Конспект урока "Теорема косинусов и ее практическое применение""

Кравченко Елена Александровна

ГБОУ «Ивановская гимназия», Антрацитовский м.о., ЛНР

Учитель математика

Тема. Теорема косинусов и ее практическое применение.

Цель. Вывести формулу для нахождения стороны треугольника через две другие стороны и угол между ними, показать ее практическое применение; показать связь геометрии с геодезией, астрономией и другими науками; развивать у учеников инициативу, творческое мышление, воспитывать аккуратность, внимательность, бережное отношение к природе.

ХОД УРОКА

Актуализация опорных знаний.

Сформулировать определение синуса, косинуса острого угла прямоугольного треугольника.

Дано: треугольник АВС, в котором ∟ А=90⁰.

В

А С

Рассмотрите отношения :, , , , ,

Какое из этих отношений есть:

а) косинусом угла С;

б) косинусом угла В;

в) синусом угла С;

г) синусом угла В;

1.3. Рассмотрите равенства:

АС=АВ sin C; AC=BC sin B; AC=AC tg C;

AC=AB cos C; AC=BC cos C.

Какое из этих равенств соответствует правилу нахождения катета АС через гипотенузу и;

а) противолежащий угол;

б) прилежащий угол.

1.4. В данных равенствах поставьте вместо точек такие выражения, чтобы эти равенства были верными:

sin² α + …=1

tg α =

cos² α+ … =1

cos 60⁰= …

cos…= -½

Изучение нового материала.

Проводится в форме деловой игры «Заседание творческой группы открытого акционерного общества». Выступления ученики готовят заранее.

Деловая игра

Участники заседания

Глава правления, секретарь-референт, геодезист, дизайнер, начальник службы материально-технической поставки, инженер-программист, оператор компьютерного набора.

Глава правления.

Прошу членов творческой группы занять свои места, подготовить бумагу, ручки.

На заседании творческой группы присутствуют члены нашего акционерного общества, которые смогут предлагать свои идеи решения заданий.

(члены творческой группы занимают места за столом заседаний)

Глава правления. Наше открытое акционерное общество по добыче руды открытым способом ныне переживает не лучшие времена. Долги общества перед государством, другими предприятиями, а также разных предприятий и организаций перед нами не дают возможности организовать нормальную роботу. Но есть возможность инвестировать в развитие общества значительные средства - мы нашли инвестора.

Предоставляю слово геодезисту

Геодезист. Важнейшая проблема - строительство железнодорожной колеи от карьера к обогатительной фабрике. Старая линия, проведена в обход лесного массива, для эксплуатации не пригодна. Новую линию можно проложить через зеленый массив, размещенный между карьером и обогатительной фабрикой. Чтобы получить разрешение на строительство от инспектора по охране окружающей среды, нужно найти оптимальный вариант для строительства этой линии.

Мы обязаны думать про сохранение леса и здоровье работников карьера.

Я осмотрел местность и нашел точку , из которой видно ворота обогатительной фабрики и въезд в карьер. Можно измерить эти расстояния и угол между полупрямыми. Остается вычислить расстояние-длину колеи.

Ф

К

Глава правления (обращается к референту). Известны ли случаи решения такого задания? С какими математическими объектами это связано?

Секретарь референт. Задачи на нахождение расстояний до недоступных предметов интересовали математиков многих стран.

В момент создания «Начал» Эвклида, было нагромождено значительный материал, связанный с равными или подобными треугольниками. Нахождение расстояний к недоступным точкам чаще всего сводилось к нахожднию неизвестной стороны треугольника по другим его элементам и с помощью формул и таблиц тригонометрии. Слово «тригонометрия» происходит от грецких слов «тригонон»-треугольник и «метрео»- меряю.

Тригонометрические таблицы складывали древнегреческие математики Гипарх и Птолемей, ученые Индии, Северной Азии, такие как Ал-Хорезми и Ал-Каши.

Над развитием тригонометрии работали и европейские ученые: английский математик Брадвардин, немецкий астроном и математик Мюллер, Ейлер, который родился в Швейцарии, но больше двадцати лет работал в Петербургской Академии Наук. На основе работ Эйлера были созданы учебники по тригонометрии.

