Подготовка учащихся к предметной олимпиаде по учебному предмету «Математика» (из опыта работы)

Государственное учреждение образования

«Средняя школа №6 г. Могилёва»

Подготовка учащихся

к предметной олимпиаде

по учебному предмету

«Математика»

(из опыта работы)

Учитель математики

Кривёнок Светлана Викторовна

Могилёв 2022

Математические олимпиады являются одной из разновидностей соревнований. Сегодня олимпиады по математике являются наиболее массовой формой внеклассной работы по математике.

Целями проведения олимпиад являются:

расширение кругозора учащихся;

развитие интереса учащихся к изучению математики;

общий подъем математической культуры, интеллектуального уровня учащихся;

выявление учащихся, проявивших себя по математике, для участия их в следующим туре олимпиад и для организации индивидуальной работы с ними;

знакомство учащихся с важнейшими проблемами и методами современной математики.

Математические олимпиады проводятся в несколько туров, сначала внутриклассная олимпиада, затем внутришкольная.

Основными целями школьной олимпиады являются:

расширение кругозора учащихся;

развитие интереса учащихся к изучению математики;

выявление учащихся, проявивших себя по математике, для участия их в городских олимпиадах и для организации индивидуальной работы с ними.

Наиболее ответственным моментом подготовки олимпиады является составление текста олимпиады.

Основные требования к тексту школьной олимпиады:

все задачи в тексте работы должны располагаться в порядке возрастания трудности (или сложности);

трудность должна быть такой, чтобы: с первым заданием могли успешно справиться примерно 70% участников; со вторым - более 50%; с третьем - около 20%; с последним – лучше из участников олимпиады;

включаемые задания должны быть из разных разделов школьного курса математики, но, как правило, на материал, изученный в данном учебном году и во втором полугодии предыдущего года;

в числе заданий текста олимпиады могут быть занимательные задачи, задачи-шутки, софизмы, задачи прикладного характера;

для заинтересованности учащихся в посещении факультативных занятий желательно включать такие задания, как логические задачи, задачи на применение принципа Дирихле, инвариантов, графов, задачи на раскраски, уравнения в целых числах и т.д.;

в числе задач не должно быть задач с длительными выкладками, задач на использование трудно запоминающих формул, на использование справочных таблиц.

Тематика олимпиадных задач:

теория делимости чисел. НОД и НОК;

задачи на геометрические преобразования;

простые и сложные проценты;

геометрические задачи на доказательство;

уравнения в натуральных и целых числах;

применение обратных тригонометрических функций в решении уравнений, неравенств, систем;

комбинаторика, теория вероятностей;

модуль и параметры;

задачи на скалку, ребусы, головоломки;

теория графов;

задачи на разливание, разбиение, взвешивание, перебор, выбор;

задачи на разрезание, раскрашивание;

логические задачи;

принцип Дирихле;

метод математической индукции;

функциональные уравнения;

танграммы, пентамимо, оригами, домино, шашки, игральный кубик, шахматы.

Рекомендации по подготовке школьников к олимпиаде по математике:

Одним из путей подготовки учащихся к олимпиадам является развитие их математических способностей, мышления, интеллекта.

Проанализировать информацию по итогам олимпиады по математике предыдущего года.

Практиковать творческие отчеты учителей по работе с одаренными детьми с целью обмена опытами.

Продолжить пополнять банк олимпиадных заданий.

Вести отслеживание результатов индивидуального участия школьников в олимпиаде и других математических соревнованиях.

Активнее привлекать учащихся к другим видам математических соревнований.

Использовать в работе с одаренными детьми наиболее заметные издания «олимпиадной» литературы по математике, интернет-ресурсы.

Основные формы подготовки учащихся к олимпиадам:

Урок;

Факультативные занятия;

Индивидуальная работа;

Стимулирующие занятия;

Участие учащихся в конкурсе «Кенгуру».

Практическая часть

Рассмотрим факультативные занятия в 5 классе«Решение логических задач».

Сюжетные логические задачи

Задачи по этой теме можно решать методом перебора вариантов, но использование при этом иллюстрации в виде таблиц ускорит процесс решения.

Задача. Встретились три друга: Белов, Серов, Чернов. На них были белая, серая и черная рубашки.

Одетый в белую рубашку сказал Чернову: «Интересно, что цвет рубашки на каждом из нас не соответствует фамилии». Какой цвет рубашки у каждого?

