Решение тригонометрических уравнений

Конспект урока по алгебре и началам анализа

10 класс

Тема "Решение тригонометрических уравнений"

Вид урока – модульный зачёт.

Форма проведения – игра "Найди свой вектор" (двухчасовое занятие).

Тип урока: итоговый урок по теме.

Цели урока

1) Образовательные – систематизация знаний по изученной теме; проверка умений и навыков, полученных в процессе изучения темы; формирование заочных представлений об уровне требований ЕГЭ.

2) Развивающие – развитие математического мышления и речи; использование фактора игровой ситуации для выявления личностных особенностей обучающихся; определение вектора индивидуального развития обучающихся с помощью методики разноуровнего обучения.

3) Воспитательные - воспитание активной, мобильной, коммуникативной личности; воспитание у обучающихся ответственности за их личное участие в процессе обучения.

Оборудование: интерактивная доска, набор карточек для устной разминки, магнитная доска, карточки с заданиями, листы учёта для судей, листы для тренеров с формулами и рекомендациями по решению заданий; табло результатов для подведения итогов урока.

Предварительная подготовка к уроку – зачету: Четверо обучающихся из 11 класса, наиболее активных, любознательных и общительных, сдают зачет по контрольным карточкам за день - два до проведения урока – зачета, на котором они будут принимать участие в игре в качестве судей и тренеров. Результаты соревнования будут показаны на табло и оценены вектором, указывающим на оценку.

Табло результатов

План урока

1. Организационный момент.

2. Разминка - устная работа игра "Найди свой вектор".

3. Самостоятельная работа.

4. Проверка самостоятельной работы с помощью интерактивной доски.

5. Работа по карточкам.

6. Итог урока.

7. Домашнее задание.

Ход урока - зачета

Организационный момент (2 мин.)

Приветственное слово учителя.

Ознакомление обучающихся с условиями урока – зачета.

II. Разминка (6мин.)

Обучающимся предлагается устная совместная игра "Найди свой вектор" (на магнитной доске). Игру проводят тренеры. На магнитной доске расположены карточки – вопросы и карточки с правильными ответами.

Задание: соединить вектором вопрос и правильный ответ на него.

Цель разминки: активизация, раскрепощение обучающихся, формирование атмосферы свободного обсуждения ответа по типу мозгового штурма; приведение в активное состояние знаний по тригонометрии, полученных во время обучения.

Ход игры:Игра называется "Найди свой вектор", так как обучающиеся находят ответы, с помощью вектора, который они направляют от карточки – вопроса к карточке с правильным ответом. Оба вида карточек содержат простейшие сведения по тригонометрии, полученные в начале изучения темы. Вектора чертят тренеры, но в процессе свободного обсуждении возможных вариантов проведения векторов участвуют все обучающиеся.

Примечание: указанные ниже карточки должны быть расположены на магнитной доске в хаотичном порядке

III. Самостоятельная работа (12 мин.)

Учитель объясняет, что следующий этап работы – самостоятельная письменная работа, что она будет выдана на карточках. Эта работа поможет обучающимся понять преемственность образовательного материала в тригонометрии в направлении от простого к сложному. Кроме этого, самостоятельная работа даст возможность продиагностировать, имеют ли обучающиеся адекватные представления об уровне освоения ими изученной темы.

Время выполнения самостоятельной работы – 12 минут.

Учитель объявляет, что порядок во время самостоятельной работы таков, что учитывается право обучающихся на выбор.

Обучающиеся могут:

-получить карточки на столе судей, самостоятельно выбрав вариант контрольной карточки, зарегистрировать выбранную карточку у судьи (указать номер варианта);

-самостоятельно выбрать на контрольной карточке задания того уровня сложности, который по их мнению, освоен ими (например, обучающиеся, выбравшие высший уровень сложности, должны решить все задания всех уровней без исключения);

- в случае затруднения, возникающего в процессе выполнения задания, обучающиеся имеют право обратиться за консультацией к тренеру, но только один раз.

Далее обучающиеся приступают к выполнению выбранного ими варианта письменной самостоятельной работы по контрольным карточкам.

Делая выбор, обучающиеся должны осознавать, что они полностью отвечают и за правильность выбора, и за его результаты.

