Формулы объема пирамиды и конуса

Учебно-методическая разработка

по учебной дисциплине

«Математика»

ТЕМА:

Формулы объема пирамиды и конуса.

Формулы объема шара и площади сферы

Содержание

Пояснительная записка 6

Организационный блок 7

Информационный блок 13

Блок контроля 19

Эталоны ответов 22

Приложения 25

Рецензия

на методическую разработку теоретического занятия по математике по теме: «Формулы объема пирамиды и конуса. Формулы объема шара и площади сферы», составленную преподавателем математики Барабинского филиала «Новосибирский областной колледж культуры и искусств»

Т.Н.Устюговой

Методическая разработка теоретического занятия по теме «Формулы объема пирамиды и конуса. Формулы объема шара и площади сферы» составлена в соответствии с требованиями ФГОС СПО и предназначена для проведения комбинированного занятия в сочетании с внеаудиторной самостоятельной работойобучающихся с использованием мультимедийной презентации. Разработка включает в себя организационный, информационный и контролирующий блоки, приложение, содержащее внеаудиторную самостоятельную работу студентов, информационный материал для студентов, список использованной литературы.

Цели занятия четко сформулированы, разработано поэтапное содержание занятия, позволяющее достичь эти цели.

В информационном блоке раскрыты все основные понятия изучаемой темы, даны четкие определения, приведены все формулы. Основные определения и понятия внесены в глоссарий, что облегчает усвоение материала.

Контролирующий блок содержит вопросы фронтального опроса исходного уровня знаний и проверки уровня успешности по изучаемой теме, тестовые задания, предполагающие выбор ответа из предложенных, геометрические задачи, требующие применения изученных формул при решении задач, также представлены задания для работы студентов в группах. Ко всем заданиям приведены эталоны ответов.

Структура методической разработки предполагает использование в ходе занятия внеаудиторной самостоятельной работы студентов по изучаемой теме. Она позволяет не только углубить знания студентов, но и расширяет их кругозор.

В методической разработке можно проследить межпредметные связи с такими дисциплинами, как физика, химия, алгебра, связь изучаемой темы с будущей профессией.

Данная методическая разработка может быть рекомендована для проведения занятия по изучаемой теме.

1. Пояснительная записка

Данная методическая разработка предназначена для проведения теоретического занятия по математике по теме: «Формулы объема пирамиды и конуса. Формулы объема шара и площади сферы».

Занятие рассчитано на 2 академических часа.

Метод обучения: словесно-наглядный, с использованием самостоятельной внеаудиторной работы обучающихся.

Тип урока: урок получения новых знаний.

Форма проведения: комбинированное занятие.

В методической разработке представлен организационный блок, который содержит цели занятия, хронологическую карту занятия, оснащение занятия, а также список рекомендуемой литературы.

Информационный блок представлен методическими рекомендациями для преподавателя, материалом для обучающихся по изучаемой теме.

Контролирующий блок представлен заданиями, позволяющими систематизировать и закрепить полученные знания; прилагаются эталоны ответов.

На занятии используется наглядный материал: мультимедийная презентация, модели геометрических тел, раздаточный материал.

Контроль успешности обучения обучающихся проводится в виде решения учебных задач, тестовых заданий и кроссворда.

Методическая разработка предполагает использование на занятии различных форм работы обучающихся: фронтальной, индивидуальной, работы в парах.

2. ОРГАНИЗАЦИОННЫЙ БЛОК

2.1. Тема: «Формулы объема пирамиды и конуса. Формулы объема шара и площади сферы»

Вид занятия: комбинированное

Количество часов: 90 минут

Метод: Словесно-наглядный

Тип: Урок получения и первичного закрепления новых знаний

Место проведения: кабинет математики и информатики

2.2 Цели занятия:

Создать условия для:

-Закрепления понятий: пирамида, конус, шар, сфера, цилиндр, площадь поверхности, объем геометрического тела.

- Выработки умения решать задачи практического содержания, используя формулы объёмов тел.

- Выработки умения использовать приобретенные знания для исследования несложных практических ситуаций на основе изученных формул и свойств фигур

Развивающие: Развивать пространственные представления и логическое мышление, организовать деятельность обучающихся, направляя её на получение знаний, на развитие инициативы, творчества, интеллекта, воли, эмоций. Убедить, что источник возникновения математики - реальный мир, что она возникла из практических потребностей людей.

