Открытый урок по теме «Метод рационализации при решений неравенств и уравнений с модулем»

Открытый урок

по теме «Метод рационализации при решений неравенств и уравнений с модулем»

Семинар - практикум в 9 классе

Учитель: Великанова И.И

2023-2024 уч.г.

Тема урока «Метод рационализации при решений неравенств и уравнений с модулем»

Цель: Выработка навыка в решении неравенств методом рационализации; развитие логического мышления, аналитических способностей учащихся; воспитание уважительного отношения к мнению одноклассника.

Ход урока

I. Организационный момент. Сообщение темы урока. Постановка задачи.

II.Устное повторение теоретического материала.

Слайд 1. Знак выражения  совпадает со знаком выражения  при любых значениях . Это и используется при решении неравенств с модулями методом рационализации.

Неравенство типа

равносильно неравенству

Здесь знак  означает любой из знаков , ,  или .

Вопрос: В чем состоит алгоритм решения неравенств с модулем методом реализации ?

Ну действительно, известно, что  и . Тогда обе части неравенства можно возвести в квадрат, перенести всё в одну сторону и воспользоваться формулой «разность квадратов»:

Слайд 2.

В этом и состоит суть метода рационализации неравенств, содержащих модули.

III. Работа в тетради и на доске. Рассмотрим конкретный пример.

1-ый ученик

Воспользуемся методом рационализации для решения данного неравенства. Заменим его равносильным и более простым неравенством:

Приведём подобные слагаемые в обеих скобках:

Из первой скобки вынесем множитель -10, а из второй — множитель  и разделим обе части неравенства на -20, поменяв при этом его знак:

Видно, что выражение слева может быть меньше нуля только при  (так как второй множитель всегда неотрицателен, ибо является полным квадратом), а равно нулю при  или . Итак, окончательный ответ к данному неравенству:

.

Вот такое простое и изящное решение. При этом можете себе представить, что было бы, если бы мы решили воспользоваться стандартным методом решения неравенств с модулями и стали бы раскрывать модули при различных значениях .

2-ой ученик

Рассмотрим ещё один пример решения неравенства с модулем методом рационализации. На этот раз из реального прототипа заданий для ЕГЭ по математике.

Воспользуемся методом рационализации для решения данного неравенства с модулем. Заменим исходное неравенство равносильным ему неравенством без модулей:

После преобразования выражений, находящихся в скобках, получаем следующий результат:

Поскольку  при всех значениях , то можно дважды умножить обе части полученного неравенства на  , не меняя при этом знак неравенства. В результате приходим к следующему неравенству:

Или после умножения обеих частей на -1:

Последнее неравенство может быть выполнено для любых  только в том случае, если обе соответствующие параболы, ветви которых направлены вверх, целиком лежат выше оси OX. Это условие выполняется в том случае, если дискриминанты обоих квадратных трёхчленов отрицательны. То есть имеет место система неравенств:

Решением этой системы является промежуток: 

IV. Самостоятельная работа в группах.

Заменим данное уравнение следующим равносильным ему уравнением:

Или после упрощения выражений, стоящих в обеих скобках:

После вынесения общих множителей из скобок получаем:

Заметим, что при  корень  может быть любым числом. Этот случай нам подходит. Для  разделим обе части этот уравнения на :

Данное уравнение может иметь от 1 до 3 корней. Нам нужны случаи, когда будет 3 различных корня. Один из этих корней обязательно будет равен . Следовательно, задача сводится к поиску всех значений параметра , при каждом из которых квадратный трёхчлен, стоящий в скобках имеет два корня, каждый из которых отличен . Это условие достигается тогда и только тогда, когда дискриминант этого квадратного трехчлена положителен и значение многочлена в скобках при  не равно нулю. То есть имеет место система неравенств:

Эту систему можно упростить:

Решением этой системы является промежуток:

.

VII. Домашнее задание.

Решить неравенства.

№1

№2

№3

VIII. Подведение итогов. Выставление оценок.