Решение:

Составим таблицу, в 1-м столбце которой напишем фамилии друзей, а в 1-строке - цвета рубашек. По условию на Белове не белая рубашка, на Серове – не серая, на Чернове – не черная. Поставим знаки «– »в эти клетки таблицы. Из условия следует, что Чернов не в белой рубашке, - ставим «-» в соответствующую клетку. Так как каждый одет только в одну рубашку, то в каждой строке и в каждом столбце должен быть только один «+». Поэтому мы уже можем поставить знак «+» в 1-м столбце и средней строке, а также во 2-м столбце и 3-й строке.

Теперь 1-й строке и 2-м столбце ставим знак «-», а значит, в 1-й строке и 3-м столбце будет знак «+». Таблица примет вид:

Иллюстративные задачи

Задача. Найдите неизвестное число:

Решение.

В слове «КРОНА» пять различных букв. Число, записанное под ним, состоит из пяти различных цифр. При этом букве

К соответствует цифра 5;

Р соответствует цифра 1;

О соответствует цифра 3;

Н соответствует цифра 7;

А соответствует цифра 9.

Тогда слову «КРАН» соответствует число 5197.

Ответ: 5197.

Задачи на переливание

При решении задач этого параграфа необходимо учитывать следующее замечание: при переливании разрешается наливать в сосуд ровно столько жидкости, сколько в нем помещается, либо выливать всю жидкость из одного сосуда в другой, если она в нем вся помещается.

Задача.Имеется 2 сосуда емкостями 8 л и 5 л. Как с помощью этих сосудов налить из водопроводного крана 7 л воды?

Решениеданной задачи показано в таблице:

Пояснения.

1-й ход. Наполняем 5-литровый сосуд водой. Цифра 0 в строке 8 л при первом ходе означает, что 8-литровый сосуд пока пуст.

2-й ход. Из 5-литрового сосуда переливаем всю воду в 8-литровый, т.е. 5-литровый сосуд пуст.

3-й ход. 8-литровый сосуд не трогаем, а 5-литровый наполняем.

4-й ход. Из полного 5-литрового сосуда отливаем 3 л в 8 литровый, т.е. полностью его наполняем. При этом в 5-литровым сосуде остается 2 л.

5-й ход. Из 8-литрового сосуда выливаем всю воду, т.е. теперь он пуст. А 5-литровый сосуд не трогаем.

6-й ход. Из 5-литрового сосуда наливаем имеющиеся там 2 л в 8-литровый и одновременно наполняем 5-литровый сосуд.

7-й ход. Из 5-литрового сосуда переливаем всю воду в 8-литровый сосуд, в котором теперь требуемые 7 л (2+5=7).

Принцип Дирихле

Известно достаточно большое число задач «на доказательство», которые решаются с применением так называемого «принципа Дирихле». В самом простом варианте этот принцип можно пояснить так: если 11 кроликов рассадить в 10 клеток, то по крайней мере в одной клетке окажутся 2 кролика. Или другими словами: нельзя посадить 11 кроликов в 10 клеток так, чтобы в каждой клетке находилось не больше одного кролика.

При решении задач подобного рода важно понять, что в задаче – «клетки», а что – «кролики».

Задача. Пусть имеется 35 клеток, в которые надо рассадить 743 кролика. Требуется доказать, что по крайней мере в одной клетке будет сидеть не менее 22 кроликов.

Доказательство.Очевидно, что 743:35=21 (остаток 8). Это равенство означает, что если бы в каждой клетке в худшем случае сидело по 21 кролику, то еще 8 кроликов остались бы без клеток. Значит, если мы рассадим в клетки всех кроликов, то по крайней мере в одной клетке будет сидеть не менее 22 кроликов, что и требовалось доказать.

Задачи на взвешивание

Задача. Из трех монет две настоящие и одна фальшивая – она легче остальных. Как за одно взвешивание на чашечных весах без гирь определить фальшивую монету?

Решение.

Из данных монет выберем любые две и положим их на чаши весов – по одной на каждую чашу. Третью монету отложим в сторону. В результате взвешивания могут быть два случая:

монеты на весах имеют одинаковый вес;

одна монета на весах тяжелее второй, тоже лежащей на весах (на другой чаше).

Случай 1 означает, что фальшивой является монета, отложенная в сторону. Из случая 2 заключаем согласно условию задачи, что фальшивая монета та, которая оказалась легче другой.