Воспитательные:

Создать условия для:

- Формирования культуры учебной деятельности.

- Умения преодолевать трудности.

- Вызова интереса к предмету.

- Воспитания внимания и чувства взаимопомощи.

Развивать компетенции в соответствии с ФГОС:

ОК. 1. Понимать сущность и социальную значимость своей будущей профессии, проявлять к ней устойчивый интерес.

ОК.5. Использовать информационно – коммуникационные технологии в своей будущей профессии.

ОК.6. Работать в коллективе, команде, эффективно общаться с коллегами, руководством и студентами.

ПК.1.6. Соблюдать правила санитарно-гигиенического режима, охраны труда, техники безопасности.

2.3.Хронологическая карта занятия

2.4. Мотивация занятия

Изучение программного материала по теме «Объемы многогранников и тел вращения» дает возможность:

· получить представление о широте применения геометрии в различных областях человеческой деятельности; познакомиться с некоторыми фактами истории геометрии;

·  усвоить систематизированные сведения о пространственных формах;

·  научиться проводить аналогию плоскими и пространственными конфигурациями, видеть общность и различие свойств аналогичных структур на плоскости и в пространстве, использовать планиметрические сведения для описания и исследования пространственных фигур;

·   научиться иллюстрировать и моделировать проекционным чертежом пространственные формы;

·  решать задачи на нахождение площадей поверхностей и объемов тел;

·  овладеть набором приемов, часто применяемых для решения стереометрических задач на вычисление и доказательство.

2.5. Междисциплинарные связи

ФИЗИКА

ХИМИЯ

АЛГЕБРА

ПРОЕКТНАЯ ДЕЯТЕЛЬНОСТЬ

2.6. Внутридисциплинарные связи

МНОГОГРАННИКИ

ЦИЛИНДР, КОНУС, ШАР

ОБЪЕМ

ВЕКТОРЫ В ПРОСТРАНСТВЕ

ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ И ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ

2.7. Оснащение занятия

Учебник. М.И.Башмаков «Математика», Академия

Задачник. М.И.Башмаков «Математика», Академия

Модели геометрических тел.

Измерительные инструменты.

Раздаточный материал.

Справочники.

Презентация «Геометрические тела. Площадь поверхности и объем».

Компьютер.

2.8. Информация о домашнем задании

Выучить формулы для вычисления объемов тел. Решить задачу №6 (раздаточный материал)

2.9. Список используемой литературы

М.И.Башмаков «Математика»(учебник), Академия.

М.И.Башмаков «Математика» (задачник), Академия.

Л.С.Атанасян «Геометрия 10-11», Просвещение.

Б.Г.Зив «Дидактические материалы по геометрии», Просвещение.

3. ИНФОРМАЦИОННЫЙ БЛОК

3.1. Глоссарий

Объём — количественная характеристика пространства, занимаемого телом или веществом. Объём тела или вместимость сосуда определяется его формой и линейными размерами. С понятием объёма тесно связано понятие вместимость, то есть объём внутреннего пространства сосуда, упаковочного ящика и т. п. Принятые единицы измерения — в СИ и производных от неё — кубический метр,кубический сантиметр,литр (кубический дециметр) и т. д. Внесистемные — галлон,баррель.

При употреблениях величины в математических, химических и физических формулах, для обозначения объема используется заглавная латинская буква V, являющаяся сокращенной формой от лат. volume — объем, наполнение.

Многогранник— замкнутая поверхность, составленная из многоугольников, также называют тело, ограниченное этой поверхностью.Эти многоугольники называются гранями, их стороны — рёбрами, а их вершины — вершинами многогранника.

Пирами́да  — многогранник, основание которого — многоугольник, а остальные грани — треугольники, имеющие общую вершину. По числу углов основания различают пирамиды треугольные, четырёхугольные и т. д.

Ко́нус (от др.-греч. «шишка») — тело в пространстве, полученное объединением всех лучей, исходящих из одной точки и кругом с границей L (основанием).

Сфе́ра(греч.—мяч) — замкнутая поверхность,геометрическое место точек в пространстве, равноудалённых от данной точки, называемой центром сферы. Сфера - это поверхность вращения, образованная при вращении окружности вокруг своего диаметра.

