Методическая разработка «Проценты»

МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА

ТЕМА: ПРОЦЕНТЫ

УЧИТЕЛЬ: Калинина Елена Петровна

Обнинск 2019

Важность и значимость изучения темы «Проценты» неоспорима. Оттого и актуальным стало для меня написание этой методической разработки.

Слово процент происходит от латинского «pro centum», означающего «от сотни» или «на сто». Поэтому одну сотую часть числа стали называть процентом. Идея выражения частей целого в одних и тех же долях родилась еще в древности и вызвана практическими потребностями. В Индии проценты были известны еще в V веке. В Европе десятичные дроби, а вмести с ними, и проценты появились на тысячу лет позже – лишь в конце XV века. Проценты широко применяются в различных областях человеческой деятельности. Они в экономике, в производстве, в финансах и т.д.

Еще не имея практических понятий в математике, ребенок уже иногда слышит само слово «Процент» из информационных источников. Поэтому к моменту изучения этой темы в 5 классе у многих ребят уже возникает потребность понять, что же такое «Процент». Обучение решению задач всегда рассматривалось как необходимое условие подготовки учащихся к жизни. Действительно, это одно из математических понятий, которое часто встречается в повседневной жизни. Заметим, что задачи на проценты сегодня становятся еще более актуальны, так как сфера практического приложения процентных расчетов расширяется (повышение цен; объявления коммерческих банков, привлекающих деньги населения на различных условиях; сведения о повышении процента банковского кредита и т. д.)

В процессе всего обучения в школе ребята встречаются с задачами на проценты не только на уроках математики, но и на уроках физики (начиная с темы «Коэффициент полезного действия механизмов»), химии («Молярная масса», «Концентрация»), биологии, географии.

Основная цель при изучении темы в 5 классе – это дать понятие процента и сформировать умение решать простейшие задачи. К таким задачам относятся:

- нахождение заданного числа процентов от числа;

- нахождение числа по заданному значению его процентов;

- сколько процентов составляет одно число от другого.

Эти задачи являются основой для решения более сложных и содержательных задач, умение решать которые позволяет детям справляться с экзаменационными заданиями. Какую роль играют задачи на проценты в нашей жизни, объяснять не надо. Не всякий взрослый умеет вычислять процент от числа. И для ребят эта тема одна из самых трудных и не очень любимых. Моя цель - научить решать задачи.

В данной разработке воедино собрано большое количество задач, предлагаемых на экзаменах. Задачи снабжены решением, объяснительным текстом и ответами, поэтому разработка окажет помощь учащимся при подготовке к ГИА и ЕГЭ, послужит пособием развития обучения и воспитания.

«И воспитание, и образование нераздельны. Нельзя воспитывать, не передавая знания, всякое же знание действует воспитательно». Л.Н. Толстой.

Проценты – тема совершенно особая, и давно известно, что за отведенное на нее время усвоить эту тему трудно.

Процент – это одна сотая, и что тут трудного?

Трудно, что процент – это не одно и то же, что одна сотая. Неверно писать, что ½ = 50%.

½ - это число само по себе, а что такое 50% - это мы узнаем только тогда, когда поймем, что принято за 100%. Ведь если к 100 прибавить 5 и отнять 5, то будет снова 100. А сколько будет стоить товар, стоивший 100 рублей, который сначала подорожал на 10%, а затем подешевел на 10%? Совсем не 100 рублей! Прибавляли то мы 10% от 100, а вычитаем 10% от 110. Вот в этом-то вся и трудность. Нельзя говорить: «Процент – это одна сотая». Надо говорить: «процент - это одна сотая от числа.»

Нужно понимать процент от числа:

Одно и то же количество процентов от разных величин – величины разные.

Например:

1% от 100 рублей – это 1 рубль

1% от 1 000 рублей – это 10 рублей

1% от 10 000 рублей – это 100 рублей

1% от 100 000 рублей – это 1000 рублей

Необходимо помнить:

Чтобы выразить проценты десятичной дробью, нужно число, стоящее перед знаком %, разделить на 100 или, что то же самое, умножить на 0.01.

Выполните задание:

Заполните таблицу:

Теперь уже «автоматически» понимаем:

Половина – это или 50%

Четверть – это или 25%

– это 75 %

– это 20 %

0.3 = 30%; 120% = 1.2

Процедуру обучения решению задач в пятом классе я разбиваю на этапы.

Этап 1. Нахождение одного процента от данной величины

Один процент числа - это его сотая часть. Например, один процент от числа 700 можно найти, разделив 700т на 100. Получится 7. Число 7 – это один процент от числа 700, его сотая часть. Найдите один процент от числа 500.

Найдите один процент от 12 тонн.

Ответ: 120кг. Замечание. Возможны и другие формы ответа, например, 0, 12т, или, т, или т. Но предпочтительнее ответ в целых числах.

Чему равен один процент от пути длиной 750 км?

Ответ: 7500м.

Этап 2. Нахождение величины, один процент которой известен

Найдите число, один процент которого равен 13.

Найдите процент, один процент которого равен 480.

Найдите процент, один процент которого равен ½

Этап 3. Знакомство с обозначением «%» и нахождение нескольких процентов от величины

Процент обозначается значком «%». Найдите 5% от числа 200.

Найдите 8% от числа 300.

Найдите 15% от числа 40.

Ответ: Замечание. Найдем 10% от 40 – это одна десятая, т.е. 4. Затем найдем 5% от 40 – это вдвое меньше, т.е. 2. В сумме получится 15%, равные 6.

Этап 4. Нахождение величины, несколько процентов которой известны

Найдите число, 17% которого равны 68.

Найдите число, 18%которого равны 54.

Найдите массу камня, если 20% ее равны 520 кг.

Этап 5 . Выяснение, сколько процентов составляет одна величина от другой, для случая, когда это 1%

Сколько процентов составляет число 8 от 800? Почему?

Ответ: 1%, т.к. 8 – это одна сотая от 800.

Сколько процентов составляют 34 копейки от 34 рублей? Почему?

