Домашнее задание по теме "Матрица"

Раздел 1. Основы линейной алгебры

Тема 1.1. Матрицы и операции над матрицами. Определители и их свойства

Цель:приобретение базовых знаний в области фундаментального раздела математики – линейной алгебры. Изучить понятие матрицы, её видов, операции над матрицами, определителей и их свойств.

Задачи:

• развитие творческого профессионального мышления;

• познавательная мотивация;

• овладение языком науки, навыки оперирования понятиями;

• овладение умениями и навыками постановки и решения задач;

• углубление теоретической и практической подготовки;

• развитие инициативы и самостоятельности студентов.

Вид занятия: Комбинированное занятие, включающее в себя ознакомление с новым материалом, применение знаний и умений на практике, закрепление изученного.

Ход занятия.

1.Формулирование темы занятия, пояснение связи темы с другими темами учебной дисциплины;

2.Проверка готовности студентов к занятию;

3.Проведение непосредственно занятия согласно тематике и в соответствии с рабочей программой дисциплины:

Изучить теоретический материал по теме «Матрицы. Выполнение операций над матрицами. Определители и их свойства».

Рассмотреть примеры решения типовых заданий.

Ответить на контрольные вопросы.

Организационный момент.

Приветствует обучающихся. Проверяет подготовленность к учебному занятию, организует внимание обучающихся. Обеспечивает благоприятный настрой.

Создание проблемной ситуации при постановке темы, цели и задач лекции.

В школьном курсе алгебры 7 – 9 классов рассматриваются различные способы решения систем линейных уравнений: метод подстановки, метод сложения, метод двойного сложения, графический метод, метод сравнения. Возникает вопрос, а существуют ли какие-либо другие способы решения данных систем. Действительно, кроме методов, изучаемых в школе, существуют и другие, доступные для учащихся старших классов методы решения систем линейных уравнений: метод Крамера, метод Гаусса, матричный метод. Эти методы способствуют развитию внимания, памяти. При применении этих методов встречаются новые понятия: «матрица», «определитель», «минор», «дополнение». Возникает необходимость уметь вычислять определители, миноры, дополнения.

При решении систем линейных уравнений методом Гаусса также нужно уметь выполнять преобразования над строками матриц.

Что же такое матрица, какие действия с ними можно выполнять?

Изучение нового материала.

Определение матрицы.

Совокупность чисел, расположенных в виде прямоугольной таблицы, состоящей из  строк и  столбцов, называют матрицей порядка  (  на  ) и обозначают символом  . В общем виде матрица выглядит так

 .

Числа  называют элементами матрицы. Каждый элемент имеет два индекса: первый показывает номер строки, в которой стоит этот элемент, а второй – номер столбца. Размерность матрицы указывать не обязательно. При  матрицу называют матрицей-строкой, а при  - матрицей-столбцом.

Матрицу, все элементы которой, равны нулю, называют нулевой матрицей и обычно обозначают .

Таким образом,  .

Если число строк матрицы совпадает с числом ее столбцов, т.е. , то матрицу называют квадратной  порядка и обозначают символом . В квадратной матрице  элементы с одинаковыми индексами  называют элементами главной диагонали, а элементы, сумма индексов которых равна   , элементами побочной диагонали. Во множестве квадратных матриц особую роль играет матрица

 .

Ее называют единичной матрицей. Все элементы ее главной диагонали равны единице, а все остальные элементы – нули.

Квадратную матрицу называют треугольной, если все ее элементы, стоящие ниже или выше элементов главной диагонали, равны нулю. Например, матрицы  и  треугольные, причем матрицу  называют верхнетреугольной, а матрицу  – нижнетреугольной.

Определение. Две матрицы одинакового порядка  и  называют

равными и пишут  = , если все элементы с одинаковыми

индексами обеих матриц совпадают.

Матрицей размером тп называется прямоугольная таблица, составленная из тп чисел и имеющая т строк и п столбцов. Числа _ij, составляющие матрицу, называютсяэлементами матрицы. Каждый элемент матрицы снабжен двумя индексами: первый индекс указывает номер строки, второй – номер столбца, в котором расположен этот элемент.

Для изображения матрицы употребляют круглые скобки и часто обозначают ее одной буквой, например,

А=(_ij)= (1)

Первый индекс i (i = 1, 2, …m) обозначает номер строки, второй j(j = 1, 2, …n) – столбец матрицы. Матрицу принято обозначать заглавными буквами, напримерА, В, С и т.д.

