешно справились с заданием №18 ЕГЭ, то я решила разработать данный курс для учащихся 7-8 класса, чтобы они в дальнейшем не боялись заданий с параметрами, имели о них представления и умели их решать. В курсе 7-8 классов в основном рассматриваются две темы – Линейные уравнения и сводящиеся к ним и Квадратные уравнения и сводящиеся к ним. В дальнейшем я планирую разработать курс и для учащихся 9-х классов и применять в своей практике курс «Параметры» с 7-11 классы.
.png)