Ответ: 1%, т.к. в рубле 100коп.

Сколько процентов составляют 17см от 17м? Почему?

Ответ: 1%, т.к. в метре 100см.

Этап 6. Выяснение, сколько процентов составляет одна величина от другой, для общего случая

Сколько процентов составляет число 60 от числа 6000?

Сколько процентов составляет число 90 от 3600?

Сколько процентов составляет 4см от 2 дм?

Дальнейшие задания – это задания разных типов, даваемые вперемешку.

Найдите, сколько секунд в одном часе и сколько секунд составляют 5% одного часа.

У какого числа 32% равны 1024?

Прибор стоил 1200 рублей. Он подешевел на 10%. На сколько рублей подешевел прибор? Сколько он теперь стоит?

Прибор стоил 1080 рублей. Он подорожал на 10%. На сколько рублей подорожал прибор? Сколько он теперь стоит?

7% числа x равны 67,9. Чему равно число x?

9% числа равны 300. Чему равны 45% от того же числа?

Ответ: 1500. Достаточно умножить 300 на 5.

55 числа равны 84. Чему равны 15% этого числа?

Ответ: 252. Достаточно умножить 84 на 3.

Сколько процентов числа составляют 23% числа от 46% этого же числа?

Ответ: 50%. 23% вдвое меньше, чем 46% того же числа.

На сколько процентов увеличили число, если его увеличили в 3 раза?

Ответ: на 200%. Ведь к числу прибавили еще 2 таких же числа.

На сколько процентов уменьшили число, если его уменьшили в 4 раза?

Ответ: на 75%. Так как от числа осталось 25%.

Сколько процентов составляет 1 кг от 2 г?

Ответ: 50000%. Так как 2 кг составляют 100000% от 2 грамм.

В лаборатории работает 5 мужчин и 4 женщины.

а) На сколько процентов больше в лаборатории мужчин, чем женщин?

б) На сколько процентов меньше в лаборатории женщин, чем мужчин?

Ответ: а) на 25%. б) на 20%

Замечание. Это очень важная задача. Каждый раз мы находим х% от y, а значит, принимаем y за 100%. В случае (а) вначале нужно найти, сколько % составляет число 5 от числа 4. Если 4 – это 100%, то 5 – 125%. Значит, 5 больше, чем 4, на 25%.

В случае (б), вначале нужно найти, сколько % составляет число 4 от числа 5. Если 5 – это 100%, то 4 – 80%. Значит, 4 меньше, чем 5, на 20%.

За 100% берем то число, с которым сравниваем.

Обязательно делаем подробные записи всех типов задач, постепенно отрабатывая каждый тип на нескольких задачах. Рассматриваем различные способы записи решений.

Рассмотрим решение некоторых задач с помощью рисунков:

1. Повысить на 50% - это одно и то же, что в 1.5раза.

100%

а

1.5а

2. Увеличить в 2 раза - это значит увеличить на 100%.

100%

а

2а

3. Уменьшить в 2 раза - это значит уменьшить на 50%.

100%

а

50%

а

4. Увеличить в 3 раза - это значит увеличить на 200%.

а

{-----------------------200%-----------------------------------}

3а
{ -------------------------------300%--------------------------------------------------------------}

5. Уменьшить на 80 % - это значит уменьшить в 5 раз.

{-------- ---------------}

а
{--------= 100%------------} 80%==

а

:= =5

6. Цены на акции предприятия уменьшились на 75%. Во сколько раз уменьшились цены?

100% - 75%= 25% от начальной цены стоят акции после падения.

25% = . 1: = 4

Ответ: в 4 раза.

Объясним смысл предложений и построим их графическую модель :

Премия составила 30% заработной платы.

30%==

Заработная плата Премия

{--------------------------100%----------------------------------------------------}30%

Заработная плата +премия

100%+30%=130%

Отношение заработной платы с премией к обычной заработной плате равно 1.3

Выполнил план на 150 %.

{--------------------100%-------------------------------------------}

{-----------------------выполненная 150%---------------------------------------------------------}

Отношение работы выполненной к объему работы по плану равно 1.5

Перевыполнил план на 150%.

По плану 100%Перевыполнил 150%

{---------------------------------------------------250%-----------------------------------------------------------}

Объем работы выполненной

Отношение объема работы выполненной к объему работы по плану равно 2.5

Себестоимость товара равна 75% его продажной цены.

{---------------------100% цена продажная------------------------------------------------------}

{-------------------75% = себестоимости-------------------------------}

Отношение себестоимости товара к его продажной цене равно 0.75

Построение графической модели придает наглядность задаче, что позволяет учащимся более глубоко осмыслить содержание и в дальнейшем решать, представляя рисунок в уме.

В результате такой работы происходит знакомство с понятием %. И со всеми тремя видами задач на %: нахождение % от числа; нахождения числа по его %; нахождение процентного отношения двух чисел.

После изучения каждого этапа целесообразно проводить математические диктанты.

Математические диктанты - хорошо известная форма контроля знаний. Если диктанты проводятся часто, то школьники приучаются воспринимать задания на слух. А ценность такого умения неоспорима. Оно приводит, в частности, к умению слушать лекции, радиопередачу, слушать вообще. Из различных имеющихся в нашем распоряжении каналов информации слуховой канал занимает почетное второе место после зрительного. И развивать его возможности у наших учеников - крайне важно. Прежде чем перейти к изложению нового материала, целесообразно убедиться, что предыдущая порция знаний учащимися усвоена. Отсюда - место математического диктанта в учебном процесс: в самом начале того урока¸ на котором начинается изложение новой порции знаний. Отсюда и требование к содержанию математических диктантов: ответы на вопросы должны показывать, усвоено ли основное содержание ранее усвоенного материала.

В силу специфики математических диктантов (воспринимаемые на слух вопросы; лаконичные ответы) их педагогические возможности ограничены. С их помощью, как правило, можно проверить, усвоили ли учащиеся обязательный минимум знаний, но нельзя организовать углубленную проверку. Поэтому неверно было бы противопоставлять диктанты другим формам контроля, например, самостоятельным работам. В самостоятельной работе от ученика требуется фиксирование хода работы, что делает подконтрольным поиск результата. В математическом диктанте контроль может вестись лишь по конечному результату.

