Сложный процент

АВТОНОМНАЯ НЕКОММЕРЧЕСКАЯ ПРОФЕССИОНАЛЬНАЯ

ОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ

«КУБАНСКИЙ ИНСТИТУТ ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ»

ИНДИВИДУАЛЬНЫЙ ПРОЕКТ

по дисциплине «Математика»

на тему «Сложный процент»

Выполнила студентка группы: 20-ПД1-9

Специальность: правоохранительная деятельность

Бондаренко Юлия Александровна

Руководитель:

Ширяева Елена Александровна

учитель математикиПодпись______________

Краснодар, 2021

Содержание

Введение ……………………………………………………………………….….3

Что такое процент и правила нахождения процента от числа …..….…..5

Сложный процент …………………………………………………..….…..7

Заключение …………………………………………………………………..…..13

Список использованной литературы …………………………………………..14

Введение

Понимание процентов и умение производить процентные расчеты в настоящее время необходимы каждому человеку: прикладное значение этой темы очень велико и затрагивает финансовую, демографическую, экологическую, социологическую и другие стороны нашей жизни.

Сведения о простых и сложных процентах, которые сами по себе имеют большую практическую значимость, являются достаточно благоприятным материалом для применения знаний, полученных на уроках математики.

Сложный процент - это явление в мире финансов, при котором прибыль формируется за счет того, что полученные проценты прибавляются (реинвестируются) к основной сумме и участвуют в дальнейшей формировании прибыли [3]. Проще говоря, это начисление «процента на процент». При использовании сложного процента конечный инвестиционный доход увеличится. Эффект сложного процента присущ денежному рынку, наиболее часто применяется в банковской сфере (депозиты), но также проявляется и на рынке ценных бумаг. В банковском деле сложные проценты называют капитализацией.

Актуальность темы исследования обусловлена тем, что использование сложного процента позволяет получить большую доходность от вложенной суммы денег за тот же период времени.

Цель исследования: ознакомление с формулами сложных процентов и формирование навыков применения формул при решении задач.

Задачи:

Изучить литературу по данной теме;

Определить значение термина «сложный процент»;

Провести примеры применения сложного процента в практической деятельности;

Обучить решению задач на проценты с помощью формул сложных процентов.

Гипотеза: Сложный процент широко применяется в повседневной жизни.

Практическая значимость исследования: Предлагаемый материал демонстрируют применение математического аппарата к решению повседневных бытовых проблем каждого человека, вопросов рыночной экономики и задач технологии производства

Что такое процент и правила нахождения процента от числа

Одним из базовых понятий математики является процент [1]. Для того чтобы понять, что такое процент, достаточно разделить заданную целую величину на сто. Одна сотая часть будет одним процентом (обозначается 1%). Как в точных и экономических науках, так и в других сферах жизни проценты используются для обозначения долей по отношению к целому. При этом само целое обозначается как 100%. В некоторых случаях используется при сравнении двух величин: например, иногда стоимость товаров не сравнивается в денежных единицах, а оценивается, на сколько % цена одного товара больше или меньше цены другого. Термин также получил широкое распространение в банковском деле и в большинстве случаев используется в качестве синонима словосочетания «процентная ставка».

Вычисление процентных долей от целого – одна из основных математических операций, к тому же часто используемая в повседневной жизни. Правило нахождения процентов от числа гласит о том, что для решения такой задачи его необходимо умножить на указанное в условиях количество %, после чего полученный результат разделить на 100. Также можно разделить число на 100, и полученный результат умножить на заданное количество %. Важно помнить ещё один тезис: если заданный условиями процент превышает 100%, то полученное числовое значение всегда больше исходного (заданного) – и наоборот [4].

Существует обратное правило нахождения числа по его проценту. Для того чтобы получить результат по такой математической операции необходимо указанное в условиях число разделить на заданную процентную величину, после чего полученный результат умножить на 100. При этом первым действием вычисляется количество единиц исходной величины в 1%, а вторым – в целом (то есть в 100%). Если количество % превышает 100, то полученный результат всегда будет меньше числового значения, заданного условиями задачи – и наоборот [2].

Третьим базовым типом математических задач на процентные вычисления являются такие задания, в которых необходимо использовать правило нахождения процентного выражения числа от другого (или соотношения двух величин) [3]. Оно гласит о том, что для решения необходимо второе число разделить на первое, после чего полученный результат умножить на 100. Подобное соотношение показывает, сколько % одно числовое значение составляет от другого (то есть, фактически речь идёт об отношении между двумя числовыми значениями, выраженном в %).

Сложный процент

Сложный процент - это процент, получаемый в результате периодического прибавления простого процента к основной сумме, которая соответственно возрастает и служит базой для калькуляции последующего процента [6]. Областью применения сложного процента является финансовая деятельность.

