143
А.С. Шандриков
Учреждение образования
«Витебский государственный колледж электротехники»
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ РЕЛЕЙНОЙ АВТОМАТИКИ
Часть 1. Логические функции
1. Аналитическая запись структуры релейных схем
Проектирование релейных схем систем автоматического управления (САУ) или автоматического регулирования (САР) основано на применении законов алгебры логики. Величины алгебры логики могут принимать только два взаимоисключающих значения: «истина» или «ложь». Условно эти логические состояния можно обозначить как 1 и 0 соответственно. Таким образом, алгебра логики – это алгебра состояний. Контакты релейных схем также характеризуются двумя состояниями. Например, контакт реле может быть замкнут или разомкнут, транзистор открыт или закрыт и т.п. Этим состояниям также можно присвоить только два значения: 1 (контакт замкнут) и 0 (контакт разомкнут).
При описании релейных схем, изображенных графическим способом,
каждому коммутирующему элементу и реагирующему органу вводят буквенные обозначения. Замыкающие контакты обозначают строчными буквами (a,b, …, z), а размыкающие – буквами с чертой наверху (a̅,b̅, …, z̅). Реагирующий орган обозначают прописными буквами (A,B, …, Z). Состояние цепи описывают по правилам алгебры логики, при этом:
- последовательное соединение контактов заменяется знаком умножения (точкой или ˄);
- параллельное соединение контактов заменяется знаком сложения («плюс» или˅).
Рис. 1. Электрическая схема |
Рассмотрим пример записи структуры электрической схемы с помощью структурной формулы.
На рис. 1 представлена принципиальная электрическая схема, построенная на релейных контактных элементах, из которой видно, что питание на светодиод будет подаваться (Y = 1) когда будет замкнут контакт с в верхней ветви, или когда будет замкнут контакт a в средней ветви, или когда будут замкнуты контакты b и e в нижней ветви. При использовании описанных буквенных символов для контактов и знаков логических операций условие срабатывания светодиода выражается формулой
Y = a̅ · c · d̅ +b̅ · a + b · e.
2. Логические функции
Основными функциями алгебры логики являются:
-конъюнкция (логическоеумножение) – это функция И (AND).
.
Результат конъюнкции равен Y = 1 тогда И только тогда, когда значения всех аргументов x1…xn равны 1, в остальных случаях результат равен 0.
Конъюнкция может быть реализована электрической цепью с группой последовательно соединённых замыкающих выключателей или контактов реле и реагирующим органом. На рис. 2 показана такая цепь с двумя выключателями x1 и x2 и светодиодом VD.
Рис. 2. Электрическая схема конъюнкции | Таблица 1. Таблица истинности конъюнкции
аа |
СветодиодVD будет светиться (Y = 1) тогда И только тогда, когда оба выключателя будут замкнуты, (x1 = 1Иx2 = 1). Структурная формула конъюнкции будет представлена выражением:
Y = x1 · x2.
В табл. 1 представлена зависимость значения выходного сигнала Y(KV) от состояния выключателей x1 и x2;
-дизъюнкция (логическое сложение) – это функция ИЛИ (OR):
Результат дизъюнкции будет равен 1, когда хотя бы один из аргументов x1…xn будет равен 1.
Дизъюнкция реализуется группой параллельно соединённых замыкающих выключателей, каждый из которых независимо от остальных замыкает цепь питания реагирующего органа. Электрическая цепь дизъюнкции с двумя выключателями x1 и x2 и светодиодом VD представлена на рис. 3, а в табл. 2 приведены значения истинности. Из рис. 3 и табл. 2 следует, что Y(VD) = x1 + x2 = 1 если x1 = 1ИЛИx2 = 1,ИЛИx1 = x2 = 1.
Рис. 3. Электрическая схема дизъюнкции | Таблица 2 Таблица истинности дизъюнкции
аа |
- инверсия (логическоеотрицание) – это функция НЕ (NOT). Инверсия обозначается верхней чертой: .
Результат функции равен 1, если аргумент равен 0. Реализация инверсии поясняется электрической схемой на рис. 4.