Диктант 1. Нахождение процента от данной величины.

Найдите от 45 [от 83]

Найдите 1% от 200 [от 500]

Найдите 1% от 4 [от 7]

Найдите 1% от 3 р. [от 8 р.]

Найдите 1% от 17 м [от 19 дм]

Найдите 3% от 60 [от 360]

Закончите предложение: « Один процент- это…» [ Найдите 20% от 60]

Найдите 25% от 360 [ Закончите предложение: « Процентом называется…»]

Диктант 2. Нахождение числа по его проценту.

Чему равно число, которого равна 56 [76]?

Чему равно число, 1% которого равен 96 [79]?

Чему равно число, 3% которого равны 63 [ 4% равны 60]?

Если 8% [6%] пути составляют 48 км, чему равен весь путь?

Если 55% класса [ 45% класса], или 22 человека [18человек], учатся без троек [мальчики], сколько учеников всего в этом классе?

Диктант 3. Процентное отношение.

Сколько процентов составляет число 17 [23] от числа 100?

Сколько процентов составляет число 26 [34] от числа 200?

Сколько процентов составляет число 5 от числа 10 [10от 20]?

Сколько процентов составляет число 20 [50] от числа 200 [500]?

Каков процент жирности молока, если в 1кг его содержится35 [45] г жиров?

После изучения всех типов задач на проценты провожу контрольную работу. Вариант 1

1. Выразите дробью: 50%, 75%

2. Выразите в процентах: урожая, урожая.

3. Что больше: 27% длины или четверть длины?

4. Использовали 54% топлива. Сколько процентов топлива осталось?

5. В кинотеатре 500 зрителей. Найдите:

а)1% всех зрителей, б) 33% всех зрителей.

Вариант 2

1. Выразите дробью: 25%, 40%

2. Выразите в процентах: урожая, урожая.

3. Что больше: 48% площади или половина площади?

4. Использовали 36% удобрений. Сколько процентов удобрений осталось?

5. В музее 300 посетителей. Найдите:

а)1% всех посетителей, б) 44% всех посетителей.

Во время кружковой работы или на других дополнительных занятиях решаем более трудные задачи, так называемые «Для любознательных». Подпитывая интерес учащихся к решению таких задач, подбираю задачи с познавательным содержанием, с исследовательской деятельностью со стороны ребят, с поиском.

Задачи для любознательных

Тане надо было разложить 80 тетрадей на две стопки так, чтобы число тетрадей в одной из них составляло 60% числа тетрадей в другой. Помогите ей решить задачу.

Решение: Примем число тетрадей в одной стопке за 100%, тогда в другой будет 60%, а вместе - 160%. Значит в одной стопке должно быть 80 : 1,6 = 50, тогда в другой - 30.

В драмкружке число мальчиков составляет 80% от числа девочек. Сколько процентов составляет число девочек в драмкружке от мальчиков?

Решение:Пусть число девочек а, тогда число мальчиков 0,8а. Число девочек составляет от числа мальчиков (а : 0,8 а) ∙ 100% = 125%.

Под кукурузу отвели участок поля в форме прямоугольника. Через некоторое время длину этого участка увеличили на 35%, а ширину уменьшили на 14%. На сколько процентов изменилась площадь участка?

Решение:Пусть длина участка а,а ширина b, тогда его площадь ab. После увеличения длины на 35% она стала равна 1,35а, а после уменьшения ширина стала равна 0,86b. Площадь участка стала равна: 1,35а∙ 0,86b= 1,161ab. Значит, площадь участка увеличилась на 1,161ab–ab= 0,161ab, что составляет

100% = 16,1%.

Из числа построенных в этом году домов в одном из районов города более 94% имеют больше пяти этажей. Какое наименьшее количество домов возможно в данном случае?

Решение:Наименьшее число домов будет в том случае, если наибольший возможный процент домов, имеющих не больше пяти этажей, составляет наименьшее число домов. Это возможно, если 5%, т.е. часть, составляет один дом. Тогда всего домов будет 1 ∙ 20 = 20.

В цехе не больше 100 рабочих, треть из них женщины. 8% рабочих имеют сокращенный день. Сколько в цехе рабочих? Сколько из них женщин и сколько из них имеют сокращенный рабочий день?

Решение: Так как 8% = , то число рабочих в цехе должно быть кратным 25. Кроме того, так как треть рабочих - женщины, то число рабочих кратно 3. Таким числом, не превышающим 100, есть 75. Значит, число рабочих 75. Женщин в цехе 75 : 3 = 25, а с сокращенным рабочим днем 6 человек (75 : 25 = 3, 3∙2 = 6, или 75∙0,008 = 6).

Влажность свежескошенной травы 70%, а влажность сена 16%. Сколько надо скосить травы, чтобы получить 1 т сена?

Решение: В 1 т сена сухой массы будет 840 кг (100% - 16% = 84%, 1000 ∙ 0,84 = = 840). В свежескошенной траве сухая масса составляет 30% (100% - 70% = 30%). Значит, травы должно быть 840 : 0,3 = 2800 кг. Итак, чтобы получить 1т сена, надо скосить 2,8 т травы.

В свежих грибах 90% воды, а когда их подсушили, то они стали легче на 15 кг при влажности 60%. Сколько было свежих грибов?

Решение: Если свежих грибов было x кг, то сухой массы в них - 0,1х кг. После подсушивания сухой массы стало 40%, а воды - 60%. Значит, при влажности 60% грибов стало = х кг, а испарилось x кг, что составляет 15 кг.

Значит, х = 15, отсюда x = 20 кг.

Цену на товар сначала снизили на 10%, а потом на 15%. Каков общий процент снижения? Был бы он таким, если бы сначала снизили на 15%, потом на 10%?

