АВТОНОМНАЯ НЕКОММЕРЧЕСКАЯ ПРОФЕССИОНАЛЬНАЯ
ОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ
«КУБАНСКИЙ ИНСТИТУТ ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ»
ИНДИВИДУАЛЬНЫЙ ПРОЕКТ
по дисциплине «Математика»
на тему «Математика в биологии»
Выполнила студентка 1 курса группы 20-ПД1-9
Специальность: 40.02.02
«Правоохранительная деятельность»
Файзуллаева Диана Умидбековна
Руководитель: преподаватель математики
Ширяева Е. А.
Подпись ____________
Краснодар, 2021 г
Введение
Современная биология широко применяет математические методы. Без их использования невозможным было бы осуществление таких глобальных проектов, как расшифровка генома человека, пространственной структуры сложных биомакромолекул, анализ последовательности ДНК. Благодаря математике стали возможными моделирование разных биологических процессов, планирование мероприятий по предотвращению распространения эпидемий, анализ экологических последствий работы различных промышленных объектов, биотехнологические производства и многое другое.
Актуальность:математика – это наука об отношениях между объектами, о которых известны лишь некоторые свойства, что их описывают. Биология же – наука о живых существах и их взаимодействии со средой обитания. Биология и математика очень разные, однако издавна ученые при решении биологических задач прибегали к математическим методам. На данный момент междисциплинарное направление двух наук - математическая биология – приобретает все большую актуальность. Дисциплину преподают в высших учебных заведениях, а специалисты в этой области становятся все более востребованными. В своей исследовательской работе я бы хотела рассказать основную информацию о данном направлении и на примерах показать, как биология и математика могут быть взаимосвязаны при решении определенных задач.
Цель: рассмотреть применение математики в биологии.
Задачи: изучить историю развития биоматематики, привести примеры применения математических моделей в биологии, описать процесс конкуренции и логистического роста видов с применением математических моделей.
Объект: биоматематика.
Предмет:математические методы в биологии.
Гипотеза: проводя исследовательскую работу, я могу предположить, что в некоторых аспектах биология и математика могут быть тесно связаны, а математические методы активно применяются при решении биологических задач.
Методы исследования: анализ и синтез, исторический, гипотетический.
Новизна: данная исследовательская работа направлена на демонстрацию связи между биологической и математической наукой на конкретных примерах, ознакомление с основной информации о междисциплинарном направлении – биоматематике.
Проблема: в рамках школьной программы, а иногда и в учебных заведениях профессионального образования связь между математикой и биологией освящается недостаточно обширно.
Готовый продукт:презентация
Практическая значимость проекта: результаты исследования и продукт можно использовать во время занятий по математике или биологии.
1. Теоретическая часть
1.1. История биоматематики и ее преподавания в учебных заведениях
На протяжении истории люди пытались познать живую природу. Однако, длительное время получать знания о животных, растениях, микроорганизмах удавалось только эмпирическим путем (с помощью наблюдения, описания, измерения, экспериментов). Количественный анализ природы и понимание ее внутренней механики не представлялись возможными. В конечном итоге, представители естественных наук обратили внимание на многочисленные методы, законы и теории математики, что дало основу для количественного измерения биологических явлений. Взаимодействие математики и биологии происходило на протяжении столетий, а биоматематика или математическая биология как отдельная наука появилась же только в XIX веке. Точного значения слова «биоматематика», все еще нет. Из множества трактовок можно лишь сделать вывод, что она представляет из себя математическую интерпретацию биологических процессов.
Историю её развития можно поделить на 5 этапов:
НачалоI этапа выпадает на IV век до нашей эры и представляет из себя первые попытки ученых использовать знания математики для решения биологических задач. Например, ученый Средневековья Фибоначчи, описывая скорость размножения кроликов, использовал бесконечную числовую последовательность, которую позже назвали его именем. Это была первая математическая модель, отображающая популяционную динамику. В XVIII веке Т. Мальтус предложил модель, согласно которой рост населения изменяется экспоненциально. В XIX Ж. Пуазель, изучая вопросы движения крови по сосудам, математически описал сущность гемодинамического процесса. ДостиженияI этапа, хоть они и были эпизодичными, позволили сформировать впоследствии мысль о возможности взаимодействии двух наук разных направлений, а также заложить фундамент для последующих знаний в данной области.
В ходе начала II этапа появились работы Ч. Пирсона, которые послужили толчком к осознанной математико-биологической интеграции. В 1885 году ученый основал журнал «Биометрика», в котором опубликовал свои работы по математической статистике и ее приложениям к анализу биологических явлений. Впоследствии его идеи развивали А. А. Чупров (математическая статистика), А. А. Марков (теория вероятностей, математический анализ), Р. Фишер (математическая интерпретация теории естественного отбора Ч. Дарвина).