В 17 столетии голландский ученый Виллеброд Снэллиус для измерения больших расстояний создал метод триангуляции. Он оказался чрезвычайно ценным с практической точки зрения, поскольку используя систему треугольников можно было определить любое расстояние без измерений больших расстояний на местности. С помощью этого метода была измерена длинна дуги земного меридиана в 1 градус.

Глава правления. Спасибо. Но как решить нашу задачу? Инженер-программист, Вам слово. Прошу всех вести записи.

Инженер- Программист. Рассмотрим треугольник АВС у которого известны стороны АС и АВ и угол А

Дано: В

Треугольник АВС

АВ=с, АС=в, с а

∟ВАС=а

Найти:

ВС b

А DC

Решение

Проведем из вершины В высоту BD. Она разделит треугольник АВС на прямоугольные треугольники – △BAD и △BDC.

В △BAD ( BDA = 90·): АВ – гипотенуза,

BD = c sinα, AD= c cosα

В△ BDC : DC=b-c cosα

Обозначим ВС через а, тогда по теореме Пифагора в△BDC

a²=c²sin²α+(b-c cosα)²

a²=c²sin²α+b²-2bc cosα+c²cos²α

a²=c²(sin²α+cos²α)+b²-2bc cosα

a²=c²+b²-2bccosα

То есть, квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними.

Это утверждение носит название «Теорема косинусов» и используется для нахождения неизвестной стороны треугольника через две другие стороны и угол между ними.

Геодезист.Следовательно, если я буду иметь расстояние (записывает на доске)

АВ=720 м, АС=900 м и угол ВАС =60, то ВС² =720²+900²- 2·720·900·cos 60,

cos=1/2

ВС²=518400+810000-648000=680400

ВС=825 м

Глава правления. У кого есть вопросы?

Начальник службы материально-технической поставки.Для доставки на поверхность руды из карьера мы используем подъемный кран, стояк которого имеет длину а=4м, а плече в=13 м.

При самом нижнем положении ковша угол между а и в равен 120⁰. Мне нужно заказать тягу (с). Как определить ее длину.

Инженер-программист. Задача решается аналогично.

Рассмотрим△АВС, угол А которого-тупой.

В

b

D A C

Проведем перпендикулярBD к AC, тогда ∟BAD=180⁰ – α.

У△ BAD ∟BDA=90⁰

BD=AB sin(180⁰-), BD =c sin α

AD = AB cos (180⁰ –α),AD = - c cos α

CD=AC+AD, CD=b-c cos α

Тогда в треугольнике BDC ( ∟BDC =90) по теореме Пифагора

BD²=BD²+DC².

BC²=c²sin²α+(b-ccosα)²=c²sin²+b²– 2bccosα+c²cos²α=c²(sin²α+cos²α)+b²- 2bccosα;

BC²=b²+c²-2bccosα

Оператор компьютерного набора. Следовательно чтобы решить эту задачу, нужно подставить данные и получим ( записывает на доске)

Дано:

Треугольник АВС А

ВС=4м ?

АС=13м 13м 120

Угол ВСА=120

Найти:АВ С 4м В

Решение:

АВ²=ВС² + АС²-2ВС·АСcosBAC

AB²=4²+13²+2·4·12 cos 120

Cos 120= -1/2

AB²=16+169+52=237

AB=15.4м

Ответ. Длинна тяги = 15.4 м

Глава правления.

У кого еще вопросы?

Дизайнер. В новом офисе обогатительной фабрики четырехугольное помещение нужно перегородить . Но помещение сейчас занято офисной мебелью и доступа к углу АВС нет, но расстояния АВ и ВС измерить можно.

В

А

С

Глава правления. Оператор компьютерного набора, вы сможете помочь дизайнеру?

Оператор компьютерного набора. Конечно. Следует измерить угол ВАС и обозначить АС через Х

Дано:

△АВС, АВ=с В

ВС=а с

Угол ВАС =α А а

Найти АС

С

Решение

Пусть АС=Х. тогда по теореме косинусов

ВС²=АВ²+АС²- 2АВ ·АС сosBAC

a²=c²+x²-2cxcosα

Решив это квадратное уравнение относительно х, сможем найти

АС

Дизайнер.Спасибо

Глава правления. Следовательно, мы очертили основной круг проблем, решить которые можно по теореме косинусов.

Прошу инженера программиста и оператора компьютерного набора подготовить информацию для экономического отдела. Всем членам творческой группы спасибо.

3.Итоги урока.

4. Домашнее задание.