Горизонтальный ряд чисел называетсястрокой, а вертикальный –столбцом.

Определение. Если т = п, то матрица называется квадратной матрицей порядка n. Число ее строк или столбцов называетсяпорядком матрицы.

Определение. Если же m  n, то матрица называется прямоугольной матрицей.

Определение. Две матрицы считаютсяравными, если они имеют одинаковые размеры и их соответствующие элементы равны. Пусть А = (_ij) размером т п, В = (_ij)размером pq.A = B, если m = p, n = q и _ij = _ijдляi = 1, 2, …,m, j = 1, 2, …, n.

Определение. Последовательность элементов квадратной матрицы с одинаковыми индексами (i = j)называется главной диагональю матрицы (_11,_22, _33,…,_nn)/

Определение. Если в квадратной матрице все недиагональные элементы равны нулю (_ij= 0, при i = j), то матрица называется диагональной.

А =

Определение. Квадратная диагональная матрица, у которой элементы главной диагонали равны единице, называетсяединичной матрицей Е.

А =

Определение. Матрица, все элементы которой равны нулю, называетсянуль-матрицей.

Определение. Матрица, состоящая только из одной строки, называетсяматрицей-строкой.

Определение. Матрица, состоящая только из одного столбца, называетсяматрицей-столбцом.

Определение. Матрицу А^t называют транспонированнойпо отношению к матрице А ,если она получена из матрицы А заменой строк этой матрицы её столбцами, и, наоборот, столбцов строками.

Например, пусть А - матрица размеровт п:

транспонированная ей матрица:

Можно сказать, что транспонированная матрица получается переворачиванием матрицы вокруг главной диагонали.

Переход от матрицы А к матрице А^t называют операцией транспонирования.

Перечислим свойства операции транспонирования:

(A^t)^t = A,

(A + B)^t = A^t + B^t,

(A)^t = A^t,

(AB)^t = B^tA^t.

2. Операции над матрицами.

Определение. Суммой двух матрицА = (_ij) и В = (_ij) одинаковых размеров т п называется матрица С того же размера, элементы которых равны сумме соответствующих элементов матриц А и В. С=А + В = (_ij + _ij) дляi = 1, 2, …, m,j = 1, 2, …, n. Ясно, что сложение матриц сводится к сложению всех пар соответствующих элементов. Для матриц разных размеров сумма не определена.

Сложение матриц подчиняется законам:

А + В = В + А (переместительный закон)

(А + В) + С = А + (В + С) (сочетательный закон)

А + О = О + А = А.

Для любой матрицы А размеров т п существует матрица В тех же размеров такая, что А + В = В + А = О. При этом если А = (_ij) и В = (_ij), то _ij = - _ij. Матрица В называется матрицей,противоположной матрице А и обозначается – А.

Определение. Произведением матрицы А = (_ij) размером т п на число  называется матрица (_ij) тех же размеров, которая обозначаетсяА.

Свойства умножения матрицы на число:

1. (А) = ()А.

( + )А = А + А.

(А + В) = А + В.

1А = А.

Разность двух матриц А иВодинаковых размеров определяется равенствами:

А – В = А + (- В) = А + (-1)В.

Определение. Произведением матрицы А = (_ij) размеров т п на матрицу В = (_ij) размеров nk называется матрица С = (с_ij) размеров mk, каждый элемент с_ij которой вычисляется по формуле

с_ij = _i1_1j + _i2_2j + … + _in_nj, i = 1,2,…,m; j = 1,2,…,n. (2)

Другими словами, элемент с_ij равняется сумме произведений элементов строки с номером i матрицы А на соответствующие элементы столбца с номером j матрицы В. Произведение матрицы А на матрицу В обозначается АВ.

Замечание: Операция умножения двух матриц выполнима лишь в том случае, когда число столбцов первой матрицы – сомножителя А должно равняться числу строк второй матрицы сомножителяВ. Если это условие не выполнено, произведение не существует.

Для запоминания формулы (2) пользуются мнемоническим правилом: «умножениеi-той строки матрицы А наj-тый столбец матрицы В».

Приведем примеры умножения матриц.

