Тема урока : «Числовые последовательности»
Ход уроков
Сообщение темы и цели уроков
Основные цели:
формирование представления о числовой последовательности как функции с натуральным аргументом;
формирование знаний о способах задания числовых последовательностей, умений находить члены последовательности по предложенной формуле, а также умений находить саму формулу, задающую последовательность;
II. Изучение нового материала
Определение числовой последовательности: Множество чисел, для каждого из которых известен его порядковый номер, называют последовательностью.
а) В последовательности положительных нечетных чисел 1, 3, 5, 7, ... известно, что первое число равно 1, второе число равно 3, третье число равно 5 и т. д.
б). Числа, образующие последовательность, называют членами последовательности.
Члены последовательности обычно обозначают буквами с индексами, указывающими порядковый номер члена: у1, у2, у3, ..., уn, ... . Соответственно, член последовательности с номером n (или n-й член последовательности) обозначают уn, а саму последовательность - (уn).
Например:
Рассмотрим последовательность натуральных трехзначных чисел: 100; 101; 102; ...; 999. В ней у1 = 100, у2 = 101, у3 = 102, ..., у900 = 999. Член этой последовательности с номером n (n-й член последовательности) можно вычислить по формуле уn = 99 + n, где n = 1, 2, 3, ..., 900.
Пример 1
а) Пусть последовательность задана формулой уn = 3n - 2. Подставляя вместо п натуральные числа по порядку , находим члены последовательности: и т. д. Имеем последовательность 1, 4, 7,....
Пример 2
а) Пусть последовательность задана формулой где y1 = 5 и n ≥ 1.
Запишем рекуррентную формулу для n = 1: ; тогда у2 = 2 ∙ 5 + 3 = 13.
Пишем формулу для n = 2: , тогда у3 = 2 ∙ 13 + 3 = 29.
Запишем формулу для n = 3: или у4 = 2 ∙ 29 + 3 = 61 и т. д.
Имеем последовательность 5, 13, 29, 61, ... .
Эту последовательность получили, используя рекуррентную формулу, когда чтобы найти каждый член последовательности , возвращались к первоначальной формуле.
Монотонные последовательности
Последовательность называется возрастающей, если каждый следующий член больше предыдущего.
Последовательность называется убывающей, если каждый следующий член меньше предыдущего.
Пример. 1,3,5,7,9…. – возрастающая последовательность.
Пример. 1,-1,-3,-5… – убывающая последовательность.
Пример. 1,-1,3,-3,5,-5… – ни возрастающая, ни убывающая последовательность.
Решение заданий на свойства последовательности:
1). Последовательность задана в аналитической форме yn=n2+2
Найти 5,10,13 член последовательности.
2).Последовательность задана в рекурсивном виде yn=yn−1−3, где у1= 5 , если n=2,3,4…Найти 5,11,12 член последовательности.
Последовательности бывают конечными и бесконечными. Если последовательность содержит конечное число членов и называется конечной :10; 11; 12; 13; …; 97; 98; 99.
Последовательность, которая содержат бесконечно много членов и называют бесконечной: 2; 4; 6; 8; …
III. Закрепление.
1. Найдите четыре первых члена последовательности (an), если: ( записать на доске, работа в парах)
2. Докажите ограниченность последовательности (аn):
3. Определите монотонность последовательности (аn): ( возрастает или убывает)
(Ответы: а, д, ж) возрастающая; в, е) убывающая; б, г, з) немонотонная.)
IV. Рефлексия
Дайте определение последовательности.
Основные способы задания последовательности.
Ограниченность последовательности.
Монотонность последовательности.
V. Задание на дом