Рис. 4. Электрическая схема инверсии | Таблица 1.8 Таблица истинности инверсии
аа |
При разомкнутом выключателе x (x = 0) напряжение на катушке электромагнитного реле K отсутствует, а размыкающий контакт k̅ реле K замыкает цепь питания светодиода, светодиод светится (Y = 1). После замыкания выключателя x (x = 1) срабатывает реле K и его размыкающий контакт k̅ отключает светодиод VD от источника питания, светодиод гаснет (Y = 0).
С помощью описанных функций могут быть получены и другие функции, например,штрихШеффера (И-НЕ,NAND),стрелкаПирса (ИЛИ-НЕ,NOR) и др. Для реализации функций И-НЕ и ИЛИ-НЕ необходимо вместо замыкающего контактаY реле KV1 применить размыкающий контакт .
3. Основные законы алгебры логики для релейных схем
Алгебра релейно-контактных схем базируется на алгебре логики, устанавливающих равносильность выражений, которые можно взаимно заменить подобно замене для тождеств в «обычной» алгебре. Справедливость законов алгебры логики для релейно-контактных подтверждается схемами, соответствующих левым и правым частям равносильных выражений. Рассмотрим основные законы алгебры логики.
Переместительныйзакон:
xy = yx – относительно конъюнкции (рис. 5, а);
x + y = y + x – относительно дизъюнкции (рис. 5, б).
а | = | б | = | ||
Рис. 5. Графическая интерпретация переместительного закона | |||||
Сочетательный закон:
(xy)z = x(yz) – относительно конъюнкции (рис. 6, а);
(x + y) + z = x + (y + z) – относительно дизъюнкции (рис. 6, б).
а | = | б | = | ||
Рис. 6. Графическая интерпретация сочетательного закона | |||||
Распределительный закон:
- конъюнкции относительно дизъюнкции: (z + y)x = xz + xy (рис. 7, а);
- дизъюнкции относительно конъюнкции: xy + z = (x + z)(y + z) (рис. 7, б):
а | = | б | = | ||
Рис. 7. Графическая интерпретация распределительного закона | |||||
Закон инверсии:
– для конъюнкции (рис. 8, а);
– для дизъюнкции (рис. 8, б).
а | = | б | = | ||
Рис. 8. Графическая интерпретация закона инверсии | |||||
В соответствии с законом инверсии:
- если исходная схема замкнута (сигнал на выходе равен 1), то инверсная ей схема будет разомкнутой (сигнал на выходе равен 0);
- при инвертировании меняются на противоположные не только контакты, но и знаки логических действий: конъюнкция меняется на дизъюнкцию и наоборот.
Используя различные сочетания контактов с единицей и нулём, можно получить следующие соотношения:
x·1 = x; (1)
x + 0 = x; (2)
x + 1 = 1; (3)
x·0 = 0; (4)
x·x̅ = 0; (5)
x+x̅ = 1. (6)
Поскольку алгебра логики – это алгебра состояний, то законы алгебры логики справедливы только для установившегося состояния элементов схем, то есть, алгебра логики рассматривает статику схем и не учитывает их динамику. Например, формулы (5) и (6) в момент переключения могут оказаться неверными. При включении электромагнитных реле сначала размыкаются их размыкающие контакты, а уже потом замыкаются замыкающие, поэтому сигнал на выходе цепи x + x̅ кратковременно (до 1 мс) равен 0.
У реле с переключающими контактами:
- при включении сначала замыкаются замыкающие контакты, а затем размыкаются размыкающие;
- при отключении сначала замыкаются размыкающие контакты, а потом размыкаются замыкающие, поэтому сигнал на выходе цепи кратковременно (до 1 мс) равен 1.
Кроме рассмотренных законов, алгебра релейных схем имеет и специфические законы.
Закон повторения:
x·x·…·x = x – относительно конъюнкции (рис. 9, а);
x +x + … + x = x – относительно дизъюнкции (рис. 9, б).
