"Нестандартные способы решения занимательных задач Леонарда Эйлера"

Нестандартные способы решения

занимательных задач Леонарда Эйлера

Мезис Диана,

ученица 10 «А» класса

БОУ «Тарская гимназия №1»

Ежедневно на уроках математики каждый школьник сталкивается с задачами – сложными, запутанными, интересными. Задачи помогают ученикам развиваться, глубже узнавать программный материал, проявлять логику и мышление, учат анализировать и побуждают к систематизации информации, составлению алгоритмов. Больший интерес и внимание школьников привлекают нестандартные и занимательные задачи, которые своей необычной формулировкой и неожиданным способом решения, побуждают к творческому поиску, исследованию, проявлению любознательности.

С древних времен и до современности мудрецы и ученые предлагают нестандартные, интересные, занимательные задачи. Так швейцарский, немецкий и российский ученый, академик, математик и физик Леонард Эйлер (1707 – 1783) помимо научных трудов по математическому анализу, дифференциальной геометрии, оптике, теории чисел, приближённым вычислениям, математической физике, баллистике, кораблестроению, теории музыки в своих работах - статьях и публикациях - предлагал решить нестандартные задачи, в рассуждениях которых встречались необычные подходы [2].

С 1727 по 1741 годы Леонард Эйлер трудился в России, в 1731 году получил официальную должность профессора. Ученый занимался многим, в том числе картографированием Российской империи, проводил всевозможные экспертизы, консультации для кораблестроителей и артиллеристов, составлял учебные руководства, проектировал пожарные насосы. 1741 – 1766 годы Леонард Эйлер работал в Берлинской академии, где продолжал заниматься наукой, делать математические открытия. Все годы продолжал поддерживать связь с Россией, вел переписки с учеными К.Г. Разумовским, М.В. Ломоносовым [2]. В 1766 году ученый вместе с семьей вернулся по просьбе императрицы Екатерины II в Российскую академию наук, где продолжил научную деятельность, писать статьи, делать открытия в математике, физике, оптике. Ученый трудился до последних дней своей жизни, став автором около 850 научных работ. Леонард Эйлер умер в возрасте 76 лет в 1783 году.

Приведем несколько примеров открытий и заданий ученого.

Рисунок 1. Прямая Эйлера (выделена зеленым цветом)

Эйлером было доказано, что в четырёхугольнике, не являющемся параллелограммом, сумма квадратов диагоналей всегда больше суммы квадратов сторон [2].

Комбинаторика.Магический квадрат Эйлера.

Рисунок 2. Пример магического квадрата для n = 8

Эйлер исследовал алгоритмы построения магических квадратов методом обхода шахматным конём [3].

Логические задачи, решаемые с помощью «Кругов Эйлера».

Изображение множеств в виде кругов было впервые предложено Леонардом Эйлером, а впоследствии применялось английским ученым Джоном Венном в книге «Символическая логика». Л. Эйлер считал, что круги приводят в порядок размышления и облегчают решение некоторых задач [2].

Пример задачи: «В классе 35 учеников, 12 занимаются в математическом кружке, 9 - в биологическом, а 16 ребят не посещают эти кружки. Сколько биологов увлекаются математикой? [3]

Рисунок 3. Схема Эйлера к задаче

Задачи, решаемые с помощью графов.

Труды Л. Эйлера положили начало теории графов как математической дисциплине. В качестве примера для исследования данного вопроса послужила задача о семи мостах Кёнигсберга: «Можно ли пройти каждый мост по одному разу и вернуться в исходное место». Ученый предлагал рассматривать мосты в качестве ребер графа, а земельные участки в виде вершин графа. Учитывая четность или нечетность числа исходящих из вершины ребер можно определить возможность обхода мостов без вторичных прохождений [2].

Данный нестандартный подход к решению задач возник в жизни Леонарда Эйлера в необычной ситуации. Ученому предложили решить задачу о семи мостах Кёнигсберга, заранее сказав о том, что никому еще не удалось ее решить. Вопрос задачи заключался в следующем, можно ли обойти все мосты Кёнигсберга, не проходя дважды по ним. Эйлер заинтересовался задачей, так как для решения не было достаточно знаний ни алгебры, ни геометрии, ни комбинаторики. В результате математиком была не только решена данная задача, но и предложен подход для решения подобных заданий в целом [1].

