Методические рекомендации при проведении устных зачетов по геометрии в 7-9 классах

Оригинальная форма устного зачета

Вот уже несколько лет я провожу в 7 – 9 классах своей школы особым образом организованные уроки-зачеты, которые называются математическими рингами. Перед изучением новой темы я раздаю детям карточки с теоретическими вопросами по зачету, которые они должны подготовить. Справа на карточке пишу вопросы, а слева оставляю место для оценок за ответы на них.

До зачета мы договариваемся, что на своих карточках с тыльной стороны ребята проведут красную, или желтую, или зеленую полосу. Красная полоса означает, что обладатель та­кой карточки уверен в своих знаниях и хочет выйти на ринг одним из первых. Желтая полоса свидетельствует, что ученик не слишком уверен в своих знаниях, а зеленая говорит о еще меньшей уверенности.

В классе, где устраивается математический ринг, столы располагаются напротив друг дру­га в два полукруга. Один полукруг у стены, а другой — в центре класса. Проход к доске остается свободным. У стены рассаживаются ребята, нарисовавшие на своих карточках желтые и зеленые полосы. Лицом к ним в центре за­ла занимают места те, на чьих карточках полосы красного цвета. Центр класса — это и есть «ринг». Занявшие его должны отвечать на вопросы тех, кто сидит напротив.

Вопросы задают ребята, занявшие места у стены. Первый вопрос по теории ученики берут из предложенного им заранее списка, а дополнительные вопросы могут быть какими угодно, но по данной теме. Ребята могут заимствовать их из учебника или придумать сами. Можно предложить и занимательную задачу, приду­манную учеником или где-то найденную. Чем задача оригинальнее, тем больше баллов получает тот, кто ее предложил.

Ученик, к которому обращен вопрос, встает и отвечает на него. Ребята в центре должны быть настолько хорошо подготовлены, чтобы отвечать «с ходу». При ответах разрешается делать на доске схематичные чертежи, краткие записи. Если ответ необходимо подтвердить доказательством, то отвечающий получает несколько минут для подготовки. Пока один ученик готовится, вопросы задают другому. За правильностью ответов следит учитель вместе с классом. Каждому ученику разрешается дополнить или поправить отвечающего. Его активность во время ответа также оценивается баллами.

Заработанные учащимися баллы выставляются в специальную ведомость. Ее ведет ученик-контролер, который заранее подбирается из параллельного класса. В ведомости несколько граф, в которых проставляются баллы за работу заранее условленного вида.

Опрос сильных учащихся (у них карточки с красной полосой) продолжается целый урок. Некоторые из них начинают свою «борьбу на ринге» с кратких докладов о значении изучаемой темы, о математиках, развивавших ее.

В конце урока учитель договаривается с классом о том, кому из побывавших на «ринге» следует доверить прием зачета и по какому вопросу. Если отвечавших не менее 10, то каждому из них поручается принимать зачет по одному определенному теоретическому вопросу. (Для зачета я обычно подбираю от 10 до 15вопросов по теории.) После распределения обязанностей между будущими экзаменаторами класс уходит на перемену. Но по-настоящему отдохнуть вряд ли кому-либо удается. Каждый, ученик получает карточку или с задачей, или с ответом к какой-то задаче. Получивший задачу должен найти себе пару, т. е. того, у кого записан ответ к его задаче. Занимается поисками и тот, у кого на карточке только ответ. Поскольку такой ученик обычно сильнее, то он выполняет фактически более сложное задание: по данному ответу восстанавливает возможное условие задачи.

За 10 мин перемены обладатели ответов и условий должны найти друг друга. Это не так легко, поскольку задачи подобраны с тем расчетом, чтобы их ответы были по виду схожи. Если какие-то двое учащихся соглашаются в том, что их карточки составляют пару, то они подходят к контролеру и проверяют себя. У контролера специально отмечены номера парных карточек. Установив, что учащиеся правы, он присуждает каждому из них определенный балл. Но если они ошиблись, то контролер в своей ведомости проставляет каждому из них определенное число штрафных очков.

На втором этапе математического ринга учащиеся-экзаменаторы рассаживаются по одному за пронумерованные столы. Номер стола (от 1 до 10) — это номер вопроса в списке вопросов, предложенных перед зачетом. Учащиеся, переходя от стола к столу, должны побеседовать с каждым экзаменатором, но последова­тельность бесед они устанавливают сами. Тот из учащихся, кто почувствовал затруднения, может обратиться к учебнику. Ребята с желтой полосой на своих карточках могут воспользоваться учебником дважды, а с зеленой — трижды. Штрафные очки им при этом не присуждаются.

