Элективный курс «Тригонометрические уравнения»

Министерство образования и науки РФ

ФГАОУ ВПО «Казанский (Приволжский) федеральный университет»

Приволжский межрегиональный центр повышения квалификации

и профессиональной переподготовки работников образования

Кафедра математического анализа, алгебры и геометрии ЕИ КФУ

Элективный курс

«Тригонометрические уравнения»

Работа выполнена:

Корниловой Л.И., учителем математики высшей кв. категории МБОУ «Средняя общеобразовательная школа №2» ЕМР РТ

«Методы решения тригонометрических уравнений»

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ……………………………………………………………………...3

ГЛАВА 1.Общие методы решения тригонометрических уравнений

1.1. Теоретические основы решения тригонометрических уравнений. …… ..4

1.2.1. Простейшие тригонометрические уравнения……………………………5

1.2.2. Решение тригонометрических уравнений , сводящихся к квадратным..7 1.2.3. Разложение на множители……………………………………………….. 7

1.2.4. Решение уравнений с помощью формул понижения степени………… 9

1.2.5. Однородные тригонометрические уравнения.................................... … 9

1.2.6. Уравнения, решаемые введением вспомогательного угла……………..11

1.2.7. Равенство одноименных тригонометрических функций……………….12

1.2.8. Симметрические тригонометрические уравнения……....................... 12

1.2.9. Метод универсальной подстановки……………………………………...13

1.2.10. Частные методы решения тригонометрических уравнений..................14

ГЛАВА 2. Программа элективного курса по математике

«Тригонометрические уравнения»

2.1. Пояснительная записка……………………..................................................20

2.2. Цели изучения курса «Тригонометрические уравнения»………………..21

2.3. Требования к знаниям и умениям……………………………… …………24

2.4. Формы контроля………………………… ………………………………....24

2.5. Учебно-тематический план…………………………………… ………... .25

2.6.Планируемые результаты обучения ……………………………………….27

2.7. Историческая справка……………………………………………………...31

2.8. Образцы тестов……………………………………………………………...32

ЗАКЛЮЧЕНИЕ………………………………………………………………….34

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ…………………………….36

ПРИЛОЖЕНИЕ 1. Упражнения для самостоятельной работы………………37

Введение

Модернизация общеобразовательной школы предполагает ориентацию образования не только на усвоение обучающимися определённой суммы знаний, но и на развитие его личности, его познавательных и созидательных способностей.

Большую роль в формировании математических способностей играют элективные курсы (курсы по выбору), которые по своему определению являются индивидуальными образовательными программами и рассчитаны на конкретного ученика. Они предназначены для поддержки соответствующего профиля обучения и демонстрации возможностей предмета математики. Поэтому должны подбираться или разрабатываться с учетом интересов, способностей и жизненных планов учеников. Среди этих требований, приоритетными в изучении элективных курсов считаются междисциплинарная интеграция, содействие становлению целостного мировоззрения, практическая ориентированность, обучение через опыт и сотрудничество, учет индивидуальных потребностей учащихся. Поэтому в этой системе обучения ведущими должны стать активные поисковые методы и формы работы: исследовательские, проектные, информационные.

Элективные курсы решают также проблему фундаментальности математического образования, так как ее современное понимание включает не только готовые знания, но и опыт творческой деятельности и эмоционально-ценностных отношений. Они решают и многие другие задачи профильного обучения. Это положительная мотивация обучения математике, повышение общей математической культуры, установление связи между различными частями математики, изучение математики в прикладном аспекте, реализация деятельностного подхода в обучении. В рамках элективного курса есть возможность обучения работе с дополнительной литературой, написанию рефератов, проектов.

Учащиеся овладевают элементами исследовательской деятельности, связанной с поиском, отбором, анализом, обобщением материалов и представлением результатов.

Работа элективных курсов, направлена на формирование исследовательских, проектных компетентностей учащихся.

Одним из таких курсов является элективный курс «Тригонометрические уравнения».

Раздел « Тригонометрические уравнения» курса математики наиболее сложный для учащихся. Одной из причин этого является недостаточное количество программных часов, отведенное на изучение этого раздела, а также поверхностное изложение некоторых важных вопросов, связанных с решением тригонометрических уравнений, отбором и исследованием корней.