Цели: закрепление навыков решения тригонометрических уравнений с простым
и усложнённым аргументом; проверка умения работать с сериями кор­ней, получившимися в результате решения тригонометрических уравнений с усложненным
аргументом; привитие навыка самоанализа путем самостоятельного выбора уровня сложности; воспитание у обучающихся объективности при само­оценке.

Каждая контрольная карточка имеет задания 4-х уровней сложности :

1) уравнения 1 по 4 предназначены для закрепления навыков работы с простым
и усложнённым (линейным) аргументом, отбор корней на числовом про­межутке;

2) уравнения 5 по 7 предназначены для выработки навыка исключения постороннего элемента (корня);

3) уравнение 8 предназначено для выработки навыка объединения корней;

4) уравнение 9 предназначено для выработки умения видеть математическую структуру типа «одно в другом» и для формирования навыка выявления правильного варианта (освобождение от элемента дублирования одних корней в других).

Обучающиеся самостоятельно выбирают уровень сложности, зная при этом, как оценивается этот уровень (информация на карточке).

Самостоятельная работа

IV. Проверка самостоятельной работы (4 мин).

Обучающиеся сами проверяют свою самостоятельную работу (подчеркивают правильные ответы), сверяя полученные результаты, с правильными ответами, выведенными на экран интерактивной доски.

Далее судьи, тренеры и учитель проходят по рядам, собирают выполненные обучающимися самостоятельные работы, проверяют качество проведенной обучающимися самооценки. В случае необходимости делается корректировка самооценки, при этом проверяющие разъясняют свои действия обучающимся.

В результате выполнения самостоятельной работы по карточкам обучающиеся получают уточненное представление о своем уровне освоения изученной темы и о правильности самооценки. Поэтому обучающиеся могут приступать к следующему этапу урока - зачета.

V. Работа по карточкам развития (30 мин.)

Перед началом работы по карточкам развития учитель разъясняет, что далее обучающиеся получат карточки, которые составлены иначе. На них - задания только одного уровня освоения изученной темы. Всего - три уровня освоения темы.

Первый уровень освоения темы – базовый, обучающиеся обязательно должны пройти его на уроке – зачете. Второй уровень – повышенный уровень, уровень развития, его прохождение на уроке – зачете желательно. Третий уровень – высокий (творческий), пройти его на уроке - зачете смогут не все, но он должен быть целью. В случае если Третий уровень не будет пройден в течение урока - зачета, обучающиеся по желанию могут освоить его дома на дополнительную оценку.

Все обучающиеся начинают работу с первого уровня освоения темы. Они получают карточки первого уровня у судей (в раздаче карточек помогают тренеры и учитель)

Первый уровень освоения темы состоит из четырех этапов. Каждый обучающийся решает задания Первого уровня, начиная с 1-го этапа. Последовательность этапов не нарушается. Каждый этап Первого уровня – на отдельной карточке. Таким образом, проходя Первый уровень, каждый обучающийся решает задания четырех карточек (то есть последовательно четырех этапов).

Каждый этап Первого уровня освоения темы представлен в 4-х вариантах. Обучающиеся имеют право на выбор варианта.

В процессе решения обучающиеся имеют право обратиться за помощью к тренеру, но только один раз по каждой карточке (то есть соблюдается соответствие 4 карточки - 4 обращения за помощью к тренеру). Учитель координирует работу тренеров.

Каждая карточка с выполненным заданием сдается судье, который принимает решение об отметке, которая вносится в лист учета знаний обучающихся. В случае необходимости учитель оказывает помощь судьям.

В случае неуспешного выполнения заданий по карточке, обучающиеся получают карточки - консультации с алгоритмом решения у учителя – так исключается возможность бездействия обучающихся с ослабленной подготовкой по теме зачета.

Учитель: По результатам игры «Найди свой вектор» и выполненной самостоятельной работы Вы установили свой уровень освоения пройденной темы. Это было на что иное, как экспресс – диагностика.

Далее вы поймете, что название игры – неслучайно.

Работа по карточкам развития покажет, верно ли Вы определили свой уровень освоения темы. В карточках развития будет представлена вся тема, изученная нами на уроках.