Решение: Пусть а руб.– первоначальная цена, тогда 0,9а руб.- цена после снижения на 10%. А после снижения на 15% она стала 0,765а

(0,9а∙ 0,85 = 0, 765а), что на 23,5% ниже первоначальной (100% - 76,5% = =23,5%). Если бы сначала снизили на 15%, то она стала бы 0,85 а; если бы затем снизили на 10%, то она стала бы 0,85а∙ 0,9= 0,765а, то есть на 23,5% ниже. Значит, общий процент снижения в обоих случаях одинаков.

В магазине в первый день яблоки продавали по 60 р. за килограмм. Во второй день после снижения цены продали яблок на 50% больше, чем в первый, а выручка возросла на 12,5%. Какова стала цена яблок после снижения?

Решение:Пусть в первый деньпродали x кг яблок, тогда выручка в этот день составила 60 x руб. После снижения цены во второй день выручка составила

(60х∙ 1,125) руб. и продали 1,5 x кг яблок. Цена 1 кг яблок составила

60 x ∙ 1,125: 1,5 x = 45 руб.

Собаки Отгадай и Угадай соревновались в беге. Прыжок Угадая на 30% короче, чем прыжок Отгадая, но зато он успевал за тоже время на 30% делать прыжков больше, чем Отгадай. Кто из них победит в соревновании?

Решение: Пусть длина прыжка Отгадая равна х, тогда Угадая − 0,7 х. За некоторое время Отгадай делает n прыжков. За это же время Угадай сделает 1,3 n прыжков. Значит, Отгадай пробежит расстояние хn, а Угадай − 0,7 х ∙ 1,3 n = 0,91хn.

xn > 0,91хn. Ответ: в соревновании победит Отгадай.

Задачи для самостоятельного решения.

10. Бронза − это сплав 90% меди и 10% олова. Сколько кг меди и сколько кг олова надо взять, чтобы получить 83 кг бронзы?

11. Латунь – это сплав 60% меди и 40% цинка. Сколько кг меди и сколько кг цинка надо взять, чтобы получить 42 кг латуни? Ответ: 25,2 кг ; 16,8 кг.

12. Для изготовления подшипников используется сплав меди и свинца, содержащий 32% свинца. Сколько свинца и сколько меди надо взять, чтобы получилось 56 кг сплава?

13. Для паяльных работ используют сплавы металлов. Чаще всего применяют сплавы 2-х видов. Один называют мягким припоем - он содержит 40% меди, 2% сурьмы и 58% свинца, другой называют твердым припоем – он содержит 45% серебра, 30% меди и 25% цинка. Фабрика по плану должна ежедневно выпускать 7 т мягкого припоя и 9 т твердого. Сколько меди, свинца, сурьмы, серебра и цинка должна ежедневно получать фабрика, чтобы выполнить план? Ответ: меди − 5,5 т;

Сурьмы− 0,14 т; свинца − 4,06 т; серебра − 4,05 т; цинка − 2,25 т.

14. При размоле пшеницы получается 81% муки, 2% манной крупы и 17% кормовых отходов. Сколько муки, манной купы и кормовых отходов получится из 2,5 т зерна? Ответ: муки − 2 т 25 кг, манной крупы − 50кг, кормовых отходов − 425 кг.

15. Масса земли 5973 квинтиллионов тонн. а) масса железа составляет 37,04% от всей массы Земли. Какова масса железа на нашей планете. б) масса воды на планете составляет 9%. Какова масса воды на нашей планете?

16. Поверхность всей Земли 510,1 млн. кв. км. Суша занимает 149,2 млн. кв. км, остальная часть поверхности покрыта водой. Какова площадь поверхности покрыта водой? Сколько процентов поверхности Земли покрыто водой? (ответ округлите до десятых)

17. Одержав победу на президентских выборах В. В. Путин, принимая Присягу, сказал: «Россия занимает примерно всей суши, а насчитывает только 2% населения».

Поинтересуйтесь размерами площадей и количеством людей на планете и в России.

Эти задачи можно предлагать учащимся и в 6 и в 7 классах на кружковой работе. Можно давать на дом.

В 6 классе после прохождения тем «Нахождение числа по его дроби» и «Нахождение дроби по числу», мы возвращаемся к теме «Проценты» и продолжаем работать над решением задач. Вспоминаем изученное ранее, повторяем теорию и закрепляем.

Задача 1.

Банк обещает своим клиентам годовой рост вклада 10%.

Какую сумму денег получит через год человек, вложивший в этот банк 45тыс. руб.?

Решение:

1) 45000 0,1=4500(руб.) - прирост за год.

2) 45000 + 4500=49500(руб.) – на счете будет через год.

Ответ: 49500 рублей.

Задачу можно решить иначе: найти сначала, сколько процентов составит сумма на счете в конце когда. 100% + 10% = 110%, а затем вычислить 110% от 45000.

Задача для самостоятельного решения.

Вкладчик внес в сбербанк 12000.

В какую сумму превратится вклад через год, если банк начисляет 8% годовых.

Ответ: вклад станет равным 108% от внесенной суммы, что составит 12000 1,08 = 12960 р.

Задача 2.

Какую сумму следует положить в банк, выплачивающий 10% годовых, чтобы по истечению года получить 1100 рублей?

Решение:

1) 100% +10% = 110% - составляет 1100 рублей от первоначального вклада.

2) 110%=1,1

1100 делим на 1,1 = 1000 (руб.) - сумма вклада.

Ответ: 1000 рублей.

Задачи для самостоятельного решения.

а) Фирма платин рекламным агентам 5% от стоимости заказа.

На какую сумму нужно найти заказ, чтобы заработать 2000 руб.

Ответ: 40000 руб.

б) Какой должна быть заработная плата, чтобы после уплаты налогов и процентов по кредитам, составляющих в суме 25% получить 15000 руб.

Ответ: 1500 : = 20000.

в) Работник получает зарплату от нормы выработки. В конце месяца работник получил 36000 рублей, перевыполнив норму на 20%. Сколько дополнительно начислено ему в этот месяц.