Целью элективного курса является: коррекция базовых математических знаний, систематизация, расширение и углубление знаний в вопросах решения тригонометрических уравнений; развитие познавательных интересов и творческих способностей учащихся. Дает возможность познакомиться с интересными, нестандартными вопросами тригонометрии, с методами решения тригонометрических уравнений, подготовиться к различного рода экзаменам, в частности к ЕГЭ. Поэтому данный элективный курс будет способствовать совершенствованию и развитию важнейших математических знаний и умений, предусмотренных школьной программой, поможет оценить свои возможности по математике.

ГЛАВА 1.Общие методы решения тригонометрических уравнений

1.1. Теоретические основы.

Определение:Тригонометрическими уравнениями называются уравнения видаsinx=a (где ), сosх=а, (где ),tgх=а (где -а+),сtgх=а (где -а+),(содержащие неизвестные под знаками тригонометрических функций).

Неизвестным в тригонометрическом уравнении является угол. Понятие решить «тригонометрическое уравнение» не отличается от аналогичных понятий в теории алгебраических уравнений.

При решении тригонометрического уравнения сначала определяют тригонометрическую функцию аргумента. а так как каждому значению тригонометрической функции соответствует неограниченное множество углов, то тригонометрическое уравнение имеет неограниченное множество решений в силу периодичности тригонометрической функции. Лишь в том случае, когда имеется какое-либо дополнительное условие, данное задачей, число решений ограничивается

1.2. Основные виды тригонометрических уравнений

1.2.1. Простейшие тригонометрические уравнения

Приведем основные формулы решения простейших тригонометрических уравнений:

I. sin x=a;х– любое, при |а|> 1 ⇒x∈ ∅;

при |а| ≤ 1 ⇒х= (−1)arcsina+ πn,n∈Z

Частные случаи:

1. sin x= 0, х=n,n∈Z

2. sin x= 1, х=+ 2n,n∈Z

3. sin x= −1,х=-+ 2n,n∈Z

II.cosx=a;х– любое, при |а|> 1 ⇒x∈ ∅;

при |а| ≤ 1 ⇒х= ±arccosa+ 2n,n∈Z

Частные случаи:

1. cos x= 0, х=+ πn,n∈Z

2. cos x= 1, х= 2πn,n∈Z

3. cos x= −1,х= π + 2πn,n∈Z

III. tg x=a;х≠π/2+πn,n∈Z,a– любое ⇒х= arctg a+πn,n∈Z

Частные случаи:

1. tg x= 0, х= πn,n∈Z

2. tg x= 1, х= + πn,n∈Z

3.tgx= −1,х=- + πn,n∈Z

IV. ctg x=a;х≠ πn,n∈Z,a– любое ⇒х= arcctg a+πn,n∈Z

Частные случаи:

1. ctg x= 0, х=π/2+ πn,n∈Z

2. ctg x= 1, х=+ πn,n∈Z

3.ctgx= −1,х= + πn,n∈Z

1.2.2. Решение тригонометрических уравнений , сводящихся к квадратным

1.2.3. Разложение на множители

Метод разложения на множители заключается в следующем: если

ƒ (х)=ƒ₁(х)ƒ₂(х)…ƒn(х), то всякое решение уравнения

ƒ(х)=0 (1) является решением совокупности уравнений

ƒ₁(х)=0, ƒ₂(х)=0…., ƒ_n(х)=0 (2)

Обратное утверждение, вообще говоря, неверно: не всякое решение совокупности уравнений (2) является решением уравнения (1). Это объясняется тем, что решения отдельных уравнений (2) могут не входить в область определения функции ƒ(х).

Поэтому, если при решении тригонометрического уравнения методом разложения на множители, функции, входящие в уравнение, определены не для всех значений аргумента, после нахождения решения должна быть сделана проверка, чтобы исключить лишние корни. Можно поступать другим способом: находить область допустимых значений исходного уравнения и выбирать только те корни, которые входят в данную область допустимых значений.

Пример.

