Тема урока: Вписанная и описанная окружности
Описанная окружность — окружность, которая проходит через все вершины многоугольника. В этом случае многоугольник называется вписанным в окружность
Вписанная окружность — окружность, которая касается всех сторон многоугольника. Многоугольник при этом называется описанным около окружности.
Теоремы
Около любого треугольника можно описать окружность. Центр описанной окружности лежит в точке пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. При этом:
в остроугольном треугольнике центр находится внутри треугольника;
в прямоугольном треугольнике — на середине гипотенузы;
в тупоугольном треугольнике — вне треугольника.
В любой треугольник можно вписать окружность. Центр вписанной окружности — точка пересечения его биссектрис.
Решение задач
1. Даны окружность с центром О радиуса 5 см и точка М. Через точку М проведены две касательные к окружности. Найдите угол между ними, если ОМ = 10 см.
РЕШЕНИЕ
Дано: окружность О(0, R), МВ, МС — касательные, R = 5 см, ОМ = 10 см
Найти: ∠ВMС – ?
Решение: В точках касания OB ⊥ МВ, ОС ⊥ МС.
△MОВ прямоугольный, катет OB = R = 5 см равен половине гипотенузы ОM = 10 см. Следовательно, ∠ОMВ = 30°. Аналогично ∠ОMС = 30°. Тогда ∠BMC = ∠ОMВ + ∠ОMC = 30° + 30° = 60°.
2. На окружности с центром О отмечены точки K и L так, что угол KОL равен 160°. Прямая LM касается окружности в точке L так, что угол KLM острый. Найдите угол KLM. Ответ дайте в градусах.
РЕШЕНИЕ
Решение: 1) ОK = ОL как радиусы ⇒ △KОL — равнобедренный ⇒ ∠ОKL = ∠ОLK = (180° – 160°) : 2 = 10° как углы при основании равнобедренного треугольника.
2) Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания ⇒ ОL ⊥ LM ⇒ ∠KLM = 90° – ∠ОLK = 90° – 10° = 80°.
Д\з: повторить формулировки теорем. П.81