На третьем этапе математического ринга происходит подведение итогов, подсчет полученных баллов и выставление каждому участнику определенной оценки. Условия выставления баллов следующие: за ответ на каждый из обязательных вопросов — по 10 баллов (таким образом тот, кто ответил верно на все вопросы по теории, может получить до 100 баллов), за решение коллективной задачи — по 10 баллов, за сообщение по теме — 20, за активное участие в опросе — 3 балла, за оперативность — 5 баллов, за дополнительную задачу — 20. После подведения итогов учащимся выставляются оценки. Если ученик получил от 100 до 140 баллов, то он получает оценку «5», если он заработал от 90 до 100 баллов, то его оценка «4», от 70 до 90 баллов — оценка «3», от 60 и меньше — «2».

Рассмотрим теперь теоретический материал, подготовленный к зачету по теме VII класса «Треугольники».

1.Объясните, какая фигура называется треугольником. Начертите треугольник и покажите его стороны, вершины и углы. Что такое периметр треугольника? Какие треугольники называются равными?

2.Сформулируйте и докажите теорему, выражающую первый признак равенства треугольников.

3.Какой отрезок называется медианой треугольника? Сколько медиан имеет треугольник. Какой отрезок называется биссектрисой треугольника? Сколько биссектрис имеет треугольник. Какой отрезок называется высотой треугольника? Сколько высот имеет треугольник.

4. Какой треугольник называется равнобедренным? Как называются его стороны?

Какой треугольник называется равносторонним?

5.Докажите, что углы при основании равнобедренного треугольника равны.

6. Сформулируйте и докажите теорему, выражающую второй признак равенства треугольников.

7. Сформулируйте и докажите теорему, выражающую второй признак равенства треугольников.

8.Что такое определение? Дайте определение окружности. Что такое центр, радиус, хорда и диаметр окружности?

9.Объясните, как отложить от данного луча угол, равный данному. Объясните, как построить биссектрису угла. (на выбор обучающегося).

10. Объясните, как построить прямую, проходящую через данную точку, лежащую на данной прямой, и перпендикулярную к этой прямой. Объясните, как построить середину данного отрезка.(на выбор обучающегося).

Задачи на выбор учителя

Рассмотрим теперь материал, подготовленный к зачету по теме VIII класса

«Метод координат на плоскости».

Вопросы по теории

1.Что такое координатная плоскость?

2.Что такое уравнение фигуры в декартовых координатах?

3.Как найти середину отрезка АВ,еслиА(а₁ а₂), В(b₁,b₂)?

4.Выведите уравнение окружности.

Какими уравнениями может быть задана прямая на плоскости ху?

Опишите случаи взаимного расположения прямой и окружности на координатной плоскости.

Найдите геометрическое место точек плоскости, для которых: а), в) (х—у)*{х+у)=0.

Напишите уравнения осей координат

Выведите формулу для вычисления длины вектора по его координатам.

Выведите формулу для вычисления расстояния между двумя точками по их координатам

11.Дайте определение синуса, косинуса, тангенса для любого угла от 0° до 180°.

Докажите, что для любого угла a, 0°<а<!80°,соs(180° —а) =—соsα,

Существует ли такое значение , при котором: а) sin α = 5 б) соs α = 0,3333, в) tg α =12/5.

Отметим, что вопросы 1 и 2 сформулированы так, чтобы охватить идейную сторону темы и дать возможность учащимся задать дополнительные вопросы.. Учащиеся могут спросить: «Как определяются координаты точки? Какие знаки имеют координаты точки, принадлежащей первой (второй, третьей, четвертой) четверти?» и т. д. Вопросы из учебника помогут наладить диалог между учащимися, преодолеть робость в начале зачета.

Разбирая вопрос 4, необходимо подчеркнуть, что вывод уравнения окружности основывается на формуле расстояния между двумя точками и записать эту формулу на доске.

Отвечая на вопрос 5, учащийся должен упомянуть, что уравнение прямой есть частный случай более общего уравнения.Дополнительные вопросы могут быть направлены на выяснение геометрического смысла коэффициентов аив, к и q

Задачи.

1.Отметьте точки А(-5, 0), 5(5, 0) и С (0, 6). Докажите, что треугольникАВСравнобедренный.

