МУНИЦИПАЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ «ШКОЛА №48 ГОРОДА ДОНЕЦКА»
Конспект урока по предмету «Алгебра и начала математического анализа»
для 10 класса
углублённый уровень
Методы решения иррациональных уравнений.
Автор: учитель математики
Цели урока: ввести понятие «Иррациональное уравнение», изучить методы решения иррациональных уравнений.
Задачи урока:
Образовательные:
- ввести понятие иррациональных уравнений;
- открыть правило решения иррациональных уравнений;
- показать оформление решения;
- формирование умения решать иррациональные уравнения.
Развивающие:
- развитие умения правильно оперировать полученными знаниями, логически мыслить;
- развитие интеллектуальных умений и мыслительных операций – анализ, синтез, сравнение и обобщение;
- развитие инициативы, умение принимать решения, не останавливаться на достигнутом;
- развитие критического мышления;
- развитие навыков исследовательской деятельности.
Воспитательные:
- воспитание познавательного интереса к предмету;
- воспитание самостоятельности при решении учебных задач;
- воспитание воли и упорства для достижения конечных результатов.
Учебник:Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа, 10-11 классы/ Алимов Ш.А., Колягин Ю.М., Ткачева М.В. и другие, Акционерное общество «Издательство «Просвещение»-2023
Оборудование: компьютер, графический планшет, презентация, учебник.
Продолжительностьзанятия: 45минут.
Организационный момент. Формулирование цели и задач занятия.Мотивация.
Актуализация опорныхзнаний.
На доске написаны уравнения. Посмотрите на них внимательно. Распределите их на три группы и назовите каждую группу. Можно ли, не решая уравнения третьей группы, сделать вывод о неразрешимости предложенных уравнений.
2х-1=3 2 19х-3х+4х=80 х2+4х+4=0 | (х-1)(х+1)=8 х2-2√3х+3=0 |
I группа 2х-1=3 19х-3х+4х=80 | II группа х2+4х+4=0 (х-1)(х+1)=8 х2-2√3х+3=0 | IIIгруппа 2 |
-Дайте название уравнениям I группы (линейные).
-Дайте название уравнениям II группы (квадратные).
-Дайте название уравнениям III группы (?).
-Что объединяет уравнения III группы? (Переменная содержится под знаком квадратного корня.)
Уравнения, в которых переменная содержится под знаком квадратного корня, называются иррациональными уравнениями.
- Как вы думаете, что мы будем изучать сегодня на уроке?
- Сформулируйте тему урока. (Иррациональные уравнения).
Повторение теоретического материала по теме.
Работа с презентацией к уроку. Обучающиеся дают ответы на вопросы, представленные на слайдах.
А сейчас мы повторим основной теоретический материал, который понадобится нам для изучения новой темы. Ответьте пожалуйста, на следующие вопросы:
Что такое уравнение? (равенство с переменной или переменными)
Что значит решить уравнение? (найти все его корни или убедиться, что их нет)
Что такое корень уравнения? (значение переменной, которое при подстановке его в исходное равенство обращает его в верное числовое равенство)
Дайте определение квадратного корня из неотрицательного числа. (квадратным корнем из неотрицательного числа а называют такое неотрицательное число, квадрат которого равен а. на доске =b,b≥0 и b2=a)
Укажите способ решения линейных уравнений. (все с неизвестными перенести в левую часть уравнения, все числа в правую. Привести подобные слагаемые. Найти неизвестный множитель)
Укажите способы решения квадратных уравнений. (выделение полного квадрата, по формулам, используя теорему, обратную т. Виета, графический)
Какие свойства используются при решении уравнений? (1.Если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак, то получится уравнение равносильное данному; 2. Если обе части «*» или «:» на одно и тоже отличное от нуля число, то получится уравнение равносильное данному.)
3) Объяснение нового материала.
Итак, мы все очень хорошо повторили, а теперь вернемся к теме урока.
-Сможете ли вы теперь из множества всех уравнений выделить иррациональные уравнения?
-Что будет отличать их от остальных уравнений?
-А зачем нам надо изучать иррациональные уравнения? Ведь жили мы без них спокойно.
- Иногда реальные ситуации представляют собой иррациональное уравнение, например, мы с ними встретились, когда находили длину стороны прямоугольного треугольника используя теорему Пифагора.
Я вам более того скажу, эта тема настолько важная, что ее изучают и в старшей школе, и иррациональные уравнения вынесены на ЕГЭ.
Слайд
Какие уравнения не являются иррациональными?(устно)
Решить в тетрадях и на доске уравнение № 1
2- 4=0,
=2,
х=22, (по определению квадратного корня)
х=4.
Ответ: 4
-Какоеиррациональное уравнение можно попробовать решить, используя определение квадратного корня?
,
2х+1=9,
х=4.
Ответ: 4.
-Давайте убедимся, что полученное число действий является корнем уравнения. Как это сделать? (выполнить проверку)
Проверка: ,
=3;
3=3 – верно.
Ответ: 4.
Теперь попытайтесь решить уравнение № 3.
