Данная методическая разработка предназначена для преподавателя математики для проведения уроков по дисциплине «Математика».
Многие схемы, таблицы и иллюстрации могут быть использованы в качестве раздаточного материала, при организации самостоятельной работы студентов и на практических занятиях.
Методическая разработка нацелена на повышение качества усвоения новых знаний студентами и может быть использована для изучения указанной в нем темы студентами по 38.02.03 Операционная деятельность в логистике, при подготовке к учебным занятиям и для самостоятельной внеаудиторной работы.
Горлова Виктория Сергеевна
Группа ОДЛ 24-2.
Тема: Многогранники. Площади многогранников. Объем многогранников.
Цели урока: формирование предметных (повторение и обобщение знаний о многогранниках) и общих компетенций (информационной, коммуникативной) обучающихся.
Задачи:
обучающие
усвоение новых знаний по теме «Многогранники»;
формирование знаний, умений и навыков по распознаванию видов многогранника, вычислению площади и объёма призмы;
выяснение роли многогранников в развитии общества;
показ целостности и гармонии окружающего мира.
развивающие:
развитие логического и эвристического мышления, устойчивости внимания, познавательной активности, пространственного воображения;
развитие математических способностей студентов и интереса к предмету;
воспитывающие:
воспитание целеустремлённости, настойчивости;
воспитание самостоятельности в поисках и выборе пути решения задач;
воспитание любви к прекрасному, математике;
побуждение учащихся само- и взаимоконтролю.
воспитание чувства ответственности за качество выполняемой работы.
Тип урока: урок-экскурсия.
Оборудование: мультимедийное обеспечение, модели многогранников, сопроводительные рисунки к этапам урока.
УМК: рабочая программа по Математике, ПТП дисциплины Математика, КИМ по дисциплине Математика
Дополнительная литература: учебник.
Основные понятия: многогранники, выпуклые многогранники, грани, ребра, вершины, диагональ грани, диагональ многоугольника, правильный многогранник, призма,высота призмы, диагональ призмы, объем призмы, параллелепипед, объем прямоугольного параллелепипеда.
Время урока: 45 мин.
Ход урока
Организационный момент.
Здравствуйте, господа студенты. Проверьте, все ли готово к уроку. Лежат ли на партах тетради, ручки, карандаши.
II. Мотивация и сообщение темы урока
1)Ввод в сюжет.
Уважаемые студенты, я вам предлагаю сегодня совершить маленькую экскурсию по своему родному городу. С вашего позволения я буду экскурсоводом нашего путешествия.
Геометрия – одна из самых, а может, самая древняя наука, её возраст исчисляется тясячелетиями. В геометрии много формул, фигур, теорем, задач, аксиом. Это своего рода «автографы», оставленные учёнными своим потомкам. Они вечны, так как на них запечатлены великие идеи, не проходящие идеи».
III. Этап актуализации базовых знаний
Сегодня мы с вами повторим фигуры, которые отличаются специфической конструкцией, познакомимся с основными видами геометрических достопримечательностей, сделанных в стиле многогранности и вы сможете различить в дальнейшем данный вид архитектуры.
Итак, мы подъезжаем к Плехановскому пассажу.
Уважаемые господа студенты, нам необходимо будет пройти контроль:
2) Устный опрос.
1. Что такое стереометрия?
2. Без каких основных объектов не может существовать стереометрия?
3. Что такое многоугольник?
4. Что можно определить у многоугольника?
5. Какой многоугольник называется правильным?
6. Как можно определить площадь квадрата, если известна сторона?
7. Какой физической формулой связаны масса, плотность и объём?
Итак, мы с вами видим памятник «Основателям Липецка». Он открылся центре площади Плеханова 19 июля 2008 года. Он представляет собой металлический столб с фигурой ангела-хранителя на вершнине: у подножия — скульптуры людей разных сословий петровской эпохи.
Перечислите, пожалуйста, какие виды многоугольников присутствуют в данном памятнике?