2.Даны точки А (-8, 0) и В(0, 6). Определите расстояние между ними.

3.Точка С(1, -2) является серединой отрезка АВ.Определите координаты точки А( х; y),еслиВ(0, -5).

4.ОтрезокАВ- диаметр окружности, С - ее центр. Определите координаты точки А, если С (0, 3), В (3, 0).

5.Докажите, что треугольник АВСравнобедренный, если А (3, - 1), В(9, 5), С(-3, 5).

Составьте уравнение окружности с центром в точкеС(- 1, 0), если известно, что ей принадлежит точка А(-5, 0).

Составьте уравнение окружности с центром в точке С(5, 0), если известно, что ей принадлежит точка А (5, 3).

Найдите точки пересечения с осями координат прямой, заданной уравнением х+у - 7 = 0.

Найдите точки пересечения с осями координат прямой, заданной уравнением х-у+4=0.

Запишите уравнение прямой, пересекающей оси координат в точках (0, 4) и (8, 0).

Найдите координаты точек МиМ₁если известно, что окружность (х-5)²+ (y+3)²=25 касается оси ув точке М,а прямой х=10 в точке N.

Найдите координаты точек МиN,в которых окружность (х-5)²+ (у+3)²=25пересекается к осью X.

Тема зачета дает возможность рассказать о создателе аналитической геометрии Рене Декарте. Лучше всего поручить одному из сильных учащихся подготовить рассказ о жизни и творчестве этого замечательного ученого. Учащемуся можно рекомендовать следующие книги: Асмус В. Ф. «Декарт» (М., 1956); Матвиевская Г. Я. «Рене Декарт» (М., 1987).

Дополнительные задачи (для желающих улучшить свою отметку)

Вариант 1

Обязательная часть

1) Найдите длину медианы CD треугольника ABC, если даны точки A (8;2), B(2;6), С(-4;4).

2) Напишите уравнение прямой, параллельной оси ординат и проходящей через точку (3;7).

Дополнительная часть

3) Составьте уравнение окружности с центром в точке (3;-4) и касающейся оси y

Вариант 2

Обязательная часть

1) Составьте уравнение окружности с центром в точке А (0;6), если точка В (-6;2) лежит на окружности.

2)Найдитеsin 135^o.

Дополнительная часть

3) Даны один конец отрезка А (3;8) и середина С (2;5). Найдите координаты другого конца отрезка.

Вариант 3

Обязательная часть

1) Прямая задана уравнением 5x-4y-10=0. Найдите точки пересечения этой прямой с осями координат. Постройте её в координатной плоскости.

2) Найдите cos 135^o

Дополнительная часть

3) Составьте уравнение окружности с центром в точке (4;-3) проходящей через начало координат.

Вариант 4

Обязательная часть

1) Даны точки А (-2;2), В (2;5),С (-1;9). Докажите, что треугольник АВС является равнобедренным с боковыми сторонами АВ и ВС.

2) Окружность задана уравнением (x-5)²+(y+4)²=9. Определите координаты центра и радиус окружности. Постройте эту окружность.

Дополнительная часть

3) Точки А (4;0) и В (-4;6) являются концами диаметра окружности с центром С. Определите координаты точек; в которых окружность пересекает ось у.

Рассмотрим теперь материал, подготовленный к зачету по теме VIII класса «Подобные треугольники».

Вопросы по теории

1.Что называется отношением двух отрезков

2.В каком случае говорят, что отрезки АВ и СД пропорциональны отрезкам А ₁В₁ и С ₁Д_1.

3.Дайте определение подобных треугольников.

4. Сформулируйте и докажите теорему, выражающую первый признак подобия треугольников.

5. Сформулируйте и докажите теорему, выражающую второй признак подобия треугольников.

6. Сформулируйте и докажите теорему, выражающую третий признак подобия треугольников.

7. Сформулируйте и докажите теорему об отношении площадей подобных треугольников.

8.Какой отрезок называется средней линией треугольника? Сформулируйте и докажите теорему о средней линии треугольника.

9.Объясните, какие две фигуры называются подобными. Что такое коэффициент подобия фигур?

10. Что называется синусом, косинусом, тангенсом острого угла прямоугольного треугольника?

11.Какое равенство называется основным тригонометрическим тождеством?

12. Чему равны значения синуса, косинуса, тангенса для углов 30, 45 ,60 градусов? Ответ обоснуйте.