Ответ: 36000 : = 30000 руб. зарплата за норму. Значит, работник получит дополнительно 6000 рублей.

При решении задач на проценты особое внимание уделяю задачам на концентрацию.

Концентрацией раствора называют число, показывающие, какую часть массы раствора составляет растворенное вещество. Концентрацию обычно записывают в процентах.

Например: если в 100г раствора йода содержится 5г йода, то концентрация ровна 5%.

Концентрация =

К одной части сахара прибавили 4 части воды. Какова концентрация полученного раствора?

Концентрация сахара = =20%

Килограмм соли растворили в 9 литрах воды. Какова концентрация полученного раствора? ( Масса одного литра воды равна 1кг.)

Концентрация соли = =10%

В 200граммах воды растворили 50грамм соли. Какова концентрация получившегося раствора?

Концентрация раствора = ==20%

Задача 3.

В 200г воды растворили 50г соли. Какова концентрация полученного раствора?

Решение:

Концентрация раствора – это процент, который составляет масса вещества в растворе от массы раствора. Поэтому требуется вычислить процент, который составляет 50г соли от всей массы раствора.

1) 50+200 = 250(г) – масса полученного раствора.

2) = 20%

Ответ: концентрация раствора равна 20%.

Задачи для самостоятельного решения.

1) Сколько грамм йода содержится в 300г его 6%-го раствора; 3%-го; 12%-го.

2) Сколько грамм соли содержится в 2кг ее 2%-го раствора; 10%-го; 35%-го.

3) Какую концентрацию будет иметь рассол, если в 1 кг воды растворить :

а) 250 г соли, б) 600 г соли, в) 1 кг соли. Ответ: 50%

4) Сколько соли получится при выпаривании: а) 375г 12%-го раствора соли; б) 450г 9%-го раствора соли; в) 20г 17%-го раствора соли; г) 80г 3%-го раствора соли?

Ответы:

а) = 45г соли; б) 450 = 40,5г соли: в)20 = 3,4г соли; г)80 = 2,4г соли.

5) Сколько получится: а) 10%-го сахарного сиропа из 80г сахара; б) 5%-го сиропа из 6г сахара; в) 70%-го сиропа из 350г сахара; г) 30% - го сиропа из 75г сахара?

Ответы: а) 80: = 800г сахарного сиропа; б) 6: = 120г сахарного сиропа; в) 350: = 500г;

г) 75: = 250г сиропа.

Следующую задачу я рекомендую проделать дома, т.к. она содержит исследовательскую часть.

Задача.

Оля в стакан чая кладет 2 чайные ложки сахара и считает такой чай сладким. Масса чая в стакане 200 г. Масса сахара в одной ложке 10 г. Какова концентрация сахара в Олином чае

(ответ округлите до 1 процента) Ответ: примерно 9%.Исследуйте, при какой концентрации сахара Вы считаете чай сладким.

Задача 4

Влажность свежих грибов 90%, а сухих – 15%. Сколько сухих грибов получится из 1.7 кг свежих?

{------------------------------------------ 100% (1.7 кг) --------------------------------------------------------}

{------------ 100% ( ? кг)----------------}

При сушке грибов испаряется вода, а масса сухого вещества не изменяется. Она составляет 10% от 1.7 кг, т.е. 0.17кг. В 0.17кг сухих грибов содержится 15% воды и 85 % сухого вещества. Значит, масса сухих грибов равна 0.17 : 0.85= 0.2 кг = 200г.

Запишем задачу по действиям:

100% - 90% = 10% составляет сухое вещество в свежих грибах.

10% = 0.1, 1.7 0.1= 0.17 кг - масса сухого вещества в свежих грибах.

100% - 15% = 85% - составляет сухое вещество в сухих грибах.

85%= 0.85, 0.17: 0.85 =0.2 кг = 200гр.

Ответ: 200г.

Решим еще одну аналогичную задачу без рисунка.

Свежие грибы содержат по массе 90% воды, а сухие – 12%. Сколько сухих грибов получится из 2кг свежих?

Решение:

При сушке грибов испаряется вода, а масса сухого вещества не изменяется. Она составляет 10% от 22кг или 2,2кг. В сухих грибах на те же 2,2кг приходится 88% содержится. Значит, масса сухих грибов равна 2,2 : 0.88 = 0.2 кг = 200г.

Запишем решение «По шагам»

1) 100% - 90% = 10% - составляет сухое вещество в свежих грибах.

2) 10% = 0,1

22 0,1 = 2,2 (кг) – масса сухого вещества в свежих грибах.

3) 100% - 12% = 88% - составляет сухое вещество в сухих грибах.

4) 88% = 0,88

2,2:0,88 = 2,5 (кг)

Ответ: масса сухих грибов равна 2,5кг.

Задачи для самостоятельного решения (Из сборника подготовки к ГИА).

1. Влажность свежескошенной травы 60%, сена – 20%. Сколько сена получится из 1 т свежескошенной травы?

2. Виноград содержит 90% влаги, а изюм - 5%. Сколько кг винограда требуется для получения 20 кг изюма?

Задача 5

В течение января цена на яблоки выросла на 30%, а в течение февраля на 20%. На сколько процентов поднялась цена за 2 месяца?

Решение:

Утверждать, что цена выросла на 50%, нельзя, поскольку «первые» 30% подсчитываются от цены в конце декабря, а «вторые» 20% от другой величины, цены на конец января.

Поэтому будем рассуждать последовательно, обозначив первоначальную цену S.

В конце января она стала равна 1,3S, а в конце февраля – 1,2 (1.3S) = 1,56S.

Следовательно, цена выросла на 56%

Запишем решение:

ПустьS – первоначальная цена.

1,3S – цена в конце января (130% от S)

1,2 (1.3S) = 1,56S – цена в конце февраля (120% от 1,3S)

1,56S составляет 156% от S

156% – 100% = 56%

Ответ: цена выросла на 56%.

Задача для самостоятельного решения.

1) Как изменилась величина, если она:

а) сначала увеличилась на 20%, потом увеличилась на 25%.