На практике применяются два подхода к оценке процентного дохода – простые и сложные проценты.

Сложный процент позволяет зарабатывать на получении процента не только от начальной суммы, но также от процентных накоплений, начисленных ранее. Таким образом, в конце каждого нового периода процент начисляется на весь капитал - первоначальные вложения плюс накопленный процентный доход [7].

Первоначальная сумма и полученные проценты в совокупности называются накопленной (наращенной) суммой.

Так, если банковская ставка равна 10%, а первоначальная сумма 100 руб., то накопленная сумма за пять лет при применении простых и сложных процентов будет иметь вид (Табл. 1):

Таблица 1 - Накопленная сумма с использованием простых и сложных процентов.

Формулы простых и сложных процентов:

Пусть некоторая величина A увеличивается n раз (n год) и каждый раз на р%.

Вводим обозначения: A₀ – первоначальное значение величины A;

р – постоянное количество процентов;

a процентная ставка; a=р/100 = 0,01*р

A_n – накопленная сумма за n раз (к концу n-го года) - по формуле простых процентов;

S_n - накопленная сумма за n раз (к концу n-го года) - по формуле сложных процентов.

Тогда ее значение A₁ для простых процентов после первого увеличения (к концу первого года) вычисляется по формуле [8]:

A₁ = A₀ + A₀ * (0,01р) = A₀ (1 + (0,01р) = A₀ (1 + p)

Вконцевторогоэтапа A₂= A₁ + A₀ * (0,01р) = A₀ (1 + a) + A₀ * a = A₀ (1 + 2a).

Вконцетретьегоэтапа A₃= A₂ + A_{0 *} (0,01р) = A₀ (1 + 2a) + A₀ * a = A₀ (1 + 3a).

Тогда для простых процентов сумма по годам равна:

A_n = A₀ (1 + 0.01р*n) или A_n = A₀ (1 + ?* n) (1)

Для сложных процентов это выглядит иначе:

Пусть некоторая величина S₀ увеличивается n раз (n год) и каждый раз на р%.

Тогда ее значение S₁ для сложных процентов после первого увеличения (к концу первого года) вычисляется по формуле:

S₁ = S₀ + S₀ (0,01р) = S₀ * (1 + 0,01р) = S₀ * (1 + ?).

Вконцевторогоэтапа S₂= S₁ + S₁ (0,01р) = S₁ * (1 + 0,01р) = S₀ (1 + ????р)² = S₀ (1 + ?)².

Вконцетретьегоэтапа S₃= S₂ + S₂ (0,01р) = S₂ * (1 +0,01р) = S₀(1 +0,01р)²*(1 +0,01р)=S₀(1 +0,01р)³ = S₀ (1 + a)³.

Тогда для сложных процентов сумма по годам равна:

S_n = S₀ (1 + 0,01р)ⁿ или S_n = S₀ (1 + a)ⁿ (2)

Пример 1

В банке открыт срочный депозит на сумму 50 тыс. руб. по 12% на 3 года. Рассчитать накопленную сумму если проценты:

а) простые; б) сложные.

Решение 1

По формуле простых процентов

Sn=(1+3*0.12)*50 000 = 68000 руб. (отв. 68000 руб.)

По формуле простых процентов

Sn=(1+0.12)³*50 000 = 70246 руб. (отв. 70246 руб.)

Формула сложных процентов связывает четыре величины: начальный вклад, накопленную сумму (будущую стоимость вклада), годовую процентную ставку и время в годах. Поэтому, зная три величины, всегда можно найти четвертую:

S_n = S₀ * (1+0,01р)ⁿ

Для определения количество процентов р необходимо:

р = 100 * ((S_n / S₀ )^1/n – 1) (3)

Операция нахождения первоначального вклада S₀, если известно, что через n лет он должен составить сумму S_n, называется дисконтированием:

S_{0 =} S_n * (1 + 0,01р) ^–n (4)

Сколько лет вклад S₀ должен пролежать в банке под р % годовых, чтобы достигнуть величины S_n.

n = (lnS_n – lnS₀) / (ln(1 + 0,01р) (5)

В банковской практике проценты могут начисляться чаще чем 1 раз в год. При этом банковская ставка обычно устанавливается в пересчете на год. Формула сложных процентов будет иметь вид:

S_n = (1 + ?/t )^n•t S₀ (6)

где t – число реинвестиций процентов в году.

Пример 2

В банке открыт срочный депозит на сумму 50 тыс. руб. по 12% на 3 года. Рассчитать начисленную сумму если проценты начисляются ежеквартально.