Вычислить произведение АВ, где

Число столбцов в первой матрице совпадает с числом строк во второй матрице, поэтому произведение АВ существует. ПоложимС = АВ. В матрице С столько же строк, сколько в матрице А, и столько же столбцов, сколько в матрицеВ, т.е. матрица С размеров 23. Пусть С = (с_ij), тогда по формуле (2) получаем

с₁₁ = 2(-1) + 32 = 4, с₁₂ = 22 + 31 = 7, с₁₃ = 20 + 3(-1) = - 3,

с₂₁ =(-1)(-1) + 42 = 9, с₂₂ =(-1)2 + 41 = 2,с₂₃ = (-1)0 + 4(-1) =-4.

Записав эти числа в матрицу, получим

Заметим, что произведение ВА не существует, поскольку число столбцов в матрице В не равно числу строк в матрице А.

2.

3.

4.

5.

Определители и их свойства.

Рассмотрим квадратную матрицу второго порядка  .Определителем этой матрицы называют число, обозначаемое  , или  , или  , полученное из элементов матрицы  по следующему правилу:   . Например, если  , то   .

Рассмотрим теперь квадратную матрицу третьего порядка  . Определителем этой матрицы назовем число  .

 =  , или

 (1)

Равенство (1) называют разложением определителя по элементам первой строки.

Выражения  ;  и  называют алгебраическими дополнениями элементов  ,  и соответственно. Таким образом, разложение определителя третьего порядка по элементам первой строки может быть записано в виде:  .

Нетрудно заметить, что аналогичным образом определитель третьего порядка может быть разложен по элементам второй и третьей строк, а также по элементам первого, второго или третьего столбца.

Закрепление нового материала.

Пример 1: Найти сумму матриц: А = и В = .

Решение: С = А + В С =

Чтобы вычесть из матрицы А матрицу В, надо к матрице А прибавить матрицу, противоположную матрице В.

А – В = А + (-В)

Пример 2: Найти разность матриц А – В: А = и В = .

Решение: С = А – В -В = С =

Пример 3: Дана матрица А =. Найти матрицу С = 2А.

Решение: С = 2А =

Пример 4: Даны матрицы: А = и В = .

Найти произведение матриц А и В.

Решение: С = АВ С = С =

Задания для решения:

 1.Вычислить произведение матриц:

 .

Решение. Первая матрица имеет размеры 2´3, а вторая размеры 3´3, поэтому произведение существует. В результате умножения получится матрица С = (c_ij) размеров 2´3. Вычислим ее элементы.

 с₁₁ = (-2)×3 + 3×1 + 1×4 = 1, с₁₂ = (-2)×(-1) + 3×1 + 1×6 = 11,

с₁₃ = (-2)×2+3×0+1×8 = 4, с₂₁ = 0×3 + 5×1 + 6×4 = 29,

с₂₂ = 0×(-1) + 5×1 + 6×6 = 41, с₂₃ = 0×2+5×0+6×8 = 48.

Ответ:  .

 2.Вычислить произведение матриц:

  .

Решение. Первая матрица имеет размеры 3´3, а вторая размеры 2´3. Число столбцов в первой матрице (3) не совпадает с числом строк во второй матрице (2), поэтому произведение не существует,

Ответ: произведение не существует.

 3.Вычислить произведение матриц:

 .

Ответ:  .

 4.Вычислить произведение матриц:

 .

5.Вычислить произведение матриц:

  .

6.Вычислить произведение матриц:

 .

7.Вычислить произведение матриц:

 .

9.Вычислить степень матрицы:

 .

10. Вычислить степень матрицы:

 .

Итоги занятия.

Вопросы и задания для самооценки:
ЧТО НАЗЫВАЕТСЯ: 
- матрицей, квадратной, единичной, диагональной, транспонированной матрицей;
- обратной матрицей, рангом матрицы, базисным минором;
- определителем, минором, алгебраическим дополнением;
ПЕРЕЧИСЛИТЬ СВОЙСТВА: 
- суммы матриц, произведения матрицы на скаляр, произведения матриц;
- определителей.
ЗАПИСАТЬ ФОРМУЛЫ:
- для вычисления определителей второго и n-го порядка, для нахождения обратной матрицы.
СФОРМУЛИРОВАТЬ 
- существования и единственности обратной матрицы; теорему о базисном миноре.
Домашнее задание. Учить определения, составить опорную схему конспекта. Выполнить упражнения:

1.Найти , если .

2.Даны матрицы .

Найти: а) б)