Ответ: 1,2а 1,25 = 1,5а. Увеличилась на 50%

б) сначала увеличилась на 20%, потом уменьшилась на 25%

Ответ: 1,2а 0,75 = 0,9а. Уменьшилась на 10%

в) сначала уменьшилась на 20%, потом уменьшилась на 25%

Ответ: 0,8а 0,75 = 0,6а. Уменьшилась на 40%

г) сначала уменьшилась на 20%, потом увеличилась на 25%

Ответ: 0,8а + 0,8а 0,25 = 1а. Величина не изменилась.

2) Одну сторону прямоугольника увеличилась на 20%, а другую увеличилась на 25%.

На сколько процентов увеличилась площадь прямоугольника?

Ответ: Площадь увеличилась в 1,2 1,25 = 1,5 раза, т.е. увеличилась на 50%.

3) Одну сторону прямоугольника увеличили на 60%, а другую уменьшили на 60%.

На сколько процентов увеличилась площадь прямоугольника?

Ответ: Площадь увеличилась в 1,6 0,4 = 0,64 раза, т.е. уменьшилась на 36%.

Возможные варианты самостоятельных и контрольной работ.

Самостоятельная работа №1

Вариант 1.

1.На сколько процентов изменилась величина, если она:

а) увеличилась в 3 раза;

б) уменьшилась в 10 раз?

2.Найди:

а) сколько составляют 9% от 12,5кг;

б) от какой величины 23% составляют 3,91 кв. см;

в) сколько процентов составляют 4,5 от 25?

3. Сравни: 12% от 7,2 и 72% от 1,2.

4. На сколько процентов 12 меньше, чем 30?

5*. На сколько процентов изменилась цена товара, если она:

а) была 45 руб., а стала 112,5 руб.;

б) была 50 руб., а стала 12,5 руб.;

Вариант 2.

1.На сколько процентов изменилась величина, если она:

а) уменьшилась в 4 раза;

б) увеличилась в 8 раз?

2.Найди:

а) От какой величины 68% составляют 12,24кг;

б) сколько составляют 7% от 25,3 га;

в) сколько процентов составляют 3,8 от 20?

3. Сравни: 28% от 3,5 и 32% от 3,7.

4. На сколько процентов 36 меньше, чем 45?

5*. На сколько процентов изменилась цена товара, если она:

а) была 118,5 руб., а стала 23,7 руб.;

б) была 70 руб., а стала 245 руб.;

Самостоятельная работа №2

Вариант 1.

1.На строительство беседки компания потратила 75000 рублей, а продала эту беседку за 101250руб. Сколько процентов составила прибыль строительной компании?

2.Цена на джинсы в январе увеличилась на 25% и составила 16000, а в феврале еще увеличилась на 15%. Сколько стоили джинсы до подорожания, и сколько стали стоить в феврале?

3*.Одну сторону прямоугольника увеличили на 40%, а другую уменьшили на 70%.

Как изменилась площадь прямоугольника и на сколько процентов?

Вариант 2.

1.Товар был приобретен за 45000 рублей, а продан за 58500 рублей.

Сколько процентов составила торговая наценка?

2.Цена на стиральные машины в мае упала на 15% и составила 6630 рублей, а в сентябре увеличилась на 20%. Сколько стоили машины до понижения цены, и сколько они стали стоить в сентябре?

3*.Одну сторону квадрата уменьшили на 40%, а другую увеличили на 70%.

Уменьшилась или увеличилась площадь квадрата и на сколько процентов?

Контрольная работа

Вариант 1.

1.Сколько составляют: а) 8% от 42; б) 136% от 55; в) 95% от а?

2.Найди число, если:

а) 40% его составляют 6,4;

б) 15% его составляют 23;

в) 600% составляют t.

3.На сколько процентов 14 меньше, чем 56?

На сколько процентов 56 больше, чем 14?

4.Цена на клубнику составляла 75 руб. Сначала она уменьшилась на 20%, а потом на 8 руб. Сколько рублей стала стоить клубника?

5.В мешке было 50кг крупы. Из него взяли сначала 30% крупы, а потом еще 40% остатка. Сколько крупы осталось в мешке?

6*.Как изменится число, если его сначала увеличить на 40%, затем увеличить на 35%, а затем уменьшить на 80%?

Вариант 2.

1. Сколько составляют:

а) 6% от 54; б) 112% от 45; в) 75% от b?

2.Найди число, если:

а) 70% его составляют 9,8;

б) 7% его составляют 18;

в) 400% его составляют t.

3.На сколько процентов 19 меньше, чем 95?

На сколько процентов 95 больше, чем 19?

4.Фермеры решили засеять ячменем 45% поля площадью 80га.

В первый день было засеяно 10га. Какую площадь поля еще осталось засеять ячменем?

5.В бочке было 200л воды. Сначала из нее взяли 60% воды, а потом еще 35% остатка. Сколько воды осталось в бочке?

6*.Как изменится число, если его сначала увеличить на 20%, затем увеличить на 45%, а затем уменьшить на 80%?

Задачи для самостоятельного решения.

1.В сосуд, содержащий 7л 14%-го водного раствора некоторого вещества, добавили 7л воды. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора? Ответ: 7.

2.Смешали некоторое количество 13%-го раствора некоторого вещества с таким же количество 17%-го раствора этого вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора? Ответ: 15.

3.Смешали 3л 25%-го раствора некоторого вещества с 12л 15%-го водного раствора этого же вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора. Ответ: 17.

4.Смешав 6%-й и 74%-й растворы кислоты и добавив 10л чистой воды, получили 19%-й раствор кислоты. Если бы вместо 10л воды добавили 10л 50%-го раствора той же кислоты, то получили бы 24%-й раствор кислоты. Сколько литров 6%-го раствора использовали для получения смеси? Ответ: 70

5.Имеется два сплава. Первый содержит 10% никеля, второй – 35% никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 150кг, содержащий 30% никеля. На сколько килограммов масса первого сплава меньше массы второго. Ответ: 90.

