Урок-лекция «Решение тригонометрических уравнений»

Муниципальное общеобразовательное учреждение

средняя общеобразовательная школа № 1г. Сердобска

Конспект урока алгебры в 10 классе на тему:

«Решение тригонометрических уравнений»

урок-лекция

Разработала:

учитель математики

высшей категории

Горшенина Е.А.

2018 учебный год

Конспект урока-лекции алгебры в 10 классе на тему:

«Решение тригонометрических уравнений»

Цели урока: научить решать некоторые виды тригонометрических уравнений (квадратные) относительно одной из тригонометрических функций, однородные уравнения первой и второй степени относительно sin х иcos х; развивать культуру мысли; воспитывать самостоятельность и умение преодолевать трудности.
Оборудование:мультимедийное устройство, экран.

ХОД УРОКА

1.Организационный момент.
2. Повторение изученного материала. Устный счет.
ВАРИАНТ 1 ВАРИАНТ 2
Установите соответствие: 1. 2sin х = 1; 1. +П/8 + Пn; n€ Ζ. 2. √2 sin х =1; 2. (-1)ⁿ П/12 + Пn/3; n€ Ζ.
3. – 2cos х = 1; 3. +П/9 + 2Пn/3; n€ Ζ.
4. - 2sin х = 1; 4. (-1)ⁿ П/12 + Пn/2; n€ Ζ.
5. - 2cos х = 2; 5.(-1)ⁿ П/6 + Пn; n€ Ζ.б.sin (2П - х) =0; 6.(-1)ⁿ П/4 + Пn;n€ Ζ.
7. сов (2П - х) = 1; 7. + 2/3П + 2Пn;n€ Ζ.
8.tg (4П - х) = - 1; 8. (-1)ⁿ⁺¹ П/6 + Пn;n€ Ζ.
9.cos 2х = √2/2; 9. + 3/4П + 2Пn; n€ Ζ.
10.sin 3х =√2/2; 10.Пn;n€ Ζ.
11.cos 3х = - ½; 11. 2Пn; n€ Ζ.12.sin 2х = ½; 12. П/4 + Пn; n€ Ζ.

3. Изучение нового материала

Методические рекомендации. Учащиеся изучают три вида тригонометрических уравнений. Уравнения, представляющие собой квадратные уравнения относительно какой-либо тригонометрической функции, либо сводимые к нему. Если в уравнение входят тригонометрические функции, то их, если возможно, надо выразить через одну. При этом следует выбирать эту функцию так, чтобы получилось квадратное относительно нее уравнение. Введя вспомогательную переменную и решив квадратное уравнение, переходим к решению одного из простейших тригонометрических уравнений.
Решение уравнений, левая часть которых разлагается на множители, а правая равна нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю, а остальные (при этом значении переменной) имеют смысл, также сводится к решению простейших тригонометрических уравнений и к проверке того, не теряют ли смысл остальные множители при этом значении переменной.
Однородные уравнения первой и второй степени относительно синуса и косинуса или сводимые к ним решаются особым способом, рассмотренном в учебном пособии. Часто однородные уравнения в начальном виде не очевидны, но могут быть преобразованы в явно однородные. Например, уравнение вида
sin2х + sin² х =0
является однородным, если sin 2х заменить по формуле двойного аргумента, то есть привести уравнение к виду 2sin х ×cos х + sin² х =0.

Здесь отсутствует член, содержащий сов² х. Поэтому, чтобы степень уравнения не понизилась, делим все на cos²х ≠ 0; уравнение tg²х+2tg х = 0 - это неполное квадратное уравнение относительноtg х. Решаем его, разложив левую часть на множители:

tgх ×(tg х +2)=0.

Отсюдаtg х = 0илиtg х= - 2, то есть х=Пn или х = - агсtg 2+Пn,n€ Ζ.

Можно данное уравнение решать, не переходя к тангенсу, а сразу разложить на множители, как это сделано в учебном пособии.
Уравнение 3sin² х -4sin х cos х +5сов² х =2
тоже приводится к однородному, если правую часть умножить на выражение sin² х +cos² х, равное 1. Это уравнение в результате приводится к виду
sin² х - 4sin х cos х +3cos² х =0.

Уравнение вида asin х + bcos х =с,

гдеаиbне равны нулю одновременно, может быть сведено к однородному, если sin х и cos х заменить по формуле двойного аргумента, а правую часть умножить на
sin² х/2 +cos²х/2. Получаем:
2аsin х/2 cos х/2 +b(cos²х/2 – sin²х/2)=с (cos²х/2 + sin²х/2)
то есть (с + b)sin²х/2-2аsin х/2 cos х/2 -(b -с)cos²х/2 = 0.
Далее ‚равнение решается как обычное однородное уравнение второй степени.
Рассмотрим основные виды тригонометрических уравнений и способы решений. Во время объяснения у доски решения уравнений учащиеся ничего не записывают в тетрадях. Весь класс смотрит на доску и мысленно прорабатывает каждый этап решения. После окончания решения упражнения на доске, каждый ученик должен воспроизвести это решение в тетради по памяти.

