Функции и их графики

АВТОНОМНАЯ НЕКОММЕРЧЕСКАЯ ПРОФЕССИОНАЛЬНАЯ

ОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ

«КУБАНСКИЙ ИНСТИТУТ ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ»

ИНДИВИДУАЛЬНЫЙ ПРОЕКТ

по дисциплине «Математика»

на тему «Функции и их графики»

Выполнил студент группы 20-пд1-9

Специальность Правоохранительная деятельность

Сафонцева Варвара Александровна

Руководитель:

Ширяева Е.А,

преподаватель математики Подпись______________

Краснодар, 2021

Содержание

Введение …………………………………………………………………………..3

Функция и её свойства …………………………………………………….5

Графики и основные свойства элементарных функций …………….…..6

Функции в окружающем мире …………………………………………..10

Заключение ………………………………………………………………………14

Список использованной литературы …………………………………………..16

Введение

Функция - одно из основных математических и общенаучных понятий. Оно сыграло и поныне играет большую роль в познании реального мира.

Идея функциональной зависимости восходит к древности. Ее содержание обнаруживается уже в первых математически выраженных соотношениях между величинами, в первых правилах действий над числами. В первых формулах для нахождения площади и объема тех или иных фигур. Так, вавилонские ученые (4-5тыс.лет назад) пусть несознательно, установили, что площадь круга является функцией от его радиуса посредством нахождения грубо приближенной формулы: S=3r². Примерами табличного задания функции могут служить астрономические таблицы вавилонян, древних греков и индийцев, а примерами словесного задания функции - теорема о постоянстве отношения площадей круга и квадрата на его диаметре или античные определения конических сечений, причем сами эти кривые выступали в качестве геометрических образов соответствующей зависимости [2].

Актуальность темы исследования: Функции стали неотъемлемой частью нашей жизни: ни одно явление, ни один процесс в окружающем мире не могут быть изучены без математического описания. Реальные процессы обычно связаны с большим количеством переменных и зависимостей между ними. Описать их можно с помощью функций и их свойств, позволяющий понять суть происходящих процессов, предсказать ход их развития, управлять ими.

Цель исследования: Рассмотреть примеры применения математических функций и их графиков в окружающей нас жизни.

Задачи:

Изучить литературу об истории происхождения функций;

Дать определения функции;

Изучить графики функций;

Найти примеры применения математических понятий и функций в окружающей нас жизни;

Выяснить, как часто в практической деятельности и природе человек может использовать функции и их свойства.

Гипотеза: Функции – неотъемлемая часть нашей жизни. Они окружают нас повсюду.

Практическая значимость проекта: Работа позволяет развивать интерес к математике, формирует представление о взаимосвязи математики с объектами реального мира, убеждает в необходимости применять полученные знания на практике и поможет желающим расширить свои знания о функциях и их приложениях.

Функция и её свойства

Ключевые понятия исследования – функции, они содержатся уже в первых математически выраженных соотношениях между величинами, в первых правилах действий над числами, в первых формулах для нахождения площади и объема тех или иных фигур.

Начиная с XVII в. одним из важнейших понятий является понятие функции, в связи с проникновением в математику идеи переменных. В «Геометрии» Декарта и в работах Ферма, Ньютона и Лейбница понятие функции носило по существу интуитивный характер и было связано либо с геометрическими, либо с механическими представлениями. Четкое представление понятия функции проложил Декарт, который систематически рассматривал в своей «Геометрии» лишь те кривые, которые можно точно представить с помощью уравнений, притом преимущественно алгебраических [1].

Слово «функция» (от латинского functio совершение, выполнение) Лейбниц употреблял с 1673 г. в смысле роли (величина, выполняющая ту или иную функцию). Как термин, в нашем смысле выражение «функция от х» стало употребляться в 1718 г. одним из учеников и сотрудников Лейбница, выдающимся швейцарским математиком Иоганном Бернулли: «Функцией переменной величины называют количество, образованное каким угодно способом из этой переменной величины и постоянных» [3].

Функция - зависимость переменной у от переменной x, если каждому значению х соответствует единственное значение у.

Переменная х - независимая переменная или аргумент.

Переменная у- зависимая переменная

Значение функции- значение у, соответствующее заданному значению х.

Область определения функции - все значения, которые принимает независимая переменная.

Область значений функции (множество значений) - все значения, которые принимает функция.

Функция является четной - если для любого х из области определения функции выполняется равенство f(x) = f(-x).

Функция является нечетной - если для любого х из области определения функции выполняется равенство f(-x) = -f(x).

Возрастающая функция - если для любых х₁ и х₂, таких, что х₁< х₂, выполняется неравенство f(х₁) < f(х₂).

Убывающая функция - если для любых х₁ и х₂, таких, что х₁< х₂, выполняется неравенство f(х₁) > f(х₂).

