Лента Мёбиуса

Лента Мёбиуса 

Что же такого примечательного в ленте Мёбиуса? Удивительной и неповторимой особенностью такой ленты является то, что она имеет всего одну сторону и край, никак не связаны с ее расположением в пространстве.

Изучением ленты Мёбиуса и множества других интересных объектов занимается топология - раздел математики, который исследует неизменные свойства объекта при его непрерывной деформации – растяжении, сжатии, изгибе, без нарушения целостности.

1 Лист Мёбиуса и его поразительное открытие

Открывателем этой необычной ленты признан немецкий математик Август Фердинанд Мебиус (1790-1868). Мебиус сделал поразительное открытие – получил поверхность, которая имеет лишь одну сторону (до него считалось, что любая поверхность, например, лист бумаги, имеет две стороны).

Лента Мёбиуса - это простейшая односторонняя поверхность с краем.  Попасть из одной точки этой поверхности в любую другую можно, не пересекая края. 

Открытая поверхность получила математическое обоснование и имя в честь описавшего ее математика и астронома.  Главная ценность листа Мёбиуса состоит в том, что он дал толчок новым обширным математическим исследованиям. Его часто считают символом современной математики..

2 Свойства ленты Мёбиуса

Односторонность. Топологическое свойство листа характерное только для него. А. Мебиус в своем труде «Об объеме многогранников» описал геометрическую поверхность, названную затем в его честь, обладающую всего одной стороной. Проверить это довольно просто: берем ленту или лист Мёбиуса и стараемся закрасить внутреннюю сторону одним цветом, а внешнюю – другим. Не суть важно, в каком месте и направлении было начато окрашивание, вся фигура будет закрашена одним цветом.

Непрерывность. Непрерывность выражается в том, что любую точку этой геометрической фигуры можно соединить с любой другой ее точкой, не пересекая границы поверхности Мёбиуса.

Связность. Любой тополог скажет, что квадрат–односвязен, кольцо и оправа от очков – двусвязны, а всяческие решётки, диски с отверстиями и подобные сложные фигуры – многосвязны. А как же лента Мёбиуса? Конечно двусвязна, т.к. если разрезать ее вдоль, она превратится не в два отдельных кольца, а в одну целую ленту. Причём она будет больше и тоньше исходной. Если перекрутить ленту на два оборота, то лента становится односвязной. Три оборота – связность снова равна двум. Связность заключается в том, что при разрезании ленты вдоль, из нее не получится несколько разных фигур, и она остается цельной.

Ориентированность. В ленте Мёбиуса отсутствует такое важное свойство, как ориентированность. Полный обход вокруг листа изменяет направление окружности на противоположное. Это значит, что человек, идущий по этой фигуре, вернется к началу своего пути, но только в зеркальном отражении самого себя. Таким образом, бесконечная лента Мёбиуса может привести к вечному путешествию.

3 Лента Мёбиуса – широкое поле для вдохновения

Лист Мёбиуса служил вдохновением для скульпторов, художников и писателей. Одной из самых известных работ является картина Маурица Корнелиса Эшера «Moebius Strip II», «Red Ants» или «Красные Муравьи». На ней представлены муравьи, которые ползают по ленте Мёбиуса с обеих сторон, хотя на самом деле сторона лишь одна. Получается, что муравьи ползают по одной поверхности друг за другом. Художник черпал свои идеи из статей и трудов по математике, он был глубоко увлечен геометрией. В связи с чем на его работах часто присутствуют различные геометрические формы, фракталы, потрясающие оптические иллюзии.

Свойства открытий Мёбиуса вдохновили многих писателей на создание фантастических произведений. Петля Мёбиуса играет важную роль в романе

Р. Желязны «Двери в песке», служит как средство перемещения сквозь пространство и время для главного героя романа «Некроскоп» Б. Ламли. Упоминаются поверхности и в рассказах других писателей, у таких как А. Дж. Дейча «Лист Мебиус», М. Клифтона «На ленте Мёбиуса».