13.Докажите, что для любого угла a, 0°<а<!80°,соs(180°-а)=-соsα,

14.Существует ли такое значение , при котором: а) sin α = 5 б) соs α = 0,3333, в) tg α =12/5.

Уровень А

Карточка №1

1.Стороны треугольника равны 5 см, 3 см и 7 см. Найдите стороны подобного ему треугольника, периметр которого равен 105 см.

2.У подобных треугольников сходственные стороны равны 7 см и 35. Площадь первого треугольника равна 27 . Найдите площадь второго треугольника .

3.Найдите две стороны треугольника, если их сумма равна 91 см, а биссектриса , проведенная к третьей стороне, делит эту сторону в отношении 5:8.

Карточка №2

1.Стороны треугольника относятся как 4:5:7. Найдите стороны подобного ему треугольника, если его периметр равен 96 см.

2.Площади подобных треугольников равны 17 и 68 . Сторона первого треугольника равна 8 см. Найдите сходственную сторону второго треугольника.

3.Найдите две стороны треугольника, если их разность равна 28 см, а биссектриса , проведенная к третьей стороне, делит ее на отрезки 43 см и 29 см .

Карточка №3

1.В одном равнобедренном треугольнике угол при вершине равен , а в другом равнобедренном треугольнике угол при основании равен . Подобны ли эти треугольники? Почему?

2.Найди отношение площадей двух треугольников если стороны одного равны 5 см , 8 см, 12 см, 24 см, 36 см.

3.

Карточка №4

1.В одном прямоугольном треугольнике острый угол равен , а в другом прямоугольном треугольнике острый угол равен . Подобны ли эти треугольники ? Почему?

2.Отношение площадей двух подобных треугольников равно 9:1. Стороны первого равны 12м, 21м, 27м. Найди стороны другого треугольника

3.

Уровень Б

Карточка №1

1.Стороны треугольника относится как 7:13:19. Найдите периметр подобного ему треугольника, разносить между двумя большими сторонами которого равна 132 см.

2.Сходственные стороны подобных треугольников равны 6 см и 4см, а сумма их площадей равна . 78. Найдите площади этих треугольников.

3.В прямоугольном треугольнике биссектриса острого угла делит катет на отрезки 10 см и 6 см. Найдите периметр этого треугольника.

Карточка №2

1.Стороны треугольника равны 14 см, 42 см и 40 см. Найдите периметр подобного ему треугольника, сумма наибольшей и наименьшей сторон которого равна 108 см.

2.Сходственные стороны подобных треугольников относятся как 8:5, а разность площадей треугольников равна 156 . Найдите площади этих треугольников.

3.В прямоугольном треугольнике биссектриса острого угла делит гипотенузу на отрезки 20 см и 15 см. Найдите периметр этого треугольника.

Карточка №3

1.Один из острых углов прямоугольного треугольника в 4 раза меньше другого. В другом прямоугольном треугольнике разность острых углов равна . Подобны ли эти треугольники? Почему?

2.Стороны одного треугольника равны 21 см, 27 см, 12 см. Стороны другого треугольника относятся как 7:9:4, а его большая сторона равна 54 см. Найдите отношение площадей этих треугольников.

3

Карточка №4

1.Острые углы прямоугольного треугольника относятся как 1:5. В другом прямоугольном треугольнике разность острых углов равна 60◦. Подобны ли эти треугольники? Почему?

2.Найдите отношение площадей двух треугольников, если стороны одного равны 36 см, 24 см, 42 см, стороны другого относятся как 4:6:7, а его меньшая сторона равна 8 см.

3.

Уровень В

Задача 7*. Дан параллелограмм АВСД. Через точку Д и точку L, принадлежащую стороне параллелограмма ВС, и такую , что ВL : LC = 4 : 3, проведена прямая до пересечения с продолжением стороны АВ в точке К. Найдите длину ВК и отношение площадей треугольников ВКL и АДК, если АВ = 30 см.

Задача 7*. Дан параллелограмм АВСД проведена диагональ АС. Через вершину Д и точкуL, принадлежащую диагонали параллелограмма АС, и такую, что АL : LС = 5 : 4, проведена прямая до пересечения с продолжением стороны АВ в точке М. Найдите длину ВМ и отношение площадей треугольников АМL и СДL, если АВ = 24 см .

Учебник. № 604, № 606, № 610.