Чтобы задать функцию, нужно указать способ, с помощью которого для каждого значения аргумента можно найти соответствующее значение функции [4]. Наиболее употребительным является способ задания функции с помощью формулы у=f(x), где f(x) - с переменной х. В таком случае говорят, что функция задана формулой или что функция задана аналитически.

На практике часто используется табличный способ задания функции. При этом способе приводится таблица, указывающая значения функции для имеющихся в таблице значений аргумента. Примерами табличного задания функции являются таблица квадратов, таблица кубов.

Графики и основные свойства элементарных функций

График линейной функции

Линейная функция задается уравнением . График линейной функций представляет собой прямую. Для того, чтобы построить прямую достаточно знать две точки [2].

Пример 1

Построить график функции . Найдем две точки. В качестве одной из точек выгодно выбрать ноль.

Если , то 

Берем еще какую-нибудь точку, например, 1.

Если , то 

При оформлении заданий координаты точек обычно сводятся в таблицу:

 
А сами значения рассчитываются устно или на черновике, калькуляторе.

Две точки найдены, выполним чертеж:

При оформлении чертежа необходимо подписывать графики. Также рассмотрим частные случаи линейной функции:

Подписи не должны допускать разночтений при изучении чертежа. В данном случае крайне нежелательно было поставить подпись рядом с точкой пересечения прямых  ,  или справа внизу между графиками.

Линейная функция вида  () называется прямой пропорциональностью. Например, . График прямой пропорциональности всегда проходит через начало координат. Таким образом, построение прямой упрощается – достаточно найти всего одну точку.

Уравнение вида  задает прямую, параллельную оси , в частности, сама ось  задается уравнением . График функции строится сразу, без нахождения всяких точек. То есть, запись  следует понимать так: «игрек всегда равен –4, при любом значении икс».

Уравнение вида  задает прямую, параллельную оси , в частности, сама ось  задается уравнением . График функции также строится сразу. Запись  следует понимать так: «икс всегда, при любом значении игрек, равен 1».

График квадратичной функции (Парабола)

График параболы задается квадратичной функцией [3]:

Квадратичная функция, как и любая другая функция, пересекает ось ОХ в точках являющихся её корнями: (x₁; 0) и (x₂; 0). Если корней нет, значит квадратичная функция ось ОХ не пересекает, если корень один, значит в этой точке (x₀; 0) квадратичная функция только касается оси ОХ, но не пересекает её. Квадратичная функция всегда пересекает ось OY в точке с координатами: (0; c). График квадратичной функции (парабола) может выглядеть следующим образом (на рисунке примеры, которые далеко не исчерпывают все возможные виды парабол):

При этом:

если коэффициент a > 0, в функции y = ax² + bx + c, то ветви параболы направлены вверх;

если же a < 0, то ветви параболы направлены вниз.

Координаты вершины параболы могут быть вычислены по следующим формулам. Икс вершины (p - на рисунках выше) параболы (или точка в которой квадратный трехчлен достигает своего наибольшего или наименьшего значения):

Игрек вершины (q - на рисунках выше) параболы или максимальное, если ветви параболы направлены вниз (a < 0), либо минимальное, если ветви параболы направлены вверх (a > 0), значение квадратного трехчлена:

Функции в окружающем мире

Понятие «Функция» сыграла и поныне играет большую роль в познании реального мира.

Как известно, наиболее распространен аналитический способ задания функции, при котором функция задается формулой, устанавливающей, какие вычислительные операции надо произвести над х, чтобы найти у.

1) Квадратичная функция.

Квадратичная функция является наиболее хорошо изученной функцией, она довольно часто встречается на практике. Графиком квадратичной функции является парабола. Хорошо известно, что траектория камня, брошенного под углом к горизонту, летящего футбольного мяча, струи воды, выпущенной из шланга, парашютиста, выпрыгнувшего из горизонтально летящего самолета, артиллерийского снаряда, будет параболой (при отсутствии сопротивления воздуха) [7].

Замечательное свойство параболы широко используется в науке и технике, например, параболическая арка; свод моста.

Известно также, что многие законы природы выражаются в виде квадратичной зависимости.

Свойство параболических зеркал используют при конструировании солнечных печей, солнечных электростанций, отражательных телескопов - рефлекторов. Радуга – природная парабола. Наша галактика – вогнутая парабола.

.Линейная функция

В повседневной жизни мы часто встречаемся с разными зависимостями (функциями). Например, благодаря функции мы можем вычислить сколько раз в месяц нужно посещать парикмахерскую.

Если молодой человек хочет, чтобы у него длина волос была не длиннее 7 см, но и не короче 4 см, зная, что скорость роста волос 1,5 см в месяц, мы можем использовать график и увидеть с какой периодичностью он должен ходить в парикмахерскую.