В основе подхода лежит теория графов. Леонард Эйлер предложил заменить рисунок к задаче (рисунок 4) моделью, где линии обозначают мосты, а вершины – участки земли, которые отделены рекой друг от друга (рисунок 5).

Рисунок 4. Графическое изображение к задаче о мостах.

Рисунок 5. Модель к задаче в виде графа

Графом называется фигура (или схема), состоящая из множества точек, называемых вершинами, и связывающих эти точки отрезков прямых и дуг, называемыми ребрами графа.

Если в вершине сходится четное число ребер - это четный узел, нечетное число ребер соответственно нечетный узел.

Одно из свойств графа заключается в том, что если граф можно нарисовать одним росчерком, то есть пройти его полностью непрерывным движением, проходя по каждой ветви единожды, то он называется уникурсальным (или эйлеровым) [2].

Эйлер предложил и доказал условия, при которых граф будет считаться уникурсальным.

Таким образом, граф можно обойти полностью единожды (т. е. он уникурсален)

- если граф замкнутый, не имеет нечетных узлов;

- если сеть имеет два нечетных узла, движение начинается с одного нечетного узла и заканчивается в другом;

- в том случае, если сеть содержит больше двух нечетных узлов, то полный обход без вторичных прохождений невозможен [3].

На рисунке 8 видим 4 нечетных узла, значит пройти по семи мостам Кёнигсберга не проходя дважды невозможно.

Задачи с целочисленными неизвестными

Леонард Эйлер использовал в рассуждениях к данным задачам свойства и признаки делимости чисел.

Рассмотрим пример задачи Эйлера из учебника алгебры 10-11 классов С.М. Никольского: «Некий чиновник купил лошадей и быков за 1770 талеров. За каждую лошадь он уплатил по 31 талеру, а за каждого быка – по 21 талеру. Сколько лошадей и быков купил чиновник?»[4]

Введем неизвестные х и у, где х – количество лошадей, а у – быков. Согласно условию задачи данные числа являются целыми. Получаем уравнение вида: 31х + 21у = 1770

Поиск решение данного уравнения с целочисленными неизвестными методом перебора возможных вариантов является объемным и долгим.

Эйлер предлагал в своих рассуждениях опираться на свойства и признаки делимости целых чисел.

По признакам делимости целых чисел 1770 и 21 делятся на 3, а число 31 не делится, но по свойствам, если сумма (31х+21у) делится на 3, то и 31х делится на 3, а значит х делится на 3. Заменим х на 3х₁ и сократив равенство на 3, получаем 31х₁ + 7у = 590. Выразим из равенства х₁:

Из равенства видим, что число х₁ будет целым в том случае, если (7у – 1) делится на 31 без остатка. При у = 9, получим х₁ = 17, тогда х = 51. По общим решениям х = 51+21n, у = 9 – 31n, здесь n – целое число, находим еще корни уравнения х = 30, у = 40; х= 9, у = 71. При n≤3 значения получаются отрицательными и не удовлетворяет условию. [4]

Таким образом, в ходе работы над темой, мы познакомились с интересными фактами из биографии знаменитого ученого, математика, физика - Леонарда Эйлера, внесшим большой вклад в развитие данных наук. Получили информацию о занимательных задачах Эйлера и необычных подходах к их решению, предложенные и теоретически обоснованные ученым.

Список литературы

Буданков Л.Ф. 200 логических задач. - Тула: Приок. кн.изд., 1972. - 168 с.

Котек В.В. Леонард Эйлер. М.: Учпедгиз, 1961 г.

Нагибин Ф.Ф. Математическая шкатулка. - М.: Просвещение,1974. - 167 с.

Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н, Шевкин А.В. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс : учеб. для общеобразовательных учреждений А45 : базовый и профил. уровни. - 8 - е изд. – М. : Просвещение, 2009. – 430 с. : ил. – (МГУ – школе).