Решить уравнение (3)

Решение. Используя основное тригонометрическое тождество (sin²x+cos²x=1) , уравнение представим в виде

(2sinx-cosx)(1+cosx)=1-cos²х ;

(2sinx-cosx)(1+cosx)= (1- cosx) (1+ cosx). (4)

Грубой ошибкой, которую часто допускают, является сокращение левой и правой части уравнения (4) на (1+ cosx), ибо при этом теряются корни. При правильном подходе к решению данного уравнения следует перенести все слагаемые в правую часть и вынести общий множитель за скобки, получая равносильное уравнение

(2sinx-cosx-1+cosx)(1+cosx) = 0;

1+cosx =0, cosx=-1, х=+,

2sinx-1=0 sinx=,x=(-1)^{k +},

Ответ: х=+,; x=(-1)^{k +},

1.2.4. Решение уравнений с помощью формул понижения степени

При решении широкого круга тригонометрических уравнений ключевую роль играют формулы понижения степени:

Sin²α= (1)

Cos²= (2)

Пример.

Решить уравнение sin²х+sin²2x-sin²3x-sin²4x=0.

Решение. Применив формулу (1) получим

+ --=0;

(cos8x-cos2x)+(cos6x-cos4x)=0;

-2sin3x sin5x-2sinx sin5x=0;

2sin5x (sin3x+sinx)=0;

4sin5xsin2xsinx=0.

Последнее уравнение равносильно совокупности трех уравнений

Sin5x=0,sin2x=0,cosx=0, которые имеют соответственно следующие множества решений

Х=, , x=, x=,.

Решения из множества x=, при ,содержатся в множестве x=,(), а в множестве x =, ()

Ответ:x=,;x =,.

1.2.5. Однородные тригонометрические уравнения

Уравнения вида

а₀sinⁿαx+a₁sin^n-1αx*cosαx+a₂sin^n-2αx*cos²αx+..+a_n-1sinαx*cos^n-1 αx+cosⁿαx=0,(1)

где а_{0 ,}а_1, …а_n- действительные числа, называются однородными уравнениями степени n относительно функций sinαx и cosαx.

К квадратичным уравнениям этого вида относятся уравнения Аsin²αx+Bsinαxcosαx+Ccos²αx+Esin2αx+Fcos2αx+D=0, (2)

При этом следует применить формулы синуса и косинуса двойного угла

sin2αx=2sinαxcosαx, cos2αx=cos²α-sin²αx, а также тождество sin²αx+cos²αx=1.

Общий подход к решению однородных уравнений основан на том, что корни уравненияsinαx=0 или cosαx=0 не являются корнями уравнения (1) так как, если, например cosαx=0, то из уравнения (1) следует, что иsinαx=0,что противоречит основному тригонометрическому тождеству. Следовательно, и левую и правую части уравнения (1) можно разделить на cos²αx и ввести подстановку у=tgαx.

Пример.

Решить уравнение sinx-2cosx=0 (3)

Решение. Уравнение (3) является однородным уравнением первой степени. Разделив обе части на cosx,получим равносильное уравнение tgx=2. Откуда находим семейство х=arctg2+πk,kZ, представляющее собой решение исходного уравнения (3).

Ответ х=arctg2+πk, kZ.

1.2.6. Уравнения, решаемые введением вспомогательного угла

1.2.7. Равенство одноименных тригонометрических функций

Пример.

Решить уравнение cos2x=cos4x

Решение.

4x=2x+2Пк или 4x=-2x+2Пm ;

1) 2x=2Пк, х=Пк;

2)6х= 2Пm, х=;.

Решения х=Пк, входят в .

Ответ:.

1.2.8. Симметрические тригонометрические уравнения

Уравнения вида f(sinxcosx;sin2x)=0, где f-рациональная функция от указанных в скобках аргументов могут быть сведены к уравнению относительно неизвестного y=sinxcosx, тогда sinxcosx=»+» берется при замене y=sinx+cosx и знак «-« для y=sinx-cosx. Исходное уравнение приводится к уравнению f(y)=0.

Пример.

Решить уравнение. сos x + sinx +sinxcosx = 1 (1)

Решение.

