Геометрия, 9 класс, тема урока «Синус, косинус, тангенс, котангенс»

Геометрия, 9 класс, тема урока «Синус, косинус, тангенс, котангенс»

Введем прямоугольную систему координат . В верхней полуплоскости координатной плоскости рассмотрим полуокружность радиуса 1 с центром в начале координат, её называют единичной полуокружностью. Из точки О(0; 0) проведем луч  и отметим точку , в которой данный луч пересекает единичную полуокружность. Пусть  -  угол между лучом  и положительной полуосью абсцисс 

Пусть   900, тогда из прямоугольного треугольника ЕОМ получаем: 

, где МЕ – противолежащий катет, а ОМ - гипотенуза,

 ., где ОЕ – прилежащий катет, а ОМ - гипотенуза

Учитывая, что ОМ = 1, МЕ = , ОЕ = , получим:

, .                 (1)

То есть синус острого угла  равен ординате  ( ось оу), точки М, а косинус  - абсциссе (ось ОХ)  точки М.

Значит, для любого угла из промежутка 00    1800  синусом угла  называется ордината  точки М, а косинусом угла  - абсцисса  точки М.

Если  - произвольная точка единичной полуокружности, то -1    1 и  0    1, где х это ; а у-

1    1   0    1.

Далее находим значение для 0; 90 и 180 градусов:

 (2)

Тангенсом угла  называют отношение , т.е.       (3)

Так как  900 = 0, то знаменатель в формуле (3) обращается в нуль, значит,   при  = 900 не определён.

Котангенсом угла  (00    1800) называется отношение .  .      (4)

Так как  00 = 0 и  1800 = 0, то знаменатель в формуле (4) обращается в нуль, значит,   при  = 00  и  = 1800 не определён.

ΙΙI. Решение опорных задач.

Заполняем таблицу: ( см 8 класс)

№1. Дан прямоугольный треугольник с прямым углом А. АВ=20 см, ВС= 25см. Найти sinB, cosB, tgB, ctgB.

Решение: 1. По теореме Пифагора ВС²=АС²+АС², 252=20²+АС²

АС²=625-400, АС²=225, АС=15.

2. По определению синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

sin B= !1- cos²

, cosB = ! 1-sin²

,

,

№ 2. Дан прямоугольный треугольник, с прямым углом А, угол В=45, АС=а. Выразить стороны АВ и ВС через а.

Решение: 1. Угол В=45, угол С=90 – 45 = 45. ∆АВС прямоугольный и равнобедренный, значит АВ = АС = а.

2. По теореме Пифагора ВС² = АС² + АС²

СВ² = а² + а² = 2а², СВ = а

Дз: рассмотреть формулы и правила, дз на карточках

Итог урока