Факультатив на тему: "Метод вынесения общего множителя и метод группировки"

Факультативы

Разложить многочлен на множители - это значит представить его в виде произведения двух или нескольких многочленов. В этом пункте приводятся некоторые методы разложения многочленов в произведение множителей первой и второй степени, поскольку знания такого разложения достаточно для решения алгебраических уравнений.

Мария Николаевна Авраменко

07 октября 2020

532

Содержимое публикации

Метод вынесения общего множителя и метод группировки

Если все члены многочлена имеют общий множитель, то, вынося его за скобки, получим разложение многочлена на множители.Метод группировки применяется чаще всего в сочетании со способом вынесения за скобки общего множителя. Суть его состоит в перегруппировке слагаемых в многочлене и дальнейшего объединения в группы таким образом, чтобы после вынесения (если это можно) общего множителя из каждого слагаемого в данной группе в скобке получилось выражение, являющееся в свою очередь общим множителем для каждой группы.

№1. Решить уравнение .

Решение.

Все члены данного многочлена содержат общий множитель . Вынося его за скобки, получим разложение данного многочлена на множители

;

Второе уравнение совокупности действительных корней не имеет, следовательно .

Ответ: .

№2. Решить уравнение .

Решение.

Первые два слагаемых содержат общий множитель , значит уравнение примет вид .

Все члены полученного многочлена содержат общий множитель . Вынося его за скобки, получим разложение данного многочлена на множители

Значит .

Это уравнение равносильно совокупности трех уравнений

Ответ: , ,.

№3. Решить уравнение .

Решение.

;

Это уравнение равносильно совокупности двух уравнений

Ответ: .

№4. Решить уравнение .

Решение.

Разложим первые два многочлена по формуле разности квадратов, тогда уравнение примет вид .

;

Это уравнение равносильно совокупности двух уравнений

Ответ: , , .

№5. Решить уравнение .

Решение.

Разложим первые два многочлена по формуле разности кубов, тогда уравнение примет вид

;

Это уравнение равносильно совокупности двух уравнений

Второе уравнение совокупности действительных корней не имеет, следовательно .

Ответ: .

№6. Решить уравнение .

Решение.

Разложим левую часть уравнения на множители методом группировки

Данное уравнение равносильно совокупности

Ответ: , .

№7. Решить уравнение .

Решение.

Объединим в одну группу первое и второе слагаемые, а в другую – третье и четвертое слагаемые. Тогда имеем

;

Вынося из первой скобки , а из второй скобки , получаем ;

Наконец, вынося за скобку общий множитель , получаем, что ;

Ответ: , ,, .

№8. Решить уравнение .

Решение.

Непосредственной подстановкой можно убедиться, что является корнем уравнения, значит, многочлен, стоящий в левой части уравнения, можно разложить на множители, одним из которых будет . Сгруппируем слагаемые с целью выделить этот сомножитель

;

Данное уравнение равносильно совокупности

Ответ: , , .

№9. Решить уравнение .

Решение.

Данное уравнение равносильно уравнению

;

Разложим на множители трехчлен : .

Уравнение примет вид , откуда

Решим первое уравнение:

Решим второе уравнение: .

Ответ: , , .