Решая тригонометрические уравнения на карточках развития с этапными заданиями, Вы будете за каждый этап получать свой вектор и продвигаться по нему дальше. Таким образом – от этапа к этапу, от уровня к уровню – Вы будете постепенно продвигаться по своему вектору развития. Это позволит Вам в итоге достичь полного освоения темы, что будет наглядно отражено на табло.

Решив задания четырех этапов Первого уровня, Вы можете получить только отметку 3.

Решив задания Второго уровня, Вы сможете получить отметку 4.

Первый уровеньосвоения темы. Карточки с заданиями на оценку «3»

Первый уровень Карточки 1- го этапа

Решение уравнений методом сведения к квадратному(10 мин.)

Цель: проверить и закрепить умение решать тригонометрические уравнения методом сведения к квадратному.

Первый уровень Карточки 2- го этапа

Решение уравнений методом разложения на множители(8 мин).

Цель: проверить и закрепить навык решения тригонометрических уравнений методом разложения на множители.

Решение однородных тригонометрических уравнений(6 мин.)

Цель: проверить и закрепить навык решения однородных тригонометрических уравнений.

Решение уравнений методом введения вспомогательного аргумента (6 мин).

Цель: проверить и закрепить навык решения тригонометрических уравнений методом введения вспомогательного аргумента.

Выполнив задания всех этапов первого уровня освоения темы и сдав их судье, обучающиеся получают оценку "3".

Судьи фиксирует в листе учета результаты решения всех этапов Первого уровня освоения темы.

На табло выводятся результаты решения этапов – вектора развития, наглядно показывающие, как обучающиеся поэтапно осваивают тему.

Задания второго уровняосвоения темы.

Карточки с заданиями на оценки "4" и "5"(20 мин).

Решите уравнения (20 минут)

Цель: решить тригонометрические уравнения, самостоятельно выбрав метод решения.

Пока вы показали первый уровень освоения изученной темы. Теперь вам самостоятельно придется выбирать метод решения уравнений.

В случае неуспешного выполнения заданий по карточке Второго уровня освоения темы, обучающиеся индивидуально получают у учителя Рекомендации по решению тригонометрических уравнений (письменные) – исключая возможность бездействия обучающихся с подготовкой, недостаточной для Второго уровня.

Рекомендации по решению тригонометрических уравнений.

Если аргументы функций одинаковые, попробовать получить одинаковые функции, используя формулы без изменения аргументов.

Если аргументы функций отличаются в два раза, попробовать получить одинаковые аргументы, используя формулы двойного аргумента.

Если аргументы функций отличаются в четыре раза, попробовать их привести к промежуточному двойному аргументу.

Если есть функции одного аргумента, степени свыше первой, попробовать понизить степень, используя формулы понижения степени или формулы сокращенного умножения. Например,.x+x =… .; 5x - 5x =….

Если есть сумма одноименных функций первой степени с разными аргументами (вне случаев 2,3), попробовать преобразовать сумму в произведение для появления общего множителя.

Если есть сумма разноимённых функций первой степени с разными аргументами (вне случаев 2, 3), попробовать использовать формулы приведения, получить затем случай 5.

Если в уравнении есть произведение косинусов (синусов) различных аргументов, попробовать свести его к формуле синус двойного аргумента, умножив и разделив это выражение на синус (косинус) подходящего аргумента:

Если в уравнении есть числовое слагаемое (множитель), то его можно представить в виде значений функции угла. Например:

Второй уровень

Карточка

Решите тригонометрические уравнения, самостоятельно выбирая метод решения.

Примечание

Работа по второму уровню сложностиоценивается следующим образом:
1) если обучающийся набрал 0,1,2 баллов, то оценка остаётся „3";
2) если набрано 3,4 балла, то оценка ставится „4";
3) если набрано 5 баллов и более, то оценка ставится „5" и можно переходить к следующему учебному элементу, если меньше, то после консультации судьи решайте задания другого варианта, аналогичные тем, в которых была допущена ошибка.

Задания третьего уровня

Карточка на дополнительную оценку «5»

Решите уравнения

Цель: применение своих знаний и умений в более сложных ситуациях.

Обучающимся выдается карточка с заданиями повышенной сложности на дополнительную оценку «5». Эти задания требуют поискового подхода.