Впервые появляются первые педагогические работы. К примеру, был выпущен сборник статей В. П. Шереметевского «Очерк основных понятий, приемов и метода математики как основа изучения природы». В своих статьях автор рассуждает о роли математики в количественном исследовании явлений. В 1906 году на русский язык перевели книгу Д. Ройтмана «Значение математики, как науки и как общеобразовательного предмета», в которой поднимается вопрос о содержании математической дисциплины. Акцент делается на том, что математика — это так же и средство для изучения явлений природы, что важно учитывать при отборе основных понятий и учений, которые необходимо включить в образовательные программы.
Работы данного этапа представляют собой первые учебники по математике, ориентированные на студентов биологических специальностей.
III этап отличается значительным ростом интереса к науке в период с 30-х по 70-е годы XX века. В это время происходит развитие как в теоретическом, так и в практическом направлении. Ярким представителем теоретического направления является Н. Рашевский. Он впервые предпринял попытку математизации всех биологических принципов. Для популяризации научной дисциплины ученый также основал журнал «Вестник математической биологии» в 1939 году.
Учеными было создано Общество математической биологии. Особое внимание уделяется важным проблемам человечества, решить которые возможно с помощью математико-биологической интеграции.
Зарождение и развитие практического направления связано с работами К. Берталанфи. Полученное им в 1938 году уравнение, описывающее изменение размера рыбы с течением времени и по сей день активно используется в рыбоводстве. Возникновение вычислительного направления биоматематики произошло благодаря работам А. Тьюринга, который впервые использовал компьютер для решения задач биологии.
Продолжает развиваться и педагогическая сфера. Однако в этот период математическая биология все еще представляет собой лишь малосвязанные между собой отдельные теории.
В ходе IV этапа в 1982 году Л. Гинзбургом был введен термин «биоматематика» (до этого использовали понятие «математическая биология»). Ученые фокусируют свое внимание на моделировании сложных биологических систем (долгосрочная память, иммунная система и т. д.). Начинают открываться исследовательские институты. С педагогической точки зрения, однако, данный этап характеризуется сниженным вниманием к методической составляющей.
V этап. В 2003 году произошло крупнейшее научное достижение, определившее направление дальнейшего развития биоматематики — расшифровка полной структуры ДНК. Это событие предоставило математикам широкие возможности для научной деятельности, образовалась нелегкая, но значительная для всего человечества задача: анализ, интерпретация и расшифровка генома человека.
Осознание значимости биоматематики как учебной дисциплины приводит к включению ее в образовательный процесс ведущими университетами мира. Математическая биология входит в учебные программы Оксфордского, Иллинойского, Хельсинского, Калифорнийского, Марии Кюри-Склодовской в Польше, Датского технического и других университетов. В России основы преподавания биоматематики были заложены в Московском государственном университете.
Биологическая наука не стоит на месте, выдвигая математикам все новые задачи. В этой связи подготовка специалистов, способных свободно ориентироваться в пространстве биологических проблем и владеть необходимым для их решения математическим инструментарием, является как никогда актуальной. Несмотря на долгий исторический путь и большой объем накопленной научной информации, биоматематика еще не достигла вершины своего развития. Если же говорить о педагогической составляющей математической биологии, то она значительно уступает в своем развитии самой науке. Несмотря на старания ученых, полноценная педагогическая система до сих пор отсутствует, а потому все еще имеются широкие перспективы по ее построению.
1.2. Применение математики в биологии
Мальтузианская модель роста – есть экспоненциальный рост с постоянным темпом. Модель названа в честь английского демографа и экономиста Томаса Мальтуса. Его перу принадлежит сочинение «Опыт закона о народонаселении» (1798), ставшее одним из первых влиятельных трудов о народонаселении.
Модель выглядит следующим образом:
где– исходная численность населения, r – темп прироста населения («мальтузианский параметр»), t – время.
Иначе модель называют простой экспоненциальной, экспоненциальным законом или мальтузианским законом. Он широко используется в популяционной экологии как первый принцип популяционной динамики. Мальтус писал, что для всех форм жизни, располагающих избытком ресурсов, характерен экспоненциальный рост популяции. Тем не менее, в какой-то момент ресурсов начинает недоставать, и рост замедляется.
Модель роста населения в условиях ограниченности ресурсов построил Пьер Франсуа Ферхюльст, вдохновившийся теорией Мальтуса. Соответствующий математический объект был назван логистической функцией.