Шар —геометрическое тело, ограниченное сферой (совокупность всех точек пространства, находящихся от центра на расстоянии, не больше заданного. Это расстояние называется радиусом шара). Шар образуется вращением полукруга около его неподвижного диаметра.

3.2. Информационный материал

         Задача вычисления объемов простейших тел, идущая от практических потребностей, была одним из стимулов развития геометрии. Математика Древнего Востока (Вавилония, Египет) располагала рядом правил (большей частью эмпирических) для вычисления объемов тел, с которыми чаще всего приходилось встречаться на практике (например, призматических брусьев, пирамид полных и усечённых, цилиндров). Среди формул объемов были и неточные, дававшие не слишком заметную процентную ошибку лишь в пределах употребительных линейных размеров тела. Греческая математика последних столетий до нашей эры освободила теорию вычисления объемов от приближённых эмпирических правил. В «Началах» Евклида и в сочинениях Архимеда имеются только точные правила для вычисления объемов многогранников и некоторых круглых тел (цилиндра, конуса, шара и их частей). При этом уже в учении об объемах многогранников греческой математики должны были преодолеть значительные трудности, существенно отличающие этот отдел геометрии от родственного ему отдела о площадях многоугольников. Источник различия, как выяснилось лишь в начале 20 в., состоит в следующем: в то время как всякий многоугольник можно посредством надлежащих прямолинейных разрезов и перекладывания полученных частей «перекроить» в квадрат, аналогичное преобразование (посредством плоских разрезов) произвольного многогранника в куб оказывается, вообще говоря, невозможным (теорема Дена, 1901). Отсюда становится ясным, почему Евклид уже в случае треугольной пирамиды был вынужден прибегнуть к бесконечному процессу последовательных приближений, пользуясь при доказательстве Исчерпывания методом.

Формула для вычисления объема куба с помощью перемножения трех сторон V = a³

Формула площади поверхности призмы

Площадь боковой поверхности прямой призмы равна периметру основания умноженному на высоту призмы (высота=боковому ребру).S_бок = ph=pl

р - периметр основания; h- высота; l- боковое ребро.

Формула объема призмы

V = S_o h
где V- объем призмы, S_o- площадь основания призмы, h- высота призмы.

Объем параллелепипеда

Объем параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту.

Формула объема параллелепипеда

V = S_o · h где V- объем параллелепипеда, S_o-площадь основания, h- длина высоты.

Площадь поверхности пирамиды

S_бок = 1/2pmp - периметр основания; m - апофема.

Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды

m - апофема пирамиды, отрезок OK

P - периметр нижнего основания, ABCDE

p - периметр верхнего основания, abcde

 Формула площади боковой поверхности правильной усеченной пирамиды, (S):

Объем пирамиды

Формула объема пирамиды

где V- объем пирамиды, S_o- площадь основания пирамиды, h

- длина высоты пирамиды.

Расчёт объёма усечённой пирамиды

h - высота пирамиды

S_ниж- площадь нижнего основания, ABCDE

S_верх- площадь верхнего основания, abcde

Объем усеченной пирамиды, (V):

Площадь цилиндра

Площадь боковой поверхности круглого цилиндра равна произведению периметра его основания на высоту.

Формула для вычисления площади боковой поверхности цилиндра S = 2 π R h

Площадь полной поверхности круглого цилиндра равна сумме площади боковой поверхности цилиндра и удвоенной площади основания.

Формула для вычисления площади полной поверхности цилиндра

S = 2 π R h+ 2 π R ² = 2 π R( R+ h)

где S- площадь, R- радиус цилиндра, h- высота цилиндра, π = 3.141592

Объем цилиндра

Объем цилиндра равен произведению площади его основания на высоту.

Формулы объема цилиндра

V = π R²hV = S_ohгде V- объем цилиндра, S_o- площадь основания цилиндра, R- радиус цилиндра, h- высота цилиндра, π = 3.141592

Площадь конуса

Площадь боковой поверхности конуса равна произведению его радиуса и образующей умноженному на число π

Формула площади боковой поверхности конуса: S = π R l

Площадь полной поверхности конуса равна сумме площади основания конуса и площади боковой поверхности.