Цепь, состоящая из последовательного или параллельного соединения одинаковых контактов одного и того же релейного элемента, равносильна по своему действию одному контакту этого элемента.
а | = | = | |||
б | = | = | |||
Рис. 9. Графическая интерпретация закона повторения | |||||
Закон поглощения:
x(x + y) = x – относительно конъюнкции (рис. 10, а);
x + xy = x – относительно дизъюнкции (рис. 10, б).
а | = | = | |||
б | = | = | |||
Рис. 10. Графическая интерпретация закона поглощения | |||||
Закон склеивания:
x(x̅ + y) = xy – относительно конъюнкции (рис. 11, а);
x + x̅y = x + y – относительно дизъюнкции (рис. 11, б).
а | = | Б | = | ||
Рис. 11. Графическая интерпретация закона склеивания | |||||
На основании этих законов можно сформулировать следующие теоремы (приводятся без доказательств).
Теорема 1. Если некоторая схема соединена параллельно с замыкающим контактом х (рис. 12, а), то все контакты х, имеющиеся в схеме, можно заменить нулями, а контактыx̅ – единицами:
F = х + f(х, x̅, у … w)= х + f (0, 1, у …, w).
а | б |
Рис. 12. Графическая интерпретация теоремы 1 | |
Если схема соединена параллельно с размыкающим контактом x̅(рис. 12, б), то всеконтактыx̅, имеющиеся в схеме, можно заменить нулями, а контактых – единицами:
F = x̅ + f(х, x̅,у … w)= х + f(1, 0, у …, w).
Пример 1. Упростить структурную формулу
F = x + a[(xc + a)b + x̅ab(a +b)].
Решение.
1. Применить теорему 1:F = x + a[(0·c +a)b + 1·ab(c + b)].
2. Упростить формулу:
- на основании (1.19) и (1.16) 0·c = с;1·ab = ab. Тогда:
F = x + a[ab + ab(c + b)];
- вынести за скобки общий множитель ab:F = x + aab[1 + (c + b)];
- на основании (1.18) и (1.16) 1 + (c + b) =1;aab = ab. Тогда: F = x + ab.
В результате упрощения получена схема, состоящая из трёх контактов вместо одиннадцати и двух релейных элементов вместо трёх: релейный элемент C не влиял на работу схемы. Из упрощённой структурной формулы видно, что сигнал на исполнительный элемент поступит при замыкании контакта x или одновременного замыкания контактова и b.
Теорема 2. Если некоторая схема включена последовательно с замыкающим контактом х (рис. 13, а), то все контакты х, имеющиеся в схеме, можно заменитьединицами, а контакты x̅ – нулями:
F = x · f(x, x̅, y …, w) = x · f(1, 0, y …, w).
а | б |
Рис. 13. Графическая интерпретация теоремы 2 | |
Если схема соединена последовательно с размыкающим контактом x̅(рис. 13, б), то всеконтактых, имеющиеся в схеме, можно заменить нулями, а контактыx̅ – единицами.
F = x̅ · f(x, x̅, y …, w) = x̅ · f(0, 1, y …, w).
Пример 2. Упростить структурную формулуF = x̅[(xc + a)b + x̅a(a + b)].
Решение.
1. Применить теорему F = x̅[(0·c + a)b + 1·a(a + b)].
2. Упростить формулу:
- на основании (1.19) и (1.16) 0·c = с;1·a = a. Тогда: F = x̅[ab + a(a + b)];
- на основании теоремы 2 a(a + b) = a. Тогда: F = x̅a.
В результате упрощения получена схема, состоящая из двух контактов вместо пяти и двух релейных элементов вместо четырёх: релейные элементы C и B не влияли на работу схемы. Из упрощённой структурной формулы видно, что сигнал на исполнительный элемент поступит при замкнутом состоянии контактов x̅ и а.
Литература
Шандриков, А.С. Основы автоматики в энергетическом обеспечении сельскохозяйственного производства : учеб. пособие / А.С. Шандриков. – Минск : РИПО, 2022. – 296 с. : ил.