Моде́ль Ло́тки — Вольте́рры — модель взаимодействия двух видов типа «хищник — жертва», названная в честь её авторов (Лотка, 1925; Вольтерра 1926), которые предложили модельные уравнения независимо друг от друга.
Такие уравнения можно использовать для моделирования систем «хищник — жертва», «паразит — хозяин», конкуренции и других видов взаимодействия между двумя видами.
В математической форме предложенная система имеет следующий вид:
Гдеx – количество жертв, y – количество хищников, t – время, α, β, γ, δ - коэффициенты, отражающие взаимодействие между видами.
Правило Бергмана заключается в том, что Животные, обитающие в областях с преобладающими низкими температурами, имеют, как правило, более крупные размеры тела по сравнению с обитателями более теплых зон и областей.
Теплопродукция (выделение тепла клетками организма) пропорциональна объему тела. Теплоотдача (потеря тепла, его передача в окружающую среду) пропорциональна площади поверхности тела. С увеличением объема площадь поверхности растет относительно медленно, что позволяет увеличить отношение "теплопродукция / теплоотдача" и таким образом компенсировать потери тепла с поверхности тела в холодном климате.
Математическая модель: представим себе двух животных, имеющих тело в виде правильных кубов со сторонами, а у первого и 2а - у второго животного.
2. Практическая часть
2.1. Основы
Почему все существует? На этот вопрос можно ответить несколькими способами, но мы ответим так: во-первых, потому что они появились, образовались, родились, а во-вторых, они все еще не прекратили свое существование. Данные установки позволяют нам изучить некоторые закономерности. Например, капли дождя. Почему они существуют? Их существование длится на протяжении достаточно короткого периода времени, но они появляются часто и в больших количествах. Другой пример, планеты или звезды. В отличие от дождевых капель они не часто образуются, но они более чем компенсируют это продолжительностью своего существования. Все вещи находятся в некотором балансе между двумя условиями, которые мы поставили в нашем ответе о существовании.
Теперь, от этих абстрактных размышлений перейдем к конкретной симуляции и уравнениям. Представителем вида для симуляции будет некоторое существо (рис.1).
Рисунок 1
Шанс смерти каждого из таких существ будет равен 10 процентов, а рождения – 100 процентов). Среднее количество особей в данной симуляции на каждом шагу оставалось приблизительным к десяти.
Для сравнения можно создать второй вид (рис.2). Данное существо будет образовываться реже, но и погибать будет соответственно, тоже реже. Значения для этого вида: шанс рождения = 10%, шанс смерти = 1%. Как и в предыдущей симуляции, количество особей было приблизительно десяти на каждом шагу.
Рисунок 2
Хоть эти два существа разные, в среднем их количество одинаково. Можно предположить, что если некоторое существо будет иметь высокую рождаемость и низкую смертность, то их будет много. Однако все эти симуляции стабилизируются вокруг определенного количества существ. Для того чтобы понять это, составим для симуляции уравнение, которое позволит найти равновесное число для любой рождаемости и любой смертности. Для уравнения примем следующие значения: B – уровень рождаемости, N – количество живых существ, D – вероятность смерти.
Если общий уровень рождаемости будет равен общему уровню смертности, то мы ожидаем, что численность будет оставаться неизменной на каждом шаге. Но так как у каждого есть шанс умереть, то общая смертность будет зависеть от текущего количества существ.
Используя числа из первой симуляции, где на каждом шаге появлялось одно новое существо с шансом смерти в 10% (1=0.1*кол-во живых существ), ожидаемая рождаемость и смертность должны быть одинаковыми при десяти существах (1=кол-во существ*0.1), что и наблюдалось в симуляции (1=10*0.1). Однако следует учесть тот факт, что количество существ колебалось, оно не удерживалось ровно на 10 единицах. Возможно, что всем существам повезет, и они не умрут. В таком случае, на следующем шаге будет уже 11 существ (1<11*0.1), но тогда ожидаемая смертность будет выше ожидаемой рождаемости, потому, в среднем, мы ожидаем, что на следующем шаге погибнет более одного существа, что вернет популяцию обратно к 10 особям. Конечно, существам может везти и дальше (12,13), но чем больше существ, тем меньше вероятность того, что полоса везения продлится и дальше. Также возможно, что нескольким из них не повезет, и они погибнут, оставив менее 10 существ. Но если так случится, то ожидаемая смертность становится меньше рождаемости, поэтому на следующем шаге ожидается, что снова будет 10 существ. Это ситуация равновесия (1=0.1*10), а 10 – равновесное количество существ для первой симуляции. Возвращаясь к общему уравнению, сократим обе его части для выражения равновесного числа.