IV. Объяснение темы.
Многие строения в окружающем нас мире, в частности, пирамида Хеопса, имеют форму многогранников. Поэтому для лучшей эксплуатации и моделирования зданий нужно изучить свойства многогранников.
Итак, мы с вами едем дальше по городу Липецку.
Посмотрите, пожалуйста, налево. Слева от вас находится памятник Учителю. Он находится на улице Плеханова города Липецка, в небольшом скверике у здания школы №44. Открытие памятника состоялось в 2012 году, автором проекта скульптурной композиции является народный художник России Андрей Ковальчук. Скажите, какой многоугольнник лежит в основании памятника?
1) Остановка «Многогранники»
Что же является характерной чертой данных объектов? Обратите внимание, что каждая поверхность, составленная из многоугольников и ограничивающая некоторое геометрическое тело, отделяет это тело от остальной части пространства. Поверхность, составленную из многоугольников и ограничивающую некоторое геометрическое тело, будем называть многогранной поверхностью или многогранником.
Многогранник – это такое тело, поверхность которого состоит из конечного числа многоугольников.
Многогранник называется выпуклым, если он расположен по одну сторону плоскости каждого плоского многоугольника на его поверхности.
Вопрос: Из чего состоит поверхность многогранника? (из многоугольников.)
Вывод:Многоугольники – это грани.
Вопрос:Что такое многоугольник? (это плоская фигура, образованная замкнутым рядом прямолинейных отрезков.)
Вывод:прямолинейные отрезки – это рёбра, а концы рёбер – это вершины.
Отрезок, соединяющий две не соседние вершины одной грани, называется диагональю грани, а отрезок, соединяющий две вершины, не принадлежащие одной грани, - это диагональ многогранника.(показ на примере уже известного многогранника - куба)
Повсюду мы встречаемся с многогранниками: здания архитектуры, ювелирные изделия, многогранная обработка сувениров и т.д.
Многие многогранники изобрёл не человек, а создала природа в виде кристаллов, соли – куб, льда, хрусталя – «заточенная» с двух сторон призма.
Посмотрите, пожалуйста, вперёд. Здесь вы видите более сложные по виду многогранники.
2) Остановка «Правильные многогранники»
Итак, наш путь продолжается. Мы едем по петровскому спуску вниз. Посмотрите, пожалуйста, налево. Здесь вы видите Памятник борцам за установление Советской власти. Памятник борцам за установление Советской власти находится на площади Революции города Липецка, Россия. Его открытие состоялось в 1967 году и было приурочено к 50-летнему юбилею Великой Октябрьской социалистической революции. Памятник представлен в виде фигуры революционера, идущего вперед стремительной поступью. Скульптура установлена на высоком железобетонном постаменте, рядом с которым находится изогнутая стела с барельефным изображением лиц активных участников становления Советской власти в городе. В основании памятника лежит многогранник, который носит название «Правильный многогранник». Он характеризуется тем, что грани этой фигуры – это правильные многоугольники, и в каждой вершине сходится одинаковое число рёбер.
Выпуклый многогранник называется правильным, если его грани являются правильными многогранниками с одним и тем же числом сторон и в каждой вершине многогранника сходится одно и то же число рёбер.
Большой интерес к формам правильных многогранников проявляли скульпторы, архитекторы, художники. Их всех поражало совершенство, гармония многогранников. Леонардо да Винчи (1452-1519) увлекался теорией многогранников и часто изображал их на своих полотнах. Сальвадоре Дали на картине «Тайная вечеря» изобразил И. Христа со своими учениками на фоне огромного прозрачного додекаэдра. Учёным достаточно хорошо изучены правильные выпуклые многогранники, доказано, что существует всего пять видов таких многогранников, но сам ли человек их придумал. Скорее всего – нет, он «подсмотрел» их у природы.
Всего существуют пять типов правильных многогранников: тетраэдр, гексаэдр, октаэдр, икосаэдр, додекаэдр.
Названия этих многогранников пришли из Древней Греции, и в них указывается число граней: «ЭДРА» - ГРАНЬ,
«ТЕТРА» - 4,
«ГЕКСА» - 6,
«ОКТА» - 8,
«ИКОСА» - 20,
«ДОДЕКА» - 12.