6.Первый сплав содержит 5% меди, второй – 14% меди. Масса второго сплава больше массы первого на 9кг. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 11% меди. Найдите массу третьего сплава. Ответ дайте в килограммах. Ответ: 15

7.Имеются два сосуда. Первый содержит 100 кг, а второй – 60кг раствора кислоты различной концентрации. Если эти растворы смешать, то получится раствор, содержащий 41% кислоты.

Если же смешать равные массы этих растворов, то получится раствор, содержащий 50% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в первом сосуде? Ответ: 41.

Чтобы научиться решать задачи – надо их решать.

Рассмотрим еще ряд задач, встречающихся на экзаменах.

Задачи на проценты из сборников подготовки к ГИА и ЕГЭ.

Задача 1.

Магазин в первый день продал 40% имеющихся овощей. За второй день он продал 80% овощей, проданных в первый день. В третий день – оставшиеся 28кг. Сколько кг овощей было в магазине первоначально?

Решение:

Пусть x кг – вес имевшихся в магазине овощей. Тогда

0,4х кг - продано в первый день.

0,8 (0,4х) кг – продано за второй день. Зная, что в третий день было продано 28 кг овощей, составляем уравнение:

0,4х + 0,8 + 28 = x,

0,28 x = 28

x = 100. Ответ: 100кг

Задача 2.

По истечении двух лет сумма банковского вклада, положенного под 3 % годовых выросла на 304, 5 рубля. Найдите первоначальную сумму вклада.

Решение:

Пусть x рублей – первоначальная сумма вклада. Тогда

x + 0, 03 x = 1, 03 x рублей, сумма вклада через год.

0,03 (1,03х) – проценты за второй год.

1,03х + 0,03 1,03х = 1,03 1,03х рублей – сумма вклада через 2 года.

А по условию задачи, сумма вклада выросла на 304,5 рубля.

Получаем уравнение:

1,03∙ 1,03х = x + 304,5

x = 5000 Ответ: 5000 рублей.

Задача 3.

Цена изделия составляла 1000 рублей и была снижена сначала на 10%, а затем еще на 20%. Какова окончательная цена товара?

Решение:

1) 0,1 ∙ 1000 = 100(руб.) – первое снижение цены товара.

2) 1000-100 = 900(руб.) – цена товара после первого снижения.

3) 0,2 ∙ 900 = 180(руб.) – второе снижение цены товара.

4) 900-180 = 720(руб.) – цена товара после второго снижения. Ответ: 720 рублей.

Задача 4.

Цену товара повысили на 25%, затем новую цену повысили еще на 10% и, наконец, после перерасчета произвели повышение цены еще на 12%. На сколько процентов повысили первоначальную цену товара?

Решение:

Пусть x руб. – первоначальная цена товара.

1, 25 x – цена товара, после первого повышения.

0,1∙ 1,25x(руб.) – второе повышение цены товара.

1,25 x + 0,1 ∙ 1,25x = 1, 375x(руб.) – цена после второго повышения.

0,12∙ 1, 375x = 0,165x – третье повышение цены.

1,375x + 0,165x = 1,54x(руб.) – цена после третьего повышения.

Цена была повышена на 1,54x-x = 0,54x руб., что составляет 54% от первоначальной цены; Ответ: 54%.

Задача 5.

В понедельник акции компании подорожали на некоторой число процентов, а во вторник подешевели на то же самое число процентов. В результате они стали стоить на 1,44 % дешевле, чем при открытии торгов в понедельник. На сколько процентов подорожали акции компании в понедельник?

Решение:

x – количество процентов, на которое подорожали (подешевели) акции.

+ - ( + ) = –

+ – - = - умножим на 10000

100х - 100х - = 144

х1= -12 − не удовлетворяет условию задачи

х2= 12

Ответ: 12.

Самостоятельно решить с числом 5,76%.

Задача 6.

Цена товара была сначала повышена на 10%, а затем еще на 120 рублей, и, наконец, еще

на 5%. Какова была первоначальная цена товара, если в результате повышение составило

31,25%?

Решение: Пусть x руб. – первоначальная цена товара. После первого повышения она стала равной x руб., затем стала равна ( х+120) руб., и, наконец, после последнего повышения стала равной ( х+120) ∙ .

Составляем уравнение:

( х+120) ∙ = 1+

1,155 x + 126 = 1,3125 x

0,1575 x = 126

x = 800

Ответ: 800 рублей.

Задача 7.

Зарплату сотрудника увеличили на несколько процентов. Через некоторое время эту новую зарплату увеличили еще на столько же процентов, как и в первый раз. На сколько процентов увеличили зарплату в первый раз, если за два раза она увеличилась на 44 процента?

Решение: x – количество процентов, на которое увеличили зарплату.

+ +( + ∙ = +

++ = Умножим на 10000 левую и правую части уравнения.

100х+100х+ = 4400

+ 200х – 4400 = 0

х1= - 220 − не удовлетворяет условию задачи

х2= 20

Ответ: 20%.

Задача 8.

Сколько литров воды нужно добавить к 20л 5%-го раствора соли, чтобы получить 4%-го раствор?

Решение:

Соль содержится в каждом из растворов. В 20л 5%-го раствора соли содержится

20∙ 0,05 = 1(ед.) соли. Ее количество не меняется. Доливается только вода. Узнаем, каково ее количество.

Пусть x л – количество добавленной воды. Из условия задачи получаем, что 4-% концентрацию раствора характеризует уравнение = 0,04, откуда x = 5; Ответ: 5л.

Задача 9.

Имеются два куска сплава меди и цинка с процентным содержанием меди 42% и 65% соответственно. В каком отношении нужно взять эти сплавы, чтобы, переплавив, получить сплав, содержащий 50% меди?

Решение:

Изобразим схематически условие задачи:

Количество меди в каждом сплаве найдено с помощью соотношения между величинами.

Можем составить уравнение:

0,42x + 0,65y = 0,5 ∙ (x+y)

В этом уравнении две неизвестных, а в задаче требуется найти их отношение .

Решая уравнение, получим 42x + 65y = 50x+50y.

