Примером применения законов сохранения импульса и энергии при решении реальной физической задачи является удар абсолютно упругих и неупругих тел.
Удар (или соударение)— это столкновение двух или более тел, при котором взаимодействие длится очень короткое время. Исходя из данного определения, кроме явлений, которые можно отнести к ударам в прямом смысле этого слова (столкновения атомов или биллиардных шаров), сюда можно отнести и такие, как удар человека о землю при прыжке с трамвая и т. д. При ударе в телах возникают столь значительные внутренние силы, что внешними силами, действующими на них, можно пренебречь. Это позволяет рассматривать соударяющиеся тела как замкнутую систему и применять к ней законы сохранения.
Тела во время удара претерпевают деформацию. Сущность удара заключается в том, что кинетическая энергия относительного движения соударяющихся тел на короткое время преобразуется в энергию упругой деформации. Во время удара имеет место перераспределение энергии между соударяющимися телами. Наблюдения показывают, что относительная скорость тел после удара не достигает своего прежнего значения. Это объясняется тем, что нет идеально упругих тел и идеально гладких поверхностей. Отношение нормальных составляющих относительной скорости тел после и до удара называетсякоэффициентом восстановления :
=v'n/vn.
Если для сталкивающихся тел =0, то такие тела называются абсолютно неупругими, если=1—абсолютно упругими.
На практике для всех тел 0<<1 (например, для стальных шаров 0,56, для шаров из слоновой кости 0,89, для свинца 0). Однако в некоторых случаях тела можно с большой точностью рассматривать либо как абсолютно упругие, либо как абсолютно неупругие.
Прямая, проходящая через точку соприкосновения тел и нормальная к поверхности их соприкосновения, называется линией удара. Удар называется центральным,если тела до удара движутся вдоль прямой, проходящей через их центры масс. Мы будем рассматривать только центральные абсолютно упругие и абсолютно неупругие удары.
Абсолютно упругий удар — столкновение двух тел, в результате которого в обоих взаимодействующих телах не остается никаких деформаций и вся кинетическая энергия, которой обладали тела до удара, после удара снова превращается в кинетическую энергию
Для абсолютно упругого удара выполняются закон сохранения импульса и закон сохранения кинетической энергии.
Обозначим скорости шаров массами m1иm2 до удара через v1 и v2, после удара — через v'1 и v'2 (рис. 18). При прямом центральном ударе векторы скоростей шаров до и после удара лежат на прямой линии, соединяющей их центры. Проекции векторов скорости на эту линию равны модулям скоростей. Их направления учтем знаками: положительное значение припишем движению вправо, отрицательное — движению влево.
При указанных допущениях законы сохранения имеют вид
Произведя соответствующие преобразования в выражениях (15.1) и (15.2), получим
Решая уравнения (15.3) и (15.5), находим
Разберем несколько примеров.
Проанализируем выражения (15.8) и (15.9) для двух шаров различных масс:
а) m1 =m2.Если второй шар до удара висел неподвижно (v2=0)(рис. 19), то после удара остановится первый шар (v'1=0), а второй будет двигаться с той же скоростью и в том же направлении, в котором двигался первый шар до удара(v'2 = v1);
б)m1>m2.
Первый шар продолжает двигаться в том же направлении, как и до удара, но с меньшей скоростью (v'1<v1).Скорость второго шара после удара больше, чем скорость первого после удара (v'2>v'1) (рис.20);
в)m1<m2.Направление движения первого шара при ударе изменяется — шар отскакивает обратно. Второй шар движется в ту же сторону, в которую двигался первый шар до удара, но с меньшей скоростью, т.е. v'2<v1(рис. 21);
г)m2>>m1(например, столкновение шара со стеной). Из уравнений (15.8) и (15.9) следует, что v'1=-v1,v'22m1v1/m20.
2) Приm1=m2 выражения (15.6) и (15.7) будут иметь вид
v'1=v2, v'2=v1,
т. е. шары равной массы «обмениваются» скоростями.
Абсолютно неупругий удар — столкновение двух тел, в результате которого тела объединяются, двигаясь дальше как единое целое.
Продемонстрировать абсолютно неупругий удар можно с помощью шаров из пластилина (глины), движущихся навстречу друг другу (рис. 22).
Если массы шаров m1иm2, их скорости до удара v1иv2,то, используя закон сохранения импульса, можно записать
Если шары движутся навстречу друг другу, то они вместе будут продолжать двигаться в ту сторону, в которую двигался шар, обладающий большим импульсом. В частном случае если массы шаров равны (m1=m2),то
v = (v1+v2)/2.
Выясним, как изменяется кинетическая энергия шаров при центральном абсолютно неупругом ударе. Так как в процессе соударения шаров между ними действуют силы, зависящие не от самих деформаций, а от их скоростей, то мы имеем дело с силами, подобными силам трения, поэтому закон сохранения механической энергии не должен соблюдаться. Вследствие деформации происходит «потеря» кинетической энергии, перешедшей в тепловую или другие формы энергии. Эту «потерю» можно определить по разности кинетической энергии тел до и после удара:
Если ударяемое тело было первоначально неподвижно (v2=0),то
Когдаm2>>m1(масса неподвижного тела очень большая), тоv<<v1 и почти вся кинетическая энергия тела при ударе переходит в другие формы энергии. Поэтому, например, для получения значительной деформации наковальня должна быть массивнее молотка. Наоборот, при забивании гвоздей в стену масса молотка должна быть гораздо большей(m1>>m2),тогдаvv1и практически вся энергия затрачивается на возможно большее перемещение гвоздя, а не на остаточную деформацию стены.
Абсолютно неупругий удар — пример того, как происходит «потеря» механической энергии под действием диссипативных сил.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Детлаф А.А. Курс физики: учеб. пособие для вузов / А.А. Детлаф. ‒ 2-е изд., испр. и доп. – М.: Высш. шк., 2003. – 718 с.
2. Трофимова Т.И. Курс физики: учеб. пособие / Т.И. Трофимова. ‒ 3-е изд., испр. – М.: Высш. шк., 2003. – 542 с.
3. Ю.А. Барков, Г.Н. Вотинов, О.М. Зверев, А.В. Перминов. КРАТКИЙ КУРС ОБЩЕЙ ФИЗИКИ. Издательство Пермского национального исследовательского политехнического университета, 2015