Формула площади полной поверхности конуса: S =π R² + π Rl= π R(R+l)
где S- площадь, R- радиус основания конуса, l- образующая конуса, π = 3.141592

Формулы площади поверхности усеченного конуса

R - радиус нижнего основания

r- радиус верхнего основания

L - образующая усеченного конуса

π ≈ 3.14

Формула площади боковой поверхности усеченного конуса, (S_бок):

 Формула площади полной поверхности усеченного конуса, (S):

Объем конуса

Объем конуса равен трети от произведению площади его основания на высоту.

где V- объем конуса,

S_o- площадь основания конуса, R- радиус основания конуса, h- высота конуса, π = 3.141592

Формула объема усеченного конуса

R- радиус нижнего основания

r- радиус верхнего основания

h- высота конуса

π ≈3,14

Объем усеченного конуса,  (V ):

Площадь сферы

Формулы площади сферы

Площадь поверхности сферы равна четырем его радиусам в квадрате умноженным на число π

S = 4 π R²

Площадь поверхности сферы равна квадрату его диаметра умноженного на число π

S = π D²

где S- площадь шара, R- радиус шара, D- диаметр шара, π = 3.141592

Объем шара

Объем шара равен четырем третим от его радиуса в кубе умноженного на число π.

где V- объем шара, R- радиус шара

π = 3.141592

.

Блок контроля

1. Вопросы для фронтального опроса:

Какое геометрическое тело называют многогранником?

Какие многогранники называются выпуклыми и невыпуклыми?.

Дайте определение призмы.

Какое тело называют пирамидой, усеченной пирамидой?

Какие тела вращения вам известны?

Как можно получить цилиндр?

Как можно получить конус?

Как можно получить усечённый конус?

Что называем шаром? Сферой?

 2. Математический диктант.

Каждая пара на листах формата А-4 создают в результате этого математического диктанта памятку с формулами.

1) Написать формулу для вычисления площади поверхности и объёма призмы (куба, параллелепипеда).

2).Написать формулу для вычисления площади поверхности и объёма пирамиды.

3) Написать формулу для вычисления площади поверхности и объема цилиндра

4) Написать формулу для вычисления площади поверхности и объёма конуса.

5) Написать формулу для вычисления площади сферы и объема шара.

Взаимопроверка математического диктанта.

3. Учебные упражнения

1. Найдите объем цилиндрической мензурки с высотой, равной 3см и диаметром основания – 6см.

2. Площадь осевого сечения цилиндра равна 21см³, площадь основания - 18п см² Найдите объем цилиндра.

3. Найдите объем конуса, осевое сечение которого представляет собой равнобедренный прямоугольный треугольник с гипотенузой, равной 6 см.

4.Найдите объем конуса, полученного в результате вращения вокруг большего катета прямоугольного треугольника с гипотенузой, равной 2 см, и углом 30⁰.

5. Наибольшая диагональ правильной шестиугольной призмы равна 8 см и составляет с боковым ребром угол в 30⁰. Найдите объем призмы.

6. Найти объем правильной треугольной пирамиды, высота которой равна 12 см, а сторона основания равна 13 см.

7. Вода покрывает приблизительно ¾ земной поверхности. Сколько квадратных км занимает суша? (радиус земли считать равным 6375 км)

8. Стаканчик для мороженого конической формы имеет глубину 12 см и диаметр верхней части 5 см. На него сверху положили две ложки мороженого в виде полушарий диаметром 5 см. Переполнит ли мороженое стаканчик, если оно растает?

4. Тестовые задания для проверки уровня усвоения понятия «Объем»

Инструкция: Выберите правильный ответ из числа предложенных.

Вариант I

1) Не является единицей измерения объёма:

а) см³ б) баррель в) гектар г) м³

2) Развёрткой боковой поверхности цилиндра является:

а) круг б) прямоугольник в) треугольник г) ромб

3) Формула для вычисления объёма призмы:

а)V=1/2 S_осн h       б)V=2 S_осн h в) V= S_осн/ h г) V= S_осн h

4) Объём какой фигуры вычисляется формулой v=1/3 h (S + S₁ +√SS₁):

а) пирамиды б) усечённой пирамиды в) цилиндра г) шара?

