Переформулировка задачи в процессе поиска решения
В статье рассматривается один из приемов, с которого начинается творческий этап решения математической задачи, - се переформулировки. Материал может быть использован на занятиях математического кружка в 7-9 классах.
Логический этап подготовки решения задачи завершен. Исследована се структура. Условие и требование разбиты на элементарные утверждения. Выявлены их скрытые взаимосвязи. Другими словами, произведен исчерпывающий анализ задачи. На очереди переход к се непосредственному решению. За этим переходом неизведанное. За этим переходом - творчество. С чего же начинается творческий этап решения задачи? Часто он начинается ее переформулировкой.
Переформулировка задачи является одним из наиболее распространенных творческих приемов. Необходимость в ней возникает перед математиком буквально на каждом шагу. Суть же ее состоит в формулировке одной и той же задачи другими словами, изложении ее в терминах другого, более или менее близкого языка. Сохраняя содержание, такое изложение меняет форму задачи, давая математику возможность взглянуть на нее по-иному, как бы другими глазами.
Простейшими приемами переформулировки задачи владеет почти каждый школьник. Он пользуется ими в тех, часто встречающихся в школьной практике случаях, когда переводит так называемую текстовую задачу на четкий язык алгебраических символов. Лаконичная точность составленных в процессе этого перевода алгебраических уравнений и простота оперирования с ними и приводят его к безошибочности решения задачи.
Другой, не менее частый случай необходимости переформулировки задачи встречается школьнику тогда, когда он стоит перед выбором: какому алгебраическому или геометрическому способу решения задачи отдать предпочтение? И здесь верный подход к задаче, наличие геометрического или же (как в первом случае) алгебраического чутья позволяют ему отыскать более наглядное пли же более краткое решение.
Умение подойти к задаче с разных сторон, увидеть ее скрытый смысл, найти самую яркую и остроумную се формулировку свидетельствует о большой изобретательности и высокой математической культуре исследователя,
Легкая же представимость некоторых задач в различных формулировках является одним из интереснейших их свойств. В большей мере оно присуще игровым и комбинаторным задачам, на их примере удается особенно широко раскрыть те творческие возможности, которые таят в себе переформулировка задачи. Знакомство с переформулировкой начнем с известной комбинаторной задачи о кратчайшем маршруте коня на шахматной доске.
Задача 1. Можно ли обойти конем все поля шахматной доски, посетив каждое из них один раз?
Сформулируем ее по-иному
Задача 2. Все, за исключением одного, поля шахматной доски заняты конями, можно ли последовательно каждым конем сделать ровно по одному ходу?
Нетрудно заметить, что свободным в исходной задаче полям доски соответствуют поля, занятые в задаче 2 фигурами, а маршруту коня - перемещение свободной клетки. В таких случаях говорят, что между элементами обеих задан существует взаимно однозначное соответствие. Другими словами, эти задачи эквивалентны. Они имеют один и тот же смысл, одно и то же решение.
Главная цель переформулировки - сделать задачу нагляднее и доступнее для понимания.
Удачной переформулировкой, выбором соответствующего языка ее изложения удается изменить (иногда расширить) круг лиц, которому адресуется задача. Последнее происходит тогда, когда с малоизвестного языка задача переводится на язык, более распространенный. В качестве примера рассмотрим следующие задачи.
Задача 3 (о назначениях). Сколькими способами можно назначить n рабочих на n различных работ так, чтобы каждая работа выполнялась только одним рабочим?
Сформулируем ее по-иному.
Задача 4. Сколькими способами можно расставить n не угрожающих друг другу ладей на шахматной доске, имеющей размеры nхn?
Поставим в соответствие рабочим горизонтали шахматной доски nхn, а работам - tt вертикали. Если i-й рабочий назначается на j-ю работу, то поле, лежащее на пересечении і-й горизонтали и j-й вертикали, займем ладьей, Так как каждый рабочий назначается на одну работу и каждая работа выполняется одним рабочим, то в результате расстановкиn ладей все вертикали и горизонтали будут содержать по одной ладье, т. е ладьи не угрожают друг другу. Таким образом экономическая задача о назначениях оказалась изложенной в более занимательной и популярной шахматной терминологии.
Как промежуточный этап творчества переформулировка может возникнуть и при постановке новой задачи. Это происходит в том случае, когда какая-либо задача-прототип перестает удовлетворять исследователя, а выбрать удачное изменение ее условий ему еще мешает инерция сложившихся представлений. Формулируя задачу в терминах привычного языка, исследователь и приходит к ее переформулировке.
В свою очередь, переформулировка, освещая задачу как бы с другой стороны, подталкивает исследователя к тому отчаянному шагу в рассуждениях, который ведет к постановке новой задачи. Такой качественный скачок в мышлении, меняющий само содержание задачи, уже требует других, более совершенных и более творческих приемов: специализации, обобщения, аналогии.
Литература
Гингулис Э.Ж. Развитие математических способностей учащихся.// Математика в школе.-1990, № 1.
Чванов, В. Г. Переформулировка задачи // Математика в школе. -
1987. - № 5
