Цель: изучить основные способы преобразования проекций, их принципы и применение для решения метрических и позиционных задач в начертательной геометрии.
Для того, чтобы определить действительную величины элементов , например, при выполнении разверток, необходимо провести ряд построений.
Особые способы построения, цель которых, получить новую проекцию элемента детали, представляющую его действительную величину или вид:
способ вращения;
способ совмещения;
способ перемены плоскостей проекций.
СПОСОБЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПРОЕКЦИЙ
Для полых деталей изготовленных из листа часто, кроме чертежа необходимо выполнить развертку их поверхности (раскрой). Обычно это применяется при изготовлении обшивки летательных аппаратов, корпусов блоков радиоаппаратуры, кожухов для закрывания механизмов, частей трубопроводов и вентиляционных устройств, и т. д.
При выполнении разверток поверхностей геометрических тел требуется определить действительную величину элементов тел, которые на чертеже изображаются в искаженном виде. Для этого применяются особые способы построения, цель которых получить новую проекцию элемента детали, представляющую собой его действительную величину или вид.
Такими способами являются: способ перемены плоскостей проекций, способ совмещения и способ вращения.
Многие задачи (определение натуральной величины, расстояний, углов) упрощаются, если геометрические объекты занимают частное положение относительно плоскостей проекций. Если исходные проекции заданы в общем виде, применяют специальные методы преобразования.
Способ замены плоскостей проекций
Суть: объект остаётся неподвижным; одна из плоскостей проекций заменяется новой, перпендикулярной к неизменной плоскости.
Принцип: новая плоскость располагается так, чтобы объект занял частное положение (например, стал параллелен или перпендикулярен новой плоскости).
Правила:
При замене фронтальной плоскости П2 на П4 высота точки zA (расстояние до П1) не меняется.
При замене горизонтальной плоскости П1 на П4 глубина точки yA (расстояние до П2) сохраняется.
Пример применения: преобразование проецирующей плоскости в плоскость уровня (для получения натуральной величины фигуры).
Символическая запись: П1/П2→П4/П2 (замена П2 на П4) или П1/П2→П1/П4 (замена П1 на П4).
Способ вращения
Суть: объект перемещается в пространстве, а система плоскостей проекций остаётся неподвижной.
Виды вращения:
Вокруг проецирующей оси (перпендикулярной одной из плоскостей проекций).
Пример: вращение точки вокруг вертикальной оси: горизонтальная проекция движется по окружности, фронтальная — по прямой, параллельной оси OX.
Вокруг прямой уровня (параллельной одной из плоскостей проекций).
Совмещение (вращение вокруг следа плоскости).
Свойство: при вращении вокруг проецирующей оси проекция объекта на плоскость, перпендикулярную оси, не меняет ни формы, ни размера (меняется только положение).
Способ плоскопараллельного перемещения
Суть: все точки объекта перемещаются в параллельных плоскостях (обычно параллельно одной из плоскостей проекций).
Особенность: одна из проекций объекта сохраняет форму и размер, а вторая изменяется.
Применение: перевод объекта в частное положение без замены плоскостей проекций.
Для способа замены плоскостей:
Выбрать новую плоскость проекций (П4), обеспечивающую частное положение объекта.
Построить новые проекции, сохраняя неизменные координаты (высоту или глубину).
Решить задачу в новой системе плоскостей (П1/П4 или П2/П4).
Для способа вращения:
Определить ось вращения (проецирующая или уровня).
Задать угол поворота.
Построить новые проекции объекта после вращения.
Определение натуральной величины отрезка:
Способ замены: ввести П4, параллельную отрезку. В новой системе проекций отрезок отобразится в натуральную величину.
Способ вращения: повернуть отрезок вокруг вертикальной оси до положения, параллельного фронтальной плоскости проекций.
Преобразование плоскости общего положения в проецирующую:
Ввести П4, перпендикулярную заданной плоскости. В новой системе плоскость спроецируется в прямую.
Нахождение расстояния от точки до плоскости:
Преобразовать плоскость в проецирующее положение (через замену плоскостей или вращение). Расстояние определяется как перпендикуляр от точки до вырожденной проекции плоскости.
Замена плоскостей: удобна для задач, требующих многократных преобразований (например, двух последовательных замен для получения натуральной величины).
Вращение: наглядно для пространственных представлений, но требует точного построения траекторий точек.
Плоскопараллельное перемещение: эффективно для сохранения формы одной из проекций.
При замене плоскостей сохраняются координаты точек, связанные с неизменной плоскостью.
Вращение вокруг проецирующей оси не искажает проекцию на перпендикулярную плоскость.
Все преобразования должны обеспечиватьвзаимную перпендикулярность плоскостей проекций в новой системе.
В чём отличие способа замены плоскостей проекций от способа вращения?
Как определить новую ось проекций при замене П2 на П4?
Почему при вращении вокруг вертикальной оси фронтальная проекция точки движется по прямой?
Какой способ предпочтительнее для определения натуральной величины треугольника?
Что означает символическая запись П1/П2→П1/П4?
Задача: преобразовать отрезок AB общего положения в отрезок, параллельный фронтальной плоскости проекций, используя:
способ замены плоскостей;
способ вращения вокруг вертикальной оси.
Решение:
Для замены плоскостей:
ввести П4∥AB;
построить новую фронтальную проекцию A4B4 (будет равна натуральной величине AB).
Для вращения:
выбрать вертикальную ось через точку A;
повернуть AB до положения A′B′∥П2;
построить новые проекции A2′B2′ и A1′B1′.
Ответ: в обоих случаях A2′B2′ — натуральная величина отрезка AB.