Замена 1. Обозначим sin x +cos x = y (2). Обе части уравнения (2) возведем в квадрат. Получим (sin x + cos x)²= y ² , (sinx + 2sin x cos x + cosx) = y²

1+ 2sin x cos x = y²;

2sin x cos x = y-1

Sinxcosx =

Замена 2.

Подставим значения Sin x + cos x =y и Sin x cos x =

в исходное уравнение (1). Получим уравнение относительно переменной у.

y +=1

2y+y²-1=2

y+2y-3=0 D=16 y=1 y=-3

Возвращаемся к исходным данным sin x + cos x =y

sinx + cosx =1 или sinx + cosx = -3-решений нет

sin(x+) = 1; sin(x+) = ; x += +2Пn или x +=П -+2Пn;

x = 2Пn или x = +2Пn.

Ответ: x = 2Пn, x = +2Пn,n

1.2.9. Решение уравнений методом универсальной подстановки

Тригонометрическое уравнение R(sinkx,cosnx,tgmx,ctglx)=0 (1), где R-рациональная функция, k,l,n,mZ, с помощью тригонометрических формул двойного и тройного аргумента, а также формул сложения можно свести к рациональному уравнению относительно аргументов sinx,cosx,tgx,ctgx после чего уравнение (1) может быть сведено к рациональному уравнению относительно t=tgс помощью формулуниверсальной тригонометрической подстановки ,

(2)

Следует отметить, что применение формул (2) может привести к сужению ОДЗ исходного уравнения, поскольку не определен в точках, поэтому в таких точках нужна проверка, являются ли углы корнями исходного уравнения.

Пример.

Решить уравнение

Решение. По условию задачи Применив формулы (2) и сделав замену , получим .

Ответ:.

1.2.10. Частные методы решения тригонометрических уравнений

1. Использование областей существования функций.

Если при рассмотрении уравнения (неравенства) выясняется, что обе его части определены на множестве М, состоящем из одного или нескольких чисел, то нет необходимости проводить какие- либо преобразования уравнения (неравенства), достаточно проверить, является или нет каждое из этих чисел решением данного уравнения (неравенства).

Пример.

Решить уравнение

Решение. ОДЗ:

Проверка:

-1 = -1 – верное равенство, значит, число 7 является решением исходного уравнения.

Ответ: 7.

2. Использование ограниченности функций (области значений).

Пусть множествоМ естьобщая часть областей существования функцийи g(х) и пусть для любого справедливы неравенства f(х) и g(х)где А – некоторое число. Тогда уравнениеf(х) = g(х) равносильно системе уравнений

Пример.Решите уравнение

Решение. Так как то уравнение можно переписать в виде

(1)

Поскольку для любого действительного химеем

то уравнение (1) равносильно системе уравнений

Система равносильна совокупности систем уравнений

Решения первой системы есть второй Все эти решения и будут решениями исходного уравнения.

Ответ:

3. Использование свойств синуса и косинуса

Решение уравнений вида

гдеи В – данные отличные от нуля числа, m и n – данные натуральные числа, может быть сведено к решению систем уравнений, если использовать ограниченность синуса и косинуса. Для решения таких уравнений применяют способ «рассуждений с числовыми значениями».

Пример.

Решить уравнение (1)

Решение. Если число х_о – решение уравнения (1), то так как в противном случае было бы справедливо неравенство >1, что невозможно. Но если то из уравнения (1) следует, что sinх_o = -1. Поэтому любое решение уравнения (1) является решением системы уравнений

(2)

Любое решение системы (2) есть решения уравнения (1). Следовательно, уравнение

(1) равносильно системе (2). Решим эту систему. Первое уравнение системы (2) имеет решениеВсе они удовлетворяют второму уравнению системы (2), т.е. являются всеми решениями системы (2) и равносильного ей уравнения.

Ответ:

4. Использование числовых неравенств

Иногда применение того или иного числового неравенства к одной из частей уравнения (неравенства) позволяет заменить его равносильной ему системой уравнений.

Часто применяются неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим:

где

(причем равенство здесь возможно лишь при а = b), и его следствие:

гдеа > 0 (1)

(причем тогда и только тогда, когда а = 1).

Пример.