Пример 1. Решите уравнение
8cos² х +6sin х -З = 0.
Решение.Заменяяcos²х через 1 -sin² х, получаем
8(1 -sin²х)+6sin х -3 = 0,
8 sin²х-6sin х -5 = 0. Пустьsin х =t.Тогда 8t²-6t-5 = 0, t₁= 5/4 или t₂= - ½.

а) Уравнение sin х = 5/4корней не имеет, так как sin х не может быть больше единицы. б) sinх = - ½, х = (-1)^karcsin (-1/2) + Пk, k€ Ζ,

х = (-1)^k+1arcsin 1/2 + Пk, k€ Ζ,

х = (-1)^k+1П/6 + Пk, k€ Ζ.

Ответ: х = (-1)^k+1П/6 + Пk, k€ Ζ., Примечание. Ответ можно записать по-другому: - П/6 + 2Пn,n€ Ζ (еслиk = 2n – четное число), П/6 + П( 2n+1)(еслиk = 2n+1 – нечетное число).

Пример 2. При каких значениях х принимают равные значения функции

у=1 +cosх и у= -cos 2х?

Решение,для нахождения значений х решим тригонометрическое уравнение

1+cos х = - cos2х.

Так как cos 2х = 2cos ² х -1, то имеем

1 +cos х = - (2сов² х - 1),
2cos² х + cos х = 0.

Получено неполное квадратное уравнение относительно cos х, которое решается вынесением множителя за скобки: cos х (2 cos х + 1) = 0,

отсюда cos х = 0, х = П/2 + Пn,n € Ζ;

2cos х +1 = 0, 2cos х =-1,cos х = - 1/2,

х = ± arcos (-1/2) + 2Пn,n € Ζ, х = ± 2/3П + 2Пn,n € Ζ.

Ответ:функцииу= 1 + cos х и у=cos 2х принимают равны значения, если х = П/2+ Пn, или х = ±2/3П +2Пk, где k € Ζ.

4. Однородные тригонометрические уравнения

аsin х + bcos х = 0

- однородное уравнение первой степени относительно sin х и cos х ≠ 0. В результате получается уравнение вида аtgх+b=0.

Уравнение аsin² х + bsin хcos х + сcos² х = 0 (*) называетсяоднородным уравнением второй степени относительноsin х и cos х.
Если а≠ 0, то разделим обе части уравнения на cos ² х≠ 0.
Получаем уравнение аtg²х+btg х + с=0.

Еслиа= 0, то уравнение (*) принимает вид
bsin хcos х + сcos² х = 0
и решается разложением на множители левой части:
cos х (bsin х + сcos х) =0.
Пример 1. Решите уравнение 3sin² х +sin х cos х = 2cos² х.
Решение. 3sin² х +sin х cos х - 2cos² х = 0. (*)
Имеем однородное тригонометрическое уравнение второй степени. Разделив почленно обе части уравнения на cos² х, получим 3tg²х + tg х – 2 = 0.
Докажем методом от противного, что cos х ≠ 0. Предположим, что cos х = 0, тогда из уравнения (*) видно, что и sin х = 0, что невозможно, так как не выполняется тождество sin² х +cos² х = 1. Для решения уравнения (*) обозначим tg х через т,имеем
3 т²+т-2 = 0,

tg х = - 1, х = агсtg(-1) + Пn, х =-П/4 + Пn,n € Ζ;

tg х = 2/3, х = агсtg 2/3 + Пn,n € Ζ;

Ответ:-П/4 + Пn,n € Ζ; агсtg 2/3 + Пn,n € Ζ.
Примечания.1. При решении однородных уравнений обязательно нужно обосновывать, что сов х ≠ 0. В этом примере дан один из способов обоснования, в других примерах это делается другим способом.
2. При решении уравнения можно не вводить новую переменную, а решать квадратное уравнение относительно tg х.
3. При решении тригонометрических уравнений, решаемых разложением на множители, нужно использовать все известные способы разложения на множители: вынесение общего множителя за скобки, группировка, применение формул сокращенного умножения и деления, искусственные приемы.

Пример 2. Решите уравнение 1 +cos х + сов 2х = 0.
Решение.Выражение 1 + cos 2х заменим выражением 2 cos² х. Тогда уравнение принимает вид 2 cos ² х +cos х = 0.
Разложим левую часть этого уравнения на множители:
cos х (2 cos х + 1) = 0.
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а другой при этом не теряет смысла, то есть
cos х = 0, х= П/2 + Пn,n € Ζ;
2 cos х +1= 0, 2 cos х = -1, cos х= - 1/2,

х = ± агс cos (- 1/2) + 2Пn,n € Ζ; х= ± 2/3П + 2Пn,n € Ζ.
Ответ:х = П/2 + Пn,n € Ζ; х= ±2/3П+ 2Пn,n € Ζ;

4. Закрепление изученного материала

Обучающая самостоятельная работа с обязательной проверкой и объяснением (один ученик выполняет работу на крыльях доски). Во время работы учитель оказывает помощь слабоуспевающим учащимся.
Выполните задания: 164(а, б), 169(а, 6), 174(а).
5.Задание на дом
164(в, г), 169(в), 174(6); дополнительно 17З(а, 6).