Разработка урока по геометрии по теме «Связь между координатами вектораи координатами его начала и конца»
Цель урока: знать понятие координат вектора, радиус вектора и связь между координатами его начала и конца;
Уметь находить координаты вектора.
1. Организационный момент.
2. Работа в классе: повторение пройденного материала по теме «Координаты вектор»:
Опрос учащихся по правилам
1. Как найти координаты суммы двух и более векторов?
Каждая координата суммы двух и более векторов равна сумме соответствующих координат этих векторов.
Если ; ..
2. Как найти координаты разности двух векторов?
Каждая координата разности двух векторов равна разности соответствующих координат этих векторов.
; .
3.Как найти координаты вектора умноженного на число?
Каждая координата произведения вектора на число равна произведению соответствующей координаты вектора на это число. . .
Решение на повторение:
1. Найдите координаты вектора а+в, если:
а) а{3; 2} и в{1; 5} а + в {3+1; 4+5}, а+в{4; 9}
б) а{-4; -2} и {5; 3} а + в {-4+5; -2+3}, а+в{1; 1}
в) а{2; 7} и {-3; -7} а + в {2-3; 7-7}, а+в{-1; 0}
2. Найдите координаты вектора а-в, если:
а) а{3; 2} и в{-3; 2} а – в{3+3; 2-2}, а-в{6; 0}
б) а{3; 6} и в{4; -3} а – в{3-4; 6+3}, а-в{-1; 9}
в) а{-5; -6} и в{2; -4} а – в {-5-2; -6+4}, а-в{-7; -2}
3. Найдите координаты векторов, если а{3; 2}
3а{3*3; 3*2}, 3а{9; 6} -а {-3; -2} -3а{-9;-6}
3. Объяснение нового материала
Мы уже знакомы с понятием координат вектора. Ими называют коэффициенты разложения данного вектора по единичным координатным векторам и .
Сегодня мы ответим на вопрос «Как связаны координаты вектора с координатами его начала и конца?».
Но для начала вернёмся к координатам точки в прямоугольной системе координат.
Напомним, что для их определения нужно опустить перпендикуляры из данной точки к осям. Точки пересечения данных прямых с осями обозначим как М1 и М2.
Абсциссой точки М является число x, которое является длиной отрезка ОМ1. А ординатой — число y, которое является длиной отрезка ОМ2., , . Определим координаты точек А, B, C, D, Е и F.
, , , , , .
Мы вспомнили, как определять координаты точек, а теперь вернёмся к общему случаю и, уже рассмотренной, точке М. Проведём вектор из точки О к точке М. Запомните, вектор ОМ называют радиус-вектором точки М.
Сейчас докажем следующее утверждение: координаты точки М равны соответствующим координатам её радиус-вектора. . Понятно, что вектор по правилу параллелограмма. вектор , а вектор . Тогда вектор . Его координаты такие же как и координаты точки М
Можем сказать, что координаты точки равны соответствующим координатам радиус-вектора . Значит, вектор .
Аналогично, , , , , .
Пользуясь этим утверждением, выразим координаты вектора через координаты его начала и конца.
Пусть точка А имеет координаты , а точка B имеет координаты .
Вектор . А они в свою очередь являются радиус-векторами точек B и А соответственно.
А это значит, что координаты вектора , а координаты вектора .
Можем найти координаты вектора разности:
, . Понятно, что эти значения и будут координатами вектора .
Так мы доказали, что каждая координата вектора равна разности соответствующих координат его конца и начала.
Задача. По координатам точек и найти координаты вектора .
Решение: ,
Решение: ,
Решение : ,
Решение: ,
Решение: ,
Решение: ,
Задача. Дописать в таблицу недостающие координаты.
Решение
На примере этого задания вы увидели, как находить ту или иную координату начала и конца вектора, а также самого вектора.
Подведём итоги урока. Сегодня мы установили связь между координатами вектора и координатами его начала и конца.
Перед этим ввели понятие радиус-вектора точки и доказали, что координаты точки равны соответствующим координатам её радиус-вектора.
Далее рассмотрели произвольный вектор и выразили его координаты как разности соответствующих координат его конца и начала. Это утверждение и помогло нам успешно справиться с решением задач.
Домашнее задание:
Тема урока «Связь между координатами вектораи координатами его начала и конца»
Повторение:
1. Как найти координаты суммы двух и более векторов?
Каждая координата суммы двух и более векторов равна сумме соответствующих координат этих векторов.
Если ; ..
2. Как найти координаты разности двух векторов?
Каждая координата разности двух векторов равна разности соответствующих координат этих векторов.
; .
3.Как найти координаты вектора умноженного на число?