Великий древнегреческий ученый Платон, живший в IV-V вв. до н. э., считал, что эти тела олицетворяют сущность природы. Человечеству были известны четыре сущности (стихии): огонь, вода, земля и воздух. По мнению Платона, их атомы имели вид правильных многогранников: огня — тетраэдр, земли — гексаэдр, воздуха - октаэдр, воды — икосаэдр.
Но оставался еще додекаэдр. Платон предположил, что существует еще одна сущность, так называемый, мировой эфир, атомы которого имеют вид додекаэдра, т.е. «всё сущее». Платон и его ученики в своих работах уделяли большое внимание правильным многогранникам, и поэтому их ещё называют «платоновыми телами».
Правильные многогранники – самые выгодные фигуры. И природа этим широко пользуется. Подтверждением тому служит форма кристаллов. Взять, например, поваренную соль. Кристаллы поваренной соли имеют форму куба.
Свойства этих многогранников изучали ученые и священники; их модели можно увидеть в работах архитекторов и ювелиров, им приписывались различные магические и целебные свойства.
Итак, благодаря правильным многогранникам открываются не только удивительные свойства геометрических фигур, но и пути познания природной гармонии.
3) Остановка «ПРИЗМА»
Простейшим многогранником является призма.
Следующая остановка состоится в районе фигур призма.
Призма– это многогранник, который состоит из двух плоских многоугольников, лежащих в разных плоскостях и совмещаемых параллельным переносом, и всех отрезков, соединяющих соответствующие точки этих многоугольников. Многоугольники называются основаниями призмы, а отрезки, соединяющие соответствующие вершины, – боковые ребрами призмы.
Поверхность призмы состоит из оснований и боковой поверхности. Боковая поверхность состоит из параллелограммов.
Высотой призмы называется расстояние между плоскостями её оснований. Отрезок, соединяющий две вершины призмы, не принадлежащие одной грани, называется диагональю призмы.
Рассмотрим на примере Обелиска Петру I.
Обелиск окружен чугунной оградой. В постамент с двух сторон вмонтированы чугунные доски с барельефами, на одном из которых изображена кузница Гефеста, а второй посвящен целебным источникам. Первый барельеф обращен в ту сторону, где располагались заводы, и является своеобразным символом развитого в городе в эпоху Петра I железоделательного производства. На третьей грани постамента высечены следующие строки: "Незабвенному везде и во всем Великому отцу Отечества императору Петру I, основателю нашего города, указавшему в нем новые целебные источники и новые средства богатства народного".
В основании памятника лежит правильная четырехугольная призма.
Памятник милиционерам-героям был в 2002 году установлен у здания УМВД России по Липецкой области на улице Интернациональная. Из-за необычного для милиционера вида скульптура получила народное название "Бэтмен". Хотя на самом деле это Персей - герой древнегреческой мифологии. Он изображён летящим на битву с Медузой с мечом и щитом в руках. Персей считается древнегреческим аналогом православного святого великомученика Георгия Победоносца, который известен как покровитель воинов. Персея и Георгия "роднит" античный миф, в котором Персей убивает морское чудовище и освобождает дочь царя, Андромеду, отданную на съедение чудовищу для спасения царства её отца, и хорошо известная история о посмертном чуде святого Георгия убившего копьём змея (дракона), опустошавшего землю одного языческого царя в Бейруте.
В составе памятника присутствуют элементы треугольной призмы.
Призма называется n-угольной, если её основания – n-угольники.
Каждый, кто посетил город Липецк, должен знать фокус Эйлера. В чём же он заключается?
ФормулаГ+В-Р=2является характеристическим свойством не только для призм, но и для всех выпуклых многогранников (теорема Эйлера).
ТЕОРЕМА. Боковая поверхность прямой призмы равна произведению периметра основания на высоту призмы, т. е. на длину бокового ребра.
, - периметр основания призмы, - длина боковых ребер.