Решить уравнение

Решение.Так как для каждого х справедливы неравенства и

то из неравенства где следует, что для каждого х

справедливо неравенство

Так как равенство возможно лишь при а = b (а > 0), то исходное уравнение равносильно уравнению

(1)

Уравнение (1) равносильно уравнению или уравнению все решения которого составляют серию решений

Следовательно, исходное уравнение, равносильное уравнению (1), имеет ту же серию решений

Ответ:

5. Графический метод.

Пример.

Решить уравнение

Решение.Построим графики обеих частей уравнения: и

Графики не пересекаются, и следовательно, уравнение не имеет корней.

Докажем, что данное уравнение не имеет корней. Действительно, при любом x имеют место неравенства

и т.е. что и требовалось доказать.

Ответ: нет решений.

6.Уравнения, содержащие суперпозиции.

Пример.

Решить уравнение

Решение.Уравнение равносильно совокупности двух уравнений

Учитывая, что имеем

Ответ:

ГЛАВА 2. Программа элективного курса по математике

«Тригонометрические уравнения»

2.1.Пояснительная записка

Программа элективного курса cоставлена на основе федерального компонента государственного стандарта, утвержденного приказом министерства образования РФ от 5.03.2004 года №1089,примерной образовательной программы по математике ( cоставитель Э.Д. Днепров, А.Г.Аркадьев. -М.: Дрофа, 2009г.), авторской программы (составитель Бурмистрова Т.А., Москва, «Просвещение», 2008 год).

Элективные занятия рассчитаны на 1 ч в неделю, в общей сложности – на 34 ч в учебный год.

Разработка программы данного курса обусловлена непродолжительным изучением темы «Решение тригонометрических уравнений» на первом этапе среднего (полного) общего образования, когда учащиеся в силу возрастных особенностей ещё не могут получить полноценное представление об алгоритмах решения тригонометрических уравнений, особенно о тех, где используются тригонометрические формулы и их преобразования. Восновной школе рассматриваются только свойства синуса, косинуса, тангенса и котангенса, необходимые для преобразования тригонометрических выражений: знаки по четвертям, сохранение значения при изменении угла на целое число оборотов, чётность косинуса и нечётность синуса, тангенса и котангенса, уделяется внимание переходу от радианной меры угла к градусной мере и наоборот; в 10 классе на изучение темы «Решение тригонометрических уравнений» программой предусмотрено 14 часов; в 11 классе в теме «Уравнения, неравенства, системы» (24 часа) рассматриваются не только тригонометрические уравнения, но и показательные и логарифмические уравнения, неравенства и системы.

Образовательный стандарт среднего (полного) общего образования по математике в требованиях к уровню подготовки к выпускнику предусматривает умение решать простейшие тригонометрические уравнения. Но тема «Решение тригонометрических уравнений» входит в материалы итоговой аттестации за курс полной средней школы, в заданиях ЕГЭ.

Практика показывает, что решение тригонометрических уравнений вызывает у учащихся затруднения. После школьной жизни реальной необходимостью в наши дни становится непрерывное образование, что требует полноценной базовой общеобразовательной подготовки, в том числе и математической. И наконец, всё больше специальностей, требующих высокого уровня образования, связано с непосредственным применением математики (экономика, физика, химия, техника, информатика и многое другое). Таким образом, расширяется круг школьников, для которых математика становится профессионально значимым предметом.

2.2.Цели курса:

сформировать у учащихся понимание необходимости знаний алгоритмов решения тригонометрических уравнений для дальнейшего изучения тригонометрических неравенств и систем уравнений, при решении задач по геометрии, физике, астрономии;

способствовать интеллектуальному развитию учащихся, формированию математического стиля мышления при решении элементарных тригонометрических уравнений, которые необходимы при решении более сложных типов тригонометрических уравнений;

формировать представления о решениях тригонометрических уравнений, как составной части решения тригонометрических неравенств, систем уравнений;

способствовать повышению уровня самостоятельности учащихся при работе с учебным материалом, развивать точную, информативную речь, формировать умение обосновывать свою точку зрения.