15y = 8x.

x:y = 15:8.

Ответ: нужно взять первый и второй сплавы в отношении 15 к 8.

Задачи на сплавы и смеси с решением

В двух бидонах находится 70 л молока. Если из первого бидона перелить во второй 12,5% молока, находящегося в первом бидоне, то молока в обоих бидонах будет поровну. Сколько литров молока в каждом бидоне?

Решение. Пусть

Xл-количество молока в первом бидоне

Yл-количество молока во втором бидоне

После переливания в первом бидоне будет X - 0,125X л молока, а во втором

Y + 0,125X

Получаем систему:
Решая систему, находим: X = 40; Y = 30.

Ответ: 40 л; 30 л

Имеется кусок сплава меди с оловом массой 12 кг, содержащий 45% меди. Сколько чистого олова надо прибавить к этому сплаву, чтобы получившийся новый сплав содержал 40% меди?

Решение. Пусть.

X кг - масса олова, которую надо добавить к сплаву.

(12 + X) кг, масса полученного сплава, который и содержит 40% меди.

(12 + X) ∙ 0,4 кг меди в новом сплаве. Так как масса меди не изменилась, то

(12 + X) ∙ 0,4 = 12 ∙ 0,45 Отсюда X=1,5

Ответ: 1,5 кг олова.

Совет: для того чтобы составить уравнение, нужно вести расчет по всему сплаву (раствору) и по одной из компонент.

Имеется лом стали 2-х сортов с содержанием никеля 5% и 40%. Сколько нужно взять металла каждого из этих сортов. Чтобы получить 140 т стали с содержанием 30% никеля?

Решение. Пусть.

X т – столько нужно взять металла первого сорта

Y т – столько нужно взять металла второго сорта

В металле первого сорта содержится 0,05 X т никеля, в металле второго сорта –

0,4 Y т. Значит, полученная сталь содержит (0,05 X + 0,4 Y) тонн никеля. Но никель составляет 30% никеля от общей массы полученной стали, следовательно

0,05 X + 0,4 Y = 0,3 ∙ 140. Получаем систему

Отсюда X = 40, Y = 100. Ответ : нужно взять 40 т металла с содержанием никеля 5% и 100 т металла с содержанием никеля 40%.

Задача для самостоятельного решения.

Имеются два сплава, в одном из которых содержится 20%, а в другом − 30% олова.

Сколько нужно взять первого и второго сплавов, чтобы получить 10кг нового сплава, содержащего 27% олова?

Ответ: x = 3; у = 7.

Два куска руды имеют массу 30 кг. Первый кусок содержит чистого металла 5 кг, а второй кусок 4 кг. Сколько процентов чистого металла содержит первый кусок руды, если второй содержит чистого металла на 15 % больше первого?

Решение: Пусть масса первого х кг, а второго (30-х) кг. Первый содержит 5 кг чистого металла, что составляет ∙ 5%, а второй 4 кг. Что составляет ∙ 4%. По условию, ∙ 4% больше ∙ 5% на 15%.

Составляем уравнение:

- = 15

Решая получившееся квадратное уравнение, получим:

х1= -50 – не удовлетворяет условию задачи;

х2= 20. Масса первого куска 20 кг, а пять кг чистого металла в нем составляет 25%,

т.к. ∙ 100% = 25%. Ответ: 25%

Смешали 70%-й и 60%-й растворы кислоты. Если к этой смеси раствора добавить 2кг воды, то получится 50%-й раствор кислоты. Если же вместо воды добавить 2кг 90%-го раствора кислоты, то получится 70%-й раствор кислоты. Сколько 70%-го раствора кислоты смешали?

Решение: Пусть

X кг − 70%-го раствора кислоты

Y кг – 60%-го раствора кислоты

0,7х+0,6у = 0,5(х+у+2) (1)

0,7х+0,6у+2∙0,9 = 0,7(х+у+2) (2)

(1) 0,7х+0,6у = 0,5х+0,5у+1

0,2х+0,1у =1

(2) 0,7х+0,6у+1,8 = 0,7х+0,7у+1,4

0,1у = 0,4; у = 4(подставляем в (1))

0,2х+0,1∙4 = 1

Х = 3; Ответ: 3кг.

Кусок сплава серебра и меди массой 72 кг содержит 45% серебра.

Сколько серебра надо добавить к этому куску, чтобы полученный сплав содержал 50% серебра?

Решение: В 72кг сплава серебра 45%, т.е. 72 ∙ 0,45 = 32,4кг.

Добавили x кг серебра, масса куска сплава стала (72+х) кг, а серебра в нем стало (32,4+х) кг, что по условию задачи составляет 50% нового сплава, т.е. 0,5 (х+72) кг.

Составляем уравнение:

32,4+х = 0,5(х+72) Отсюда x = 7,2 Ответ: 7,2кг.

Смешали 30%-й раствор серной кислоты с 10%-ым и получили 30 грамм 15%-го раствора

серной кислоты. Сколько граммов каждого раствора было взято?

Решение: Пусть 30%-го раствора взяли x г, в нем содержится 0,3х г чистой серной кислоты. 10%-го раствора взяли (300-х) г, в нем содержится 0,1 (300-х) г чистой серной кислоты.

По условию, в полученном растворе содержится 15% серной кислоты, т.е. 0,15 ∙ 300г чистой серной кислоты.

Составляем уравнение: 0,3х+0,1(300-х) = 0,15∙ 300

Отсюда x = 75 Значит, 30%-го раствора взяли 75 г, а 10% − (300 – 75)г = 225г.

Ответ: 75г; 225г.

Перейдем к решению задач, в которых надо определить, на сколько процентов одно число больше (меньше) другого. Такого типа задачи решались нами в 5-ом, 6-ом классах.

Учащиеся уже обучены решать задачу «Найти число b, составляющее p% числа a» и две обратные задачи, приводящие к нахождению a и p из равенства b = .

Теперь мы рассмотрим решение ещё более сложных задач, встречающихся в заданиях ЕГЭ.