5) Продолжите утверждение: равные тела…

а) имеют разные объёмы б) имеют равные объёмы в) иногда имеют равные, а иногда разные объёмы

Вариант II

1) Не является единицей измерения объёма:

а) мм³ ,б) ар, в) галлон, г) дм³

2) Развёрткой боковой поверхности конуса является:

а) треугольник, б) круг в) круговой сектор, г) прямоугольник

3) Формула для вычисления объёма пирамиды:

а)V=1/3 S_осн h б)V= S_осн h в)V=1/2 S_осн h г) V= S_осн/ h

4) Формула v=1/3 h (S + S₁ +√SS₁) позволяет вычислить объём:

а) конуса б) призмы в) цилиндра г) усечённого конуса

5) Продолжите утверждение: если тело составлено из нескольких тел, то его объём равен…

а) сумме объёмов этих тел б) разности объёмов этих тел

в) произведению объёмов этих тел

Вычислить площадь поверхности и объем данного геометрического тела.

6. Решить кроссворд «Объемы тел»

По горизонтали:1. Фигура на плоскости, все точки которой расположены не далее данного расстояния от одной точки. 2. Прямая, при вращении которой вокруг оси образуется боковая поверхность цилиндра, конуса. 3.Тело, полученное вращением прямоугольника вокруг одной из его сторон . 4. Угол между высотой и плоскостью основания конуса. 5.Тело, полученное вращением круга вокруг оси, лежащей в плоскости круга и не пересекающей его.

По вертикали: 1. Тело, полученное вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов. 2. Плоская фигура, при вращении которой образуется усеченный конус. 3. Тело вращения, являющееся верхней частью архитектурного сооружения. 4. Отрезок, соединяющий две точки сферы и проходящей через центр шара. 5. Тело, полученное вращением полукруга вокруг его диаметра. 6. Тело, полученное вращением полуокружности вокруг её диаметра. 7. Тело вращения, об устойчивости движения которого написана известная работа великой русской женщины-математика.

.5. Эталоны ответов

1. Фронтальный опрос

Какое геометрическое тело называют многогранником?

Многогранник— замкнутая поверхность, составленная измногоугольников, также называют тело, ограниченное этой поверхностью. Эти многоугольники называются гранями, их стороны — рёбрами, а их вершины — вершинами многогранника

Какие многогранники называются выпуклыми и невыпуклыми?

Многогранник называется выпуклым, если он весь расположен по одну сторону от плоскости его граней.

Дайте определение призмы.

Призма -многогранник, у которого две грани —n -угольники (основания ), а остальные n граней (боковых) — параллелограммы. Основания расположены в параллельных плоскостях. Призма называется прямой, если плоскости боковых граней перпендикулярны к плоскости основания. Прямую призму называется правильной, если основанием её служит правильный многоугольник.

Какое тело называют пирамидой, усеченной пирамидой? Пирами́да — многогранник, основание которого — многоугольник, а остальные грани — треугольники, имеющие общую вершину. По числу углов основания различают пирамиды треугольные, четырёхугольные и т. д

Какие тела вращения вам известны?

Цилиндр, конус, усеченный конус, шар.

Как можно получить цилиндр?

Цилиндр получается вращением прямоугольника вокруг одной из неподвижных сторон.

Как можно получить конус?

Конус, как тело вращения можно получить вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов.

Как можно получить усечённый конус?

Усеченный конус, как тело вращения можно получить вращением прямоугольной трапеции.

Что называем шаром? Сферой?

Сфе́ра— замкнутая поверхность,геометрическое место точек в пространстве, равноудалённых от данной точки, называемой центром сферы. Сфера - это поверхность вращения, образованная при вращении окружности вокруг своего диаметра.

Шар —геометрическое тело, ограниченное сферой (совокупность всех точек пространства, находящихся от центра на расстоянии, не больше заданного. Это расстояние называется радиусом шара). Шар образуется вращением полукруга около его неподвижного диаметра.

2. Математический диктант.

1) Написать формулу для вычисления площади поверхности и объёма призмы (куба, параллелепипеда).

S_бок = p*h=p*l; V = S_o *h

2)Написать формулу для вычисления площади поверхности и объёма пирамиды.

S_бок = 1/2*p*m;V=1/3*S_o*h

3) Написать формулу для вычисления площади поверхности и объема цилиндра

S_бок = p*h=p*l; V = S_o *h

S = 4 π R²

3. Учебные упражнения.

27п см³

63√2п см³

9п см³

√3/3п см³

72 см³

507√3 см³

6375²п км²

нет

4. Тестовые задания.

5. Кроссворд

Приложения

Сообщения студентов (Внеаудиторная работа)