Практическая математическая компетентностьпредполагает, что выпускник основной школы умеет:

решать уравнения вида: sinx=a, cosx=a, tgx=a и знает решение их частных случаев;

знает различные приёмы решения линейных, квадратных уравнений и уравнений, сводящихся к ним;

применяет графический метод для решения уравнений, для определения принадлежности корней рассматриваемому промежутку, отбора корней;

владеет системой функциональных понятий, знает тригонометрические функции, предусмотренные минимумом содержания обучения, их свойств и графиков;

применяет обратные тригонометрические функции для проверки полученных решений уравнений.

Социально–личностная компетентность предполагает:

овладение стилем мышления, характерным для математика, его доказательностью, строгостью;

умение логически обосновывать ход преобразований, применять различные способы решения уравнений и уметь выдвигать гипотезы в решении уравнений;

умение ясно, точно и грамотно выражать свои мысли в устной и письменной речи, использовать графический язык математики и свободно переходить от алгебраического метода решения уравнений к графическому методу;

умение использовать разнообразные информационные источники для подготовки к занятию;

5) умение осуществлять алгоритмическую деятельность и конструировать новые умения для решения более сложных задач.

Общекультурная компетентность предполагает, что ученик:

1) понимает, что решение тригонометрических уравнений является неотъемлемой частью раздела «Тригонометрия», её знание необходимо для решения тригонометрических неравенств и систем уравнений;

2) понимает, что решение тригонометрических уравнений возникло из потребностей человеческой практики и продолжает развиваться;

3) понимает, что математическая символика и формулы тригонометрии позволяют описывать общие свойства решения не только тригонометрических уравнений, но и систем уравнений, неравенств не только в алгебре, но и в геометрии, физике и астрономии.

Задачи курса:

сформировать умения решать простейшие тригонометрические уравнения;

освоить приёмы решения различных типов тригонометрических уравнений;

научить учащихся решать уравнения более высокой, по сравнению с обязательным уровнем, сложности;

помочь ученику оценить свой потенциал с точки зрения образовательной перспективы.

Данный курс рассчитан на 34 часа; предполагает знание алгоритма решения типовых уравнений и уравнений более высокой сложности.

Анализ содержания темы «Решение тригонометрических уравнений» позволил выделить типы уравнений и алгоритм их решения, которые и составили основу изучаемого курса. Предлагаемые уравнения различны по уровню сложности.

Разнообразный дидактический материал дает возможность отбирать дополнительные задания для учащихся разной степени подготовки: уровень сложности задач варьируется от элементарных до конкурсных.

Все задания направлены на развитие интереса школьников к предмету, на расширение представлений об изучаемом материале, на решение новых и интересных задач.

Курс характеризуется рациональным сочетанием логической строгости и графической наглядностью.

Курс является открытым, в него можно добавлять новые фрагменты, развивать и дополнять тематику.

Программа может быть использована в 11 классе при подготовке к ЕГЭ, в классах с любой степенью подготовленности, способствует развитию познавательных интересов, мышления учащихся. Для учащихся, которые пока не проявляют заметной склонности к математике, эти занятия могут быть толчком к развитию интереса к предмету и вызвать желание узнать больше.

2.3. ТРЕБОВАНИЯ К ЗНАНИЯМ И УМЕНИЯМ

В результате изучения курса учащиеся должны уметь:

решать тригонометрические уравнения, сводящиеся к квадратным;

решать тригонометрические уравнения разложением на множители, используя различные способы разложения на множители (группировка, формулы сокращенного умножения, вынесение за скобки);

решать однородные тригонометрические уравненияI,II степени;

решать тригонометрические уравнения с использованием формул понижения степени;

решать симметрические тригонометрические уравнения;

решать тригонометрические уравнения, содержащие модуль;

решать тригонометрические уравнения, содержащие радикал;

решать тригонометрические уравнения, содержащие обратную тригонометрическую функцию.

2.4 ФОРМЫ КОНТРОЛЯ

Для реализации данного курса используются различные формы организации занятий, такие как лекция и семинар, групповая, индивидуальная, работа в парах, исследовательская и проектная деятельность учащихся, практикумы и консультации. Результатом предложенного курса должно быть успешное решение заданий ЕГЭ по теме “Тригонометрия”. Итоги реализации данной программы подводятся в форме практических и самостоятельных работ, тестов, КИМов.