Также метеорологическая служба фиксирует изменения температуры, строя с помощью термографа график температуры. Используя показания сейсмографов (приборов, непрерывно фиксирующих колебания почвы и строящих специальные графики – сейсмограммы), геологи могут предсказать приближение землетрясение или цунами.

Врачи выявляют болезни сердца с помощью кардиографа, их называют кардиограммами.

Свойства функции в пословицах и поговорках.

Функции – это математические портреты устойчивых закономерностей, познаваемых человеком. Чтобы проиллюстрировать характерные свойства функций обратимся к пословицам и поговоркам. Ведь пословицы – это тоже отражение устойчивых закономерностей, выверенное многовековым опытом народа.

«Чем дальше в лес, тем больше дров». График представит количество дров как функцию пути [6].

«Каши маслом не испортишь». Качество каши можно рассматривать как функцию количества масла в ней. Согласно пословице эта функция не уменьшится с добавкой масла. Она, возможно, увеличится, но может оставаться и па прежнем уровне [5].

Функции в экономике

Широко применяются графики в экономике, в частности, кривая спроса и предложения, линия производственных возможностей.

В течение последних нескольких месяцев страны мира находятся в состоянии финансово - экономического кризиса, начавшегося в США. Пришел кризис и в Россию. Нас заинтересовало, какие функциональные зависимости в экономике подверглись изменениям в связи с этим, и каким образом. Изучением этих вопросов занимается математическая экономика - наука, предметом которой являются математические модели экономических объектов и процессов.

Экономический рост в России в начале 2000-х годов в большей степени определялся высокими ценами на энергоресурсы: нефть и газ. И когда цены на нефть упали, денежный поток, который шел в Россию, сократился. Как следствие этого сократился спрос внутри страны на продукцию, что в свою очередь привело к сокращению производства. Финансовый кризис перешел в промышленный [8].

Современная математика знает множество функций, и у каждой свой неповторимый облик, как неповторим облик каждого из миллиардов людей, живущих на Земле.

Облик каждой функции можно представить сложенным из набора характерных деталей. В них проявляются основные свойства функций.

Наблюдая различные процессы и явления, мы стараемся разглядеть самые существенные их черты, самые глубокие закономерности. Часто они оказываются общими для широчайшего круга наблюдаемых событий. Общей оказывается и математическая модель, построенная на основе этих закономерностей.

.

Заключение

Понятие функции является одним из основных понятии математики вообще. Оно не возникло сразу в таком виде, как мы им пользуемся сейчас, а как и другие фундаментальные понятия прошло длинный путь исторического развития. Идея функциональной зависимости восходит к древнегреческой математике.

Впервые термин «функция» вводит в рассмотрение знаменитый немецкий математик и философ Лейбниц в 1694 г. Однако, этот термин (определения он не дал вообще) он употребляет в узком смысле, понимая под функцией изменение ординаты кривой в зависимости от изменения ее абсциссы. Таким образом, понятие функции носит у него «геометрический характер».

Ученик Лейбница Иоганн Бернулли пошел дальше своего учителя. Он дает более общее определение функции, освобождая последнее от геометрических представлений и терминов: «функцией переменной величины называется количество, образованное каким угодно способом из этой величины и постоянных».

Выводы:

1. Математические функции являются одним из основных понятий в различных областях науки и техники.

2. Математическое понятие функции широко используется в описании и изучении процессов и явлений реального мира.

3. Широкое развитие физики, химии, биологии, авиации, сотовой связи и вообще техники было бы невозможным без понятия функции.

4. Функциональные зависимости присутствуют во всех сферах жизни человека.

Цель работы достигнута и выдвинутая гипотеза о том, что функции – неотъемлемая часть нашей жизни, они окружают нас повсюду - нашла свое подтверждение.

Графики и функции широко распространены в нашей жизни, так как они содержательные, наглядные и удобные для передачи и восприятия информации, дальнейшей обработки информации.

Список использованной литературы:

Блох А. «Законы Мерфи»/ пер. с англ. Е.Г.Гендель, Минск, «Попурри», 2009.

Вся физика. Справочник школьника, 7 – 11 класс, Владимир, «Астрель», 2008

Макарычев Ю.Н. «Алгебра 7 класс». – 6-е изд. – М.: Издательство «Просвещение», 2008

Мордкович А.Г. «Алгебра 7 класс». – 11-е изд. – М.: Издательство «Мнемозина», 2008.

Пословицы, поговорки, потешки, скороговорки. Пособие для родителей и педагогов/сост. Тарабарина Т.И., Елкина Н.В., Ярославль, «Академия развития», 2004

Ушакова О.Д. «Пословицы, поговорки и крылатые выражения», С-Петербург, «Литера», 2006

[Электронный ресурс]. Режим доступа: http://www.hintfox.com/article/fynktsii-v-zhizni-cheloveka.html

[Электронный ресурс]. Режим доступа: http://www.MathUs.ru