Лента Мёбиуса понравилась не только математикам, но и фокусникам. Более 100 лет лист Мёбиуса используется для показа различных фокусов и развлечений. Удивительные свойства листа демонстрировались даже в цирке, где подвешивались яркие ленты, склеенные в виде листов Мёбиуса. Фокусник горящим концом лучины дотрагивался до средней линии каждой ленты, которая была выполнена из калийной селитры. Огненная дорожка превращала первую ленту в более длинную, а вторую - в две ленты, продетая одна в другую. (В этом случае фокусник разрезал лист Мёбиуса не посередине, а на расстоянии в одну треть его ширины).

Немало памятников посвящено ленте Мёбиуса: памятник во Франкфурте-на-Майне (Германия), памятник в Минске (Беларусь), памятник в Москве около кинотеатра «Горизонт», скульптура, украшающая окрестности здания центра физических исследований в американском штате Иллинойс. У входа в Музей истории и техники в Вашингтоне стоит памятник ленте Мёбиуса – на пьедестале медленно вращается стальная лента, закрученная на полвитка.

Поражает своим решением и красотой проект новой библиотеки в виде листа Мёбиуса в Астане (Казахстан).

В Москве на ВДНХ располагается уникальный арт-объект «Лента Мёбиуса» – это ландшафтный аттракцион, который представляет собой непрерывный пешеходный маршрут, проходящий по несущей конструкции в виде знака бесконечности, составляет единый комплекс с Садом пяти чувств. Если смотреть на многоуровневую конструкцию снаружи и изнутри, то кажется, что полотно пешеходной тропы внутри металлического короба перекручивается. «Лента Мёбиуса» — фантастический арт-объект, аналогов которому не существует как в стране, так и в мире. 

Умы многих людей волновала схожесть формы молекулы ДНК и петли Мёбиуса Существовала гипотеза, которую выдвинул советский цитолог Навашин, что форма кольцевой хромосомы по строению аналогична ленте Мёбиуса. На эту мысль ученого натолкнул тот факт, что кольцевая хро­мосома, размножаясь, превращается в более длинное кольцо, чем в самом начале, или в два небольших кольца, но как в цепи продетых одно в другое, что очень напоминает выше описанные опыты с листом Мёбиуса.

Лента Мёбиуса не только упражнение для разума, она и вполне практически применяется. Чудесные свойства листа Мёбиуса привели к новым открытиям и изобретениям: запатентовано множество устройств, например, ремень для заточки, красящая лента для печатающих устройств, ременная передача и другие технические решения.

Свойство односторонности листа Мёбиуса было использовано в технике: если у ременной передачи ремень сделать в виде листа Мёбиуса, то его поверхность изнашивается вдвое медленнее, чем у обычного кольца. Это даёт ощутимую экономию. Свойства, которыми обладает лента Мёбиуса можно использовать в швейной промышленности при оригинальном раскрое ткани.

Пружинный механизм детских заводных игрушек чаще всего выходит из строя, потому, что дети нередко пытаются заводить пружину, когда она и так закручена до предела. Кольцевая перекрученная пружина может стать "вечным двигателем" для детских игрушек.

Во многих матричных принтерах красящая лента также имеет вид листа Мёбиуса для увеличения её ресурса.

Благодаря ленте Мёбиуса возникло множество самых разнообразных изобретений. Так, например, были созданы особые кассеты для магнитофона, которые дали возможность слушать магнитофонные кассеты с "двух сторон” не меняя их местами. А всего в разных странах за последние годы выдано более ста патентов и авторских свидетельств на использование этой удивительной ленты.

 Лента Мёбиуса в литературе

Художественные произведения, в которых упоминается математический объект – лента Мёбиуса.

Памятники, посвященнные ленте мёбиуса.

 Проект библиотеки г. Астана, Казахстан

Здание библиотеки -  сложное сопоставление различных идей и концепций. Оно образует спиральную окружность вокруг крепкого вертикального стержня, который позволяет посетителям библиотеки передвигаться между этажами.

Изгибы библиотеки образуют лист Мёбиуса, таким образом внутреннее пространство переходит во внешнее и обратно.

Лента Мёбиуса на ВДНХ

Практическое применение ленты Мёбиуса