Результатом учебной деятельности является исследовательская работа по темам «Геометрическая интерпретация при решении тригонометрических уравнений», «Решение тригонометрических уравнений с отбором корней в заданиях ЕГЭ».

2.5. Тематическое планирование учебного материала

2.6.Планируемые результаты обучения при изучении темы

2.5. Историческая справка

В древности тригонометрия возникла в связи с потребностями астрономии, землемерия и строительного дела, то есть носила чисто геометрический характер и представляла главным образом <<исчисление хорд>>. Само название «тригонометрия» греческого происхождения, обозначающее «измерение треугольников»: (тригонон) - треугольник, (метрейн) – измерение Тригонометрия является одним из наиболее молодых отделов элементарной математики, получивших окончательное оформление лишь в XVIII в., хотя отдельные идеи её относятся к глубокой древности, к античному миру и к математическому творчеству индусов (К. Птолемей, II в., Аль Баттани, IX в., и др.).

Европейские математики достигли высокой степени совершенства в вычислении таблиц натуральных синусов и тангенсов (Региомонтанус, XV в., Ретикус и Питискус, XVI в., и др.).

Научная разработка тригонометрии осуществлена Л. Эйлером в его труде «Jntroductioinanalysisinfinitorum» (1748). Он создал тригонометрию как науку о функциях, дал ей аналитическое изложение, вывел всю совокупность формул из немногих основных формул. . Эйлеру принадлежит мысль рассматривать тригонометрические функции как отношения соответствующих линий к радиусу круга, т. е. как числа, причём радиус круга как «полный синус» он принял за единицу. Эйлер получил ряд новых соотношений, установил связь тригонометрических функций с показательными, дал правило знаков функций для всех четвертей, получил обобщённую формулу приведения .

Тригонометрические уравнения возникли при решении задач по планиметрии, стереометрии, астрономии, физики и в других областях. Тригонометрические уравнения и неравенства из года в год встречаются среди заданий ЕГЭ.

2.8.Тесты

Тест №1

;

а); б) ,в)0; г) ,

cosx=1 а) 0; б)2πn; nZ в)π+2πn; nZ г)πn; nZ

cos( - x)= - 1 а) π+2πn; nZ б)2πn; nZ в) 0 г)+π; nZ

sin x =1

а) (-1)ⁿ б) πn; в) (-1)^{n +} 2 г)± +2πn;

2 tg x=3

а) нет решений; б) +πт; nZ в) г)arctg

cos5x= -1

а)+б) - в) ; nZ г)±;nZ

cos( - 2x)= -

а) ±+πn; nZ б) π+2πn; nZ в)± г)±

tg4x=

а) - б)πn; nZ в) ; nZ г) нет решения

cos(x - а) ±+2πn,nZ ; б) ( -1)ⁿ + в) ( -1)ⁿ⁺¹ +2 г)( - 1)ⁿ .

Итоговый тест

Решите уравнение: tgxctgx+cosx=0

2) 23) 4)решений нет

2. Укажите наименьший положительный корень уравнения 2 sinx+1=0

а) б)в)г)

3. Укажите наибольший отрицательный корень уравнения 2 cosx+=0

1) 2) - 3) - 4) -

4. Укажите те корни уравнения cosx =- которые лежат в промежутке

1) 2) 3) 4)

5. Укажите число корней уравнения sinx = на промежутке

1) 0; 2) 1; 3) 2; 4) 3.

6. Укажите ближайший к корень уравнения cos 4x = 1

1)π; 2) 3) 0; 4) .

7. Найдите сумму корней уравнения cos (x+2006 )=0, принадлежащих промежутку

1)2)π; 3) 4) 2π.

8. Укажите наименьший положительный корень уравнения tg(2x-10◦) =

5◦ ; 2) 15◦; 3) 20◦ ; 4) 25◦ .

9. Решите уравнение:

2)+2

4)

10. Сколько корней имеет уравнение tgx=на промежутке?

0; 2) 1; 3)2; 4) 3.

