Разработка олимпиадных задач по математике в 11 классе

Школьный этап Всероссийской олимпиады по математике

11 класс

(Время 90 минут)

(5 баллов) Решите уравнение:

(6 баллов) Найдите значение выражения: .

(6 баллов) В четырехугольник, три последовательные стороны которого равны 2см, 3см и 4см, вписана окружность радиуса 1,2см. Найдите площадь четырехугольника.

(7 баллов) Найдите все значения параметра а, при которых корни уравнения положительны. В ответе записать количество целых значений параметра, удовлетворяющих условию .

(7 баллов) Петин счет в банке содержит 500 долларов. Банк разрешает совершать операции только двух видов: снимать 300 долларов или добавлять 198 долларов. Какую максимальную сумму Петя может снять со счета, если других денег у него нет?

(9 баллов) В строку выписали 2007 цифр по правилу: первая цифра 3, а каждые две подряд идущие цифры образуют двузначное число, которое делится на 17 или на 23. Определите, какая цифра может стоять на последнем месте? Ответ обосновать!

Методические рекомендации

Критерии оценивания работы в 11 классе.

Максимальное количество баллов – 40 баллов.

1)

2), 3)

4), 5)

6)

Решения и ответы

Задание 1. (5 баллов) Решите уравнение:

Решение. ОДЗ: все значения переменной, кроме 3 и -3.

Преобразуем данное уравнение к виду

Ответ: 0; 4.

Задание 2.(6 баллов)Найдите значение выражения соs260ºsin130ºcos160º.

Решение.

соs260ºsin130ºcos160º=cos(270º-10º)sin(180º-50º)cos(180º-20º)=sin10ºsin50ºcos20º= =0,5(cos40º-cos60º)cos20º = 0,5·(cos40º- 0,5)cos20º = 0,25·(2cos40º -1)cos20º= =0,25·(2cos40ºcos20º-cos20º)=0,25·(cos20º+cos60º-cos20º)=0,25cos60º=0,25·0,5=0,125.

Ответ: 0,125.

Задание 3.(6 баллов) В четырехугольник, три последовательные стороны которого равны 2см, 3см и 4см, вписана окружность радиуса 1,2см. Найдите площадь четырехугольника.

Решение:

Площадь четырехугольника найдем по формуле S = p ∙ r, где p – полупериметр четырехугольника, r – радиус вписанной окружности. Так как в четырехугольник вписана окружность, то сумма противоположных сторон равна, т.е. 2 + 4 = 3 + х, где х – четвертая сторона. Отсюда х = 3см. Тогда p = ½ (2 + 3 + 3 + 4) = 6см. По условию r = 1,2 см. Таким образом, S = 6 ∙ 1,2 = 7,2 см².

Ответ: 7,2 см².

Задание 4. (7 баллов)Найдите все значения параметра а, при которых корни уравнения

(а – 2)х² – 2ах + а + 3 = 0 положительны. В ответе записать количество целых значений параметра, удовлетворяющих условию |а| ≤ 10.

Решение:

Заметим, что заданное уравнение не для всех значений а является квадратным. При а = 2 это уравнение первой степени -4х + 5 = 0, которое имеет положительный корень х = 1,25. Следовательно, значениеа = 2 удовлетворяет условию задачи.

При а ≠ 2 данное уравнение является квадратным.

Чтобы корни рассматриваемого уравнения были положительны, необходимо выполнение условий.

Кроме того, нужно чтобы дискриминант исходного уравнения D = (2а)² – 4(а – 2)(а + 3) = 4(6 – а) был неотрицательным. Получим а(-∞;6].

Общая часть полученных интервалов а∈ (-∞;-3) ∪ (2;6]. Учитывая значение а = 2, полученное при рассмотрении линейного уравнения, находим окончательно а (-∞;-3) ∪ [2;6].

Условию |а| ≤ 10 соответствует а [-10;10]. Выпишем целые значения параметраа, удовлетворяющие полученному решению и указанному условию: {-10; -9; -8; -7; -6; -5; -4; 2; 3;4; 5; 6} – таких значений оказалось двенадцать.

Ответ: 12.

Задание 5. (7 баллов) Петин счет в банке содержит 500 долларов. Банк разрешает совершать операции только двух видов: снимать 300 долларов или добавлять 198 долларов.
Какую максимальную сумму Петя может снять со счета, если других денег у него нет?

Показать решение

Решение: Поскольку 300 и 198 делятся на 6, Петя сможет снять лишь сумму, кратную 6 долларам. Максимальное число, кратное 6 и не превосходящее 500, - это 498.

Докажем, что снять 498 долларов возможно. Произведем следующие операции: 500-300=200, 200+198=398, 398-300=98, 98+198=296, 296+198=494. Сумма, лежащая в банке, уменьшилась на 6 долларов.

Проделав аналогичную процедуру 16 раз, Петя снимет 96 долларов. Затем он может снять 300, положить 198 и снова снять 300. В результате у него будет 498 долларов.

Задание 6. (9 баллов)В строку выписали 2007 цифр по правилу: первая цифра 3, а каждые две подряд идущие цифры образуют двузначное число, которое делится на 17 или на 23. Определите, какая цифра может стоять на последнем месте? Ответ обосновать!

Решение:

Двузначные числа, делящиеся на 17 - это 17, 34, 51, 68, 85.

Двузначные числа, делящиеся на 23 - это 23, 46, 69, 92.

По условию задачи выписываем после цифры 3 такую цифру, чтобы образовавшееся двузначное число делилось на 23 или на 17. Это может быть только цифра 4 (т.к. 34 делится на 17, других двузначных чисел, где цифра десятков 3, делящихся на 17 или 23, нет). После цифры 4 может быть только 6, а после 6 может быть 9 или 8.

Рассмотрим первый случай, когда после цифры 6 запишем цифру 9. Тогда получим последовательность 34692│34692│34692…. Замечаем, что цифры с периодом Т = 5, повторяются. Всего цифр по условию задачи 2007, значит 2007 : 5 = 401 (остаток 2). Поэтому в этом случае на последнем месте будет стоять вторая цифра из периода – это цифра 4.

Рассмотрим второй случай, когда после цифры 6 запишем цифру 8, тогда получим 3468517, а дальше ряд обрывается, т.к. нет двузначного числа, делящегося на 17 или 23, где цифра десятков равна 7. Но эта цепочка цифр может заканчивать последовательность 346992│34692│…..34685│17 и тогда на последнем месте будет цифра 7.

Ответ:4 или 7.