5х-16=(х-2)2 5х-16=х2-4х+4 х2-9х+20=0 (по теореме обратной т. Виета) |
-Можем ли мы дать ответ? В чем трудность?
-Проблема в том, что мы пока не умеем решать уравнения.
-А как убедиться, что найденные числа являются корнями?
-Сделать проверку. Сделайте проверку и запишите ответ.
Ответ: 4; 5.
Работа с презентацией. Разбор методов решения иррациональных уравнений.
-У нас остался не разобранным пример № 4.
-Знает кто-нибудь способ решения?
Если учащиеся затрудняются, то спросить, как можно освободиться от знака квадратного корня? (возведением в квадрат)
2х=2
х=1
Проверка:
= – не имеет смысла.
-В подобных случаях говорят, что х=1 – посторонний корень. Поэтому уравнение не имеет корней.
Ответ: корней нет.
Метод, который мы использовали, называется возведением в квадрат обеих частей уравнения. Это основной метод решения иррациональных уравнений. Он не сложен, но иногда приводит к неприятностям, как в предыдущем примере. Поэтому проверку выполнять обязательно.
Фактически решая примеры № 1- № 3 мы применяли этот метод.
Попробуйте сформулировать правило решения иррациональных уравнений, которые мы изучили сегодня на уроке.
С помощью учащихся составить алгоритм решения иррациональных уравнений.
Возведи обе части уравнения в нужную степень.
Решаем полученное уравнение
2.Сделай проверку.
Изучение дополнительных методов решения иррациональных уравнений
Первичное осмысление нового материала.
Подробный разбор методов решения иррациональных уравнений, выводы о преимуществах и недостатках каждого из них.
Способ I. Метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень с последующей проверкой
+=4,
возведем обе части уравнения вквадрат.
,
возведем обе части уравнения вквадрат.
По теореме Виета:
Проверка:
Если х=42,то
Значит, число 42 не является корнем уравнения.
Если х=2,то
Значит, число 2 является корнем уравнения. Ответ: 2
Достоинства | Недостатки |
1. Понятно | 1. Словесная запись |
2. Доступно | 2. Громоздкая проверка иногда занимает много времени и места |
Вывод: При решении иррациональных уравнений методом возведения обеих частей уравнения в одну и туже степень необходимо вести словесную запись, что делает решение понятным и доступным. Однако обязательная проверка иногда бывает громоздкой и занимает много времени. Этот метод можно использовать для несложных иррациональных уравнений, содержащих 1-2 радикала.
Способ III. Метод введения новых переменных
+=4.
Введем новыепеременные,обозначив=а, =b.Получим первое уравнение системы:a+b=4.
Составим второе уравнение системы:
Получим систему двух рациональных уравнений, относительно а и b:
по теореме Виета:
Вернемся кпеременнойх:=1 Ответ: 2.
Достоинства | Недостатки |
1. Этот метод для данного уравнения | 1.Словесное описание. |
не рационален. | 2. Громоздкое решение. |
Вывод: Метод введения новых переменных и переход к системе рациональных уравнений для данного уравнения не рационален. Этот метод лучше применять для иррациональных уравнений, содержащих радикалы различных степеней, или одинаковые многочлены под знаком корня и за знаком корня, или взаимообратные выражения под знаками корня.
Способ II. Разложение на множители (метод равносильных преобразований)
+=4
Ответ: 2.
Достоинства | Недостатки |
1. Отсутствие словесного описания | 1. Громоздкая запись |
2. Нет проверки | 2. Можно ошибиться при комбинации знаков системы и совокупности и получить неверный ответ |
3. Четкая логическая запись | |
4. Последовательность равносильных переходов |
Вывод: При решении иррациональных уравнений методом равносильных переходов нужно четко знать, когда ставить знак системы, а когда совокупности. Громоздкость записи, различные комбинации знаков системы и совокупности не редко приводят к ошибкам. Однако, последовательность равносильных переходов, четкая логическая запись без словесного описания, не требующая проверки, являются бесспорными плюсами данного способа.
Итоги: Для каждого иррационального уравнения необходимо выбирать наиболее рациональный способ решения: понятный, доступный, логически грамотно оформленный.
Самостоятельная работа:
Решить уравнения:
I вариант II вариант
Учащиеся выполняют самостоятельно. Затем самопроверка: ответы и решение записано на доске.
Сделайте задание другого варианта.
I вариант | II вариант |
= = х2+2х+1 х2+х=0 х(х+1)=0 Проверка: 1) х = 0: = 1 1 = 1 - верно. 2) х = -1: 0 = 0 – верно. Ответ: -1; 0. | х2+3х+2=0 (по теореме обратной т. Виета) Проверка: 1) х = -2: = - верно. 2) х = -1: = – не имеет смысла. Ответ: -2. |
Обучающимся предлагается закончить одно из предложений на слайде: Мне сегодня удалось (понять, разобраться, уяснить, осознать)…
Теперь я умею…
Самым интересным было … Труднее всего было…
1. Прочитать § 9 из учебника
2. Решить в тетрадях № 156,158(2-4)