ОБЪЁМ ПРИЗМЫ
Объём любой призмы равен произведению площади её основания на высоту: .
ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД
Параллелепипед - призма, в основании которой лежит параллелограмм.
Рис.1 Рис.2
На рис. 1 и рис. 2 изображены прямой параллелепипед и наклонный параллелепипед.
Грани параллелепипеда, не имеющие общих вершин, называются противолежащим.
ТЕОРЕМА. У параллелепипеда противолежащие грани параллельны и равны.
Прямоугольный параллелепипед – это прямой параллелепипед, у которого основанием является прямоугольник. У прямоугольного параллелепипеда все грани - прямоугольники.
Куб – прямоугольный параллелепипед, у которого все ребра равны.
Длины непараллельных ребер прямоугольного параллелепипеда называются его линейными размерами. У прямоугольного параллелепипеда три измерения.
Свойства диагоналей:
Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.
Точка пересечения диагоналей параллелепипеда является его центром симметрии.
Давайте рассмотрим на примере памятника А. С. Пушкину.
Памятник был открыт в 1999 г., к 200-летию со дня рождения А.С. Пушкина в сквере возле Комсомольского пруда, недалеко от того места, где стояла Вознесенская церковь, в которой, по преданию, венчались бабушка и дедушка поэта – М.А.Пушкина и О.А.Ганинибал.
Небольшой по размеру памятник буквально «потерялся» в зелени и не был виден ни с Театральной площади, ни с Петровского спуска. В связи с этим было принято решение установить его на пересечении улиц Неделина и Пушкина.
В 2005 г. памятник был перенесен на новое место – в сквер на улицу Пушкина, где состоялось его торжественное открытие, приуроченное ко Дню города.
ТЕОРЕМА. В прямоугольном параллелепипеде квадрат любой диагонали равен сумме квадратов трех его измерений.
Боковая поверхность прямого параллелепипеда равна произведению периметра основания на высоту, т.е. на длину бокового ребра.
Объём прямоугольного параллелепипеда с линейными размерами a, b, c вычисляется по формуле V=abc.
Объём любого параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту.
V. Этап закрепления знаний.
Задание 1. Постройте n-угольную призму и определите основные объекты. Посчитайте количество граней, вершин и рёбер (Г, Р, В).
Определите по формуле Г+В-Р число. (должно получиться 2).
Задание 2.
Известны три измерения прямоугольного параллелепипеда. Определите диагональ параллелепипеда.
VI. Рефлексия.
Подходит к концу наша экскурсия по городу Липецку, подведём итоги.
- С какими новыми геометрическими телами мы сегодня познакомились?
- Какая особенность характерна для правильных многогранников?
- В чём заключается теорема Эйлера?
- Что такое призма? Основные её объекты.
- Как определяется боковая поверхность призмы?
- Как определяется объём призмы?
VII. Домашнее задание.
Изготовить модель многогранника из подручных средств (бумага, дерево, проволока и т.п.).
Выучить записи в тетради.
Уважаемые студенты, подошла к концу наше путешествие по нашему славному городу Липецку. Я, надеюсь, что вам понравилась наша экскурсия, и вы узнали много нового и интересного. Спасибо за внимание.
Атанасян Л.С. Геометрия 10-11. Учебник для общеобразовательных учреждений.-М.:Просвещение, 2014
Высшая математика для экономистов под редакцией – А.Н. Романова, Москва 2002 г.
Крамор В.С. «Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начала анализа», Просвещение 1990 г.
Кузнецова Л.В. «Сборник заданий для проведения письменного экзамена по математике за курс основной школы».
Тесты «Алгебра и начала анализа» 10-11 класс, Дрофа 2001 г.
http://www.openarium.ru/%D0%A0%D0%BE%D1%81%D1%81%D0%B8%D1%8F/%D0%9B%D0%B8%D0%BF%D0%B5%D1%86%D0%BA/%D0%94%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%BE%D0%BF%D1%80%D0%B8%D0%BC%D0%B5%D1%87%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8/
10