Каждая координата произведения вектора на число равна произведению соответствующей координаты вектора на это число. . .
Решение на повторение:
1. Найдите координаты вектора а+в, если:
а) а{3; 2} и в{1; 5} а + в {3+1; 4+5}, а+в{4; 9}
б) а{-4; -2} и {5; 3} а + в {-4+5; -2+3}, а+в{1; 1}
в) а{2; 7} и {-3; -7} а + в {2-3; 7-7}, а+в{-1; 0}
2. Найдите координаты вектора а-в, если:
а) а{3; 2} и в{-3; 2} а – в{3+3; 2-2}, а-в{6; 0}
б) а{3; 6} и в{4; -3} а – в{3-4; 6+3}, а-в{-1; 9}
в) а{-5; -6} и в{2; -4} а – в {-5-2; -6+4}, а-в{-7; -2}
3. Найдите координаты векторов, если а{3; 2}
3а{3*3; 3*2}, 3а{9; 6} -а {-3; -2} -3а{-9;-6}
Новый материал:
Напомним, что для их определения нужно опустить перпендикуляры из данной точки
к осям. Точки пересечения данных прямых с осями обозначим как М1 и М2.
Абсциссой точки М является число x, которое является длиной отрезка ОМ1. А ординатой — число y, которое является длиной отрезка ОМ2., , . Определим координаты точек А, B, C, D, Е и F.
, , , , , .
. Проведём вектор из точки О к точке М. Запомните, вектор ОМ называют радиус-вектором точки М.
Сейчас докажем следующее утверждение: координаты точки М равны соответствующим координатам её радиус-вектора. . Понятно, что вектор по правилу параллелограмма. вектор , а вектор . Тогда вектор . Его координаты такие же как и координаты точки М
Можем сказать, что координаты точки равны соответствующим координатам радиус-вектора . Значит, вектор . Аналогично, , , , , .
Выразим координаты вектора через координаты его начала и конца.
Пусть точка А имеет координаты , а точка B имеет координаты .
Вектор . А они в свою очередь являются радиус-векторами точек B и А соответственно.
А это значит, что координаты вектора , а координаты вектора .
Можем найти координаты вектора разности:
, . Понятно, что эти значения и будут координатами вектора .
Правило: каждая координата вектора равна разности соответствующих координат его конца и начала.
Задача№1. По координатам точек и найти координаты вектора .
Решение: ,
Решение: ,
Задача №2. Дописать в таблицу недостающие координаты.
Решение
На примере этого задания видно, как находить ту или иную координату начала и конца вектора, а также самого вектора.
Повторение: (записать в тетрадь)
1. Как найти координаты суммы двух и более векторов?
Каждая координата суммы двух и более векторов равна сумме соответствующих координат этих векторов.
Если ; ..
2. Как найти координаты разности двух векторов?
Каждая координата разности двух векторов равна разности соответствующих координат этих векторов.
; .
3.Как найти координаты вектора умноженного на число?
Каждая координата произведения вектора на число равна произведению соответствующей координаты вектора на это число. . .
Решение на повторение:
1. Найдите координаты вектора а+в, если:
а) а{3; 2} и в{1; 5} а + в {3+1; 4+5}, а+в{4; 9}
б) а{-4; -2} и {5; 3} а + в {-4+5; -2+3}, а+в{1; 1}
в) а{2; 7} и {-3; -7} а + в {2-3; 7-7}, а+в{-1; 0}
2. Найдите координаты вектора а-в, если:
а) а{3; 2} и в{-3; 2} а – в{3+3; 2-2}, а-в{6; 0}
б) а{3; 6} и в{4; -3} а – в{3-4; 6+3}, а-в{-1; 9}
в) а{-5; -6} и в{2; -4} а – в {-5-2; -6+4}, а-в{-7; -2}
3. Найдите координаты векторов, если а{3; 2}
3а{3*3; 3*2}, 3а{9; 6} -а {-3; -2} -3а{-9;-6}
Новый материал: Проведём вектор из точки О к точке М. Запомните, вектор ОМ называют радиус-вектором точки М.
Сейчас докажем следующее утверждение: координаты точки М равны соответствующим координатам её радиус-вектора. . Понятно, что вектор по правилу параллелограмма. вектор , а вектор . Тогда вектор . Его координаты такие же как и координаты точки М координаты точки М равны соответствующим координатам её радиус-вектора. .
Можем сказать, что координаты точки равны соответствующим координатам радиус-вектора . Значит, вектор . Аналогично, , , , , . Выразим координаты вектора через координаты его начала и конца.
Пусть точка А имеет координаты , а точка B имеет координаты . координаты вектора разности: , .