Заключение

Элективный курс «Тригонометрические уравнения», предназначен для профильной подготовки учащихся 10-11-х классов, рассчитан на 34 часа в 10-м классе (по 1 часу в неделю), предусматривает расширение и углубление базового уровня изучения математики в полной средней школе. Программа содержит:

пояснительную записку, в которой, исходя из целей и задач изучения математики на базовом уровне в старшей школе формулируются цели и задачи изучения темы «Тригонометрические уравнения»;

тематическое планирование, содержащее как перечень математического содержания курса, так и планируемые результаты обучения (содержащие общие учебные умения и специальные математические умения и приёмы действий в конкретных задачных ситуациях);

проектируемые формы обучения: лекции, семинары, собеседование; формы контроля: зачёт, контрольная работа, защита исследовательской работы учащихся («Геометрическая интерпретация при решении тригонометрических уравнений», «Решение тригонометрических уравнений с отбором корней в заданиях ЕГЭ»).

приведены варианты промежуточного и итогового контроля в 10, классе;

теоретические основы решения тригонометрических уравнений с, содержащие как описание общих приёмов решения уравнений различных типов, так и конкретные примеры;

список используемой методической и математической литературы.

Многоуровневая система задач является основным дидактическим средством обучения алгебре и началам анализа учащихся старших классов средней школы, в ней заложены возможности продвижения учащихся как по содержательной компоненте программы, так и по деятельностной компоненте (приемы решения знакомых, модифицированных, незнакомых задач). Планируется использование различных форм активного обучения и форм контроля, ориентирующих учащихся на приобретение высокого уровня общей и специальной математической подготовки, прочных знаний и умений, необходимых для успешной сдачи государственной аттестации и продолжения профессионального обучения в высшей школе.

Отобранное содержание курса соответствует целям профильной подготовки учащихся.

Авторская программа элективного курса «Тригонометрические уравнения», может быть рекомендована для обучения школьников в 10, 11 классах.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

Алгебра и начала математического анализа. 10 класс. В 2 ч. Ч. 2: задачник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) / А.Г. Мордкович и др.; под ред. А.Г. Мордковича – М.: Мнемозина, 2007. – 336 с.

Бородуля И.Т. Тригонометрические уравнения и неравенства. – М.: Просвещение, 1989. – 239 с.

Литвиненко В.Н., Мордкович А.Г. Практикум по решению задач школьной математики. Практикум по тригонометрии. – М.: Просвещение,1977. – 126 с.

Моденов П.С. Сборник задач по специальному курсу элементарной математики. – М.: Советская наука, 1957. – 667 с.

Мордкович А.Г., Семёнов П.В. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс. В 2 ч. Ч. 1: учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень). – М.: Мнемозина, 2007. – 424 с.

Новоселов С.И. Специальный курс тригонометрии. – М.: Сов. Наука, 1957. – 464 с.

Новоселов С.И. Тригонометрия: учебник для 9-10 классов средней школы. – М.: Учпедгиз, 1960. – 96 с.

Приложение1.

Упражнения для самостоятельной работы

1.Уравнения, сводящиеся к квадратным

№1. Решить уравнение

Ответ:x=, =-.

№2. Решить уравнение

Ответ:

№3. Решить уравнение

Ответ:x=

№4. Решить уравнение

Ответ:x=x=

№5. Решить уравнение

Ответ: =()

№6. Найти наименьшее решение в градусах, удовлетворяющее заданному условию Ответ:

2.Уравнения, решаемые разложением на множители

№1. Решить уравнение

Ответ: =, =

=-

№2. Решить уравнение

Ответ:=; =

3. Однородные уравнения

№1. Решить уравнение

Ответ:x=

№2. Решить уравнение

Ответ =-,

№3. Решить уравнение

Ответ =-

4.Уравнения вида F(=

№1. Решить уравнение

Ответ =

№2. Решить уравнение

Ответ : =, =,

5.Тригонометрические уравнения с использованием оценок (ограниченности )

№1. Решить уравнение

Ответ: =.

№2. Решить уравнение

Ответ: =

№3. Решить уравнение

Ответ:=.

№4. Решить уравнение

Sin⁴x+2cos³x+2sin²x-cosx+1=0 Ответ x=+n,

№5. Решить уравнение: Sin2x (3sin2x-cos)=cos2x (2+sin-3cos2x), в ответе запишите решение, удовлетворяющее условию 0.

Ответ 180⁰