Задания Третьего уровня освоения темы даются в двух вариантах. Так как их решают далеко не все учащиеся, и проверяются эти задания учителем.

Примечание

За выполнение задания Третьего уровня ставится дополнительная оценка «5» при следующем условии: если обучающийся набрал 5 баллов и более за любые предложенные задания выбранного варианта.

VI. Итог урока.

Результаты прохождения обучающихся по вектору развития объявляют судьи. Эти результаты имеют рейтинговый характер. Главное, чтобы обучающиеся в процессе игры осознали, что они имели реальный шанс повысить свои знания по теме, что для этого был выбран верный вектор - это вектор самостоятельного поэтапного освоения знаний. Это большой воспитательный момент в процессе обучения.

Итоги урока – игры подводит учитель.

Оценки в журнал выставляются по табло.

Обучающиеся, желающие повысить оценку за тему, могут получить соответствующее домашнее задание для доработки темы. Затем эти обучающиеся, доработав тему, могут заявить себя на зачет –досдачу.

VII. Домашнее задание.

Исходя из результатов урока - зачёта, обучающиеся получают домашнее задание, дифференцированное по уровням освоения темы (т.е. по уровням сложности).

Домашние задания – из Части 2, учебника для общеобразовательных организаций (базовый уровень) А.Г. Мордкович, П.В. Семенова «Алгебра и начала математического анализа. 10 -11 классы. В 2 ч.».

Обучающиеся в случае необходимости могут обратиться к Части 1 учебника для общеобразовательных организаций (базовый уровень).

1 уровень (базовый) Домашнее задание этого уровня выполняют те обучающиеся, которые не сдали зачет по теме. Учебник, ч.2, № 18.6 (а),18.7(б), 18.8 (а),18.9 (а), 18.10 (а),18.11 (а),18.12 (а), № 21.24 (а). 21.25

2 уровень (повышенный) Домашнее задание этого уровня выполняют те обучающиеся, которые хотят повысить оценку за тему (с тройки до четверки). ЕГЭ. Математика профильный уровень. Банк заданий, М: 2019», Садовничий Ю.В. 1. а) решите уравнение cos 2x - sinx = 0 б) Укажите те из корней этого уравнения, которые принадлежат отрезку 2 . Учебник, ч.2,№ 21.30 (а), 21.43 (а, б), 22.21, 18.41

3 уровень (высокий) Домашнее задание этого уровня выполняют те обучающиеся, которые хотят получить дополнительную оценку 5 и засвидетельствовать свой высокий вектор освоения учебного материала и способности к творческому применению полученных знаний на практике – в решении заданий повышенной сложности.

По сборнику заданий «ЕГЭ 2019 Математика, профильный уровень» для подготовки и проведения экзамена по математике за курс средней школы под редакцией И.В Ященко: Вариант 1.Задание 13(а, б). Задание 15.

«ЕГЭ. Математика профильный уровень. Банк заданий, М: 2019», Садовничий Ю.В.

1.Решить уравнение x +x = sin 2x

2. Решить уравнение cosx - sinx=

3. Решить уравнение = 0

4. Решить уравнение = 0

Анализ урока

Модульная технология проведения этого зачёта позволяет каждому обучающемуся определить свои цели, то есть устанавливается, кто хочет знать не более того, что требуется государственным стандартом, а кто готов заниматься больше, поскольку планирует поступить в высшее учебное заведение или просто хочет получить высокую оценку.
Определив свои цели в обучении, каждый обучающийся может приспособиться к тем уровням изучения материала, которые предложены учителем. Очень важно, что при такой форме зачёта определяется время и место промежуточной и итоговой диагностики и учебной коррекции.
Модульная технология проведения уроков помогает осуществлять индивидуальный подход к обучающимся, включать каждого в осознанную учебную деятельность, формировать навыки самообучения и самоорганизации.
Проведение зачёта в форме игры "Выбери свой вектор" удачно соединяет игровые и учебные мотивы. Деятельность обучающихся в игровой форме вызывает те же эмоции и переживания, что и игра, но в то же время даёт возможность активно приобретать нужные сведения, выявлять и восполнять пробелы в знаниях, способствует воспитанию познавательных интересов, активности, мобильности, умения общаться.