Решение 2

n = 3

t = 4 (в году – 4 квартала)

По формуле сложных процентов

S₃ = (1+0.12/4)^3*4*50000 = 1.03¹²*50000 = 71288 руб. Отв. 71288 руб.

Как следует из примеров 1 и 2, накопленная сумма будет возрастать тем быстрее, чем чаще начисляются проценты.

Приведем обобщение формулы, когда прирост величины S на каждом этапе свой. Пусть S_о, первоначальное значение величины S, в конце первого этапа испытывает изменение на р₁%, в конце второго на р₂%, а в конце третьего этапа на р₃% и т.д. В конце n-го этапа значение величины S определяется формулой

S_n = S₀ (1 + 0,01р₁ )(1 + 0,01р₂ )...(1 + 0,01р_n ) (7)

Пример 3

Торговая база закупила партию товара у изготовителя и поставила ее в магазин по оптовой цене, которая на 30% больше цены изготовителя. Магазин установил розничную цену на товар 20% выше оптовой. При распродаже магазин снизил эту цену на 10%. На сколько рублей больше заплатил покупатель по сравнению с ценой изготовителя, если на распродаже он приобрел товар за 140 руб. 40 коп.

Решение 3

Пусть первоначальная цена составляет S руб., тогда по формуле (4) имеем:

S₀ (1 + 0,01*30)(1 + 0,01*20)***(1 – 0,01*10) = 140,4

S₀*1,3*1,2*0,9 = S₀*1,404 = 140,4

S₀ = 140,4: 1,404 = 100 (руб.)

Находим разность последней и первоначальной цены

140,4 – 100 = 40,4 Отв. 40,4 руб.

Рассмотрим еще несколько примеров решения задач со сложным процентом.

Пример 3  

Владелец автозаправки повысил цену на бензин на 10%. Заметив, что количество клиентов резко сократилось, он понизил цену на 10 %. Как после этого изменилась начальная цена на бензин? (повысилась или понизилась и на сколько % -ов?)

Решение 3

Пусть S₀ – начальная цена, S₂ – конечная цена, х - искомое число процентов изменения, где х = (1 - S₂/S₀ )*100% (*)

Тогда по формуле S_n = S₀ (1 + 0,01р₁ )(1 + 0,01р₂ )***(1 + 0,01р_n ) (4), получим

S₂ = S₀ (1 + 0,01*10 )(1 - 0,01*10) = S₀*1,1*0,9 = 0,99*S_0.

S₂ = 0,99*S_0; 0,99 = 99%, значение S₂ составляет 99% первоначальной стоимости, значит ниже на 100% - 99% = 1%.

Или по формуле получаем: х = (1 – 0,99 )*100% = 1%.

Ответ: понизилась на 1%.

Пример 4

В течении года предприятие дважды увеличивало выпуск продукции на одно и то же число процентов. Найдите это число, если известно, что в начале года предприятие ежемесячно выпускало 600 изделий, а в конце года стал выпускать ежемесячно 726 изделий.

Решение: Пусть S₀ – начальная цена, S₂ – конечная цена, р – постоянное количество процентов.

По формуле получаем: р = 100 * ((726 / 600 )^1/2 – 1) = 10%.

Ответ: 10%

Заключение

Термин «сложный процент» чаще всего встречаются в банковских делах, в финансовых задачах. Банки привлекают средства (вклады) за определенные процентные ставки. В зависимости от процентной ставки вычисляется доход.

Секрет сложного процента заключается в том, что при реинвестировании полученных доходов (присоединении их к основной сумме вложенных денег) происходит увеличении получаемой прибыли в будущем.

Такая разница возникает благодаря тому, что реинвестированные дивиденды приносят в будущем дополнительные дивидендные поступления. При этом срабатывает так называемый эффект «снежного кома»: с каждым годом дивиденды, выплачиваемые с реинвестированных дивидендов, возрастают с ускорением.

Необходимо понимать, что чем чаще компания производит дивидендные выплаты, тем сильнее проявляется данный эффект.

Список использованной литературы:

Гнеденко Б.В. Математика в современном мире. – М.: Просвещение, 2013.

Колмогоров А. Н., Математика. - Математический энциклопедический словарь. – М., 2008.

Курант Р., Роббинс Г. Что такое математика? - М., Просвещение, 2007.

Юшкевич А. П., История математики в средние века, М., 2011.

Гильде В. Зеркальный мир. - М., Мир, 2017.

Гнеденко Б.В. Математика и математическое образование в современном мире. - М., Просвещение, 2015.

https://www.sravni.ru/enciklopediya/info/chto-takoe-procent/

https://bcs-express.ru/novosti-i-analitika/2019656907-v-chem-sila-slozhnogo-protsenta