)/D
B/D = N
Но что, если теперь за вероятность смертности принять значение в 2%, а за вероятность рождения 80%? Каким равновесное число будет теперь? (N = 0.8/0.02), по формуле выходит 40. При запуске симуляции наблюдалось среднее значение, приближенное к значению 40.
Но какое это имеет отношение к живым существам? Мы слишком сложны для спонтанного появления. Живые существа особенны, потому что могут воспроизводить себе подобных. В симуляции добавляется еще один параметр – шанс репликации. Как и прежде, рассматривается ситуация, где рождаемость равна смертности. Уровень смертности останется прежним, но общий уровень рождаемости теперь другой: теперь есть дополнительный коэффициент воспроизводства, обозначенный в уравнении как R.
Каждое существо имеет свой шанс на размножение, поэтому этот шанс умножается на количество живых существ, чтобы получить общее количество рождения на каждом шаге. Важно то, что значение количества существ теперь находится с обеих сторон. Раньше только уровень смертности увеличивался с ростом числа существ, но теперь уровень рождаемости также увеличивается. Чтобы посмотреть на это в действии, выразимN и посмотрим на симуляцию.
Мы начнем симуляцию с двух существ, вероятность спонтанного рождения будет равна 10%, шанс смерти же составит 5%, шанс репликации же мы пока оставим на нуле. Исходя из формулы, равновесное число существ должно равняться двум. Если же мы увеличим вероятность репликации до 1 процента, то равновесное число увеличится до 2.5. Когда мы будем увеличивать шанс репликации, то и равновесное число будет увеличиваться. Если мы повысим шанс репликации до 5 процентов, то в знаменателе будет ноль, и равновесия больше не будет. Популяция будет увеличиваться без ограничений, если повышать вероятность репликации, то формула даст отрицательно значение, что не имеет смысла. Это делает живых существ особенными, они следуют собственным правилам.
2.2 Экспоненциальный рост жизни
Ранее мы использовали простую модель, чтобы предсказать размер популяции существ. У них было два способа появления, первый – спонтанное появление без какого-либо родителя. Вторым был шанс репликации, который позволял существу создавать свою копию. Теперь мы сделаем модель более реалистичной, полностью избавившись от вероятности спонтанного рождения. Попутно построим несколько графиков, чтобы посмотреть, как ведут себя различные реплицируемые виды населения с возможностью спонтанного рождения или без неё.
Для начала мы изменим уравнение, составленное ранее, и превратим его в функциональное уравнение, которое позволяет нам оперировать значениями.
Ранее устанавливался общий коэффициент рождаемости, равный общему уровню смертности. Общее ожидаемое изменение численности населения будет равно нулю. Теперь же, вместо того, чтобы предполагать, что рождаемость и смертность будут одинаковы, мы можем найти их разницу и получить общее ожидаемое изменение.
Уровень рождаемости можно изобразить в виде выражения , а уровень смертности -
От спонтанной рождаемости мы избавимся позже.
Таким образом, мы видим, что шансы на смерть и репликацию конкурируют, в конечном итоге определяя ожидаемое изменение. Теперь у нас есть изменение популяции, записанное как функция от числа существ (N).
Давайте посмотрим на конкретную ситуацию. Допустим, спонтанная рождаемость будет равна единице. На каждом шаге будет появляться одно, совершенно новое существо. Вероятность смерти будет равна 0.2. Для начала шанс репликации оставим равным нулю. Ожидаемое изменение будет равно уровню спонтанной рождаемости, а с увеличением N, ожидаемое изменение уменьшается на 0.2, в расчете на одно существо.
Точка, где дельта равна нулю – точка равновесия. Когда живы пять существ, каких-либо изменений не ожидается. Если количество будет меньше пяти – ожидается положительное изменение, что заставит население вновь вернуться к пяти особям, а если население будет больше пяти, то отрицательные изменения вновь подтолкнут его к равновесию. Это называется устойчивым равновесием. Если симуляция находится в равновесии, то вероятно, на следующем шаге будет нулевое изменение.
Если запустить несколько симуляций одновременно, то можно убедиться, что данное предположение о том, чего ожидать в среднем, в достаточной степени верно.
Но что произойдет, если добавить шанс репликации? Изменится наклон линии и положение точки равновесия.
Гораздо интереснее, если шанс репликации будет равен шансу смерти, в этом случае получится плоская линия.
А что насчет графиков зависимости популяции от времени? Там больше нет равновесия. Однако мы все еще можем что-то сказать о темпах роста. Вот, для чего мы создали это уравнение. Независимо от того, сколько есть существ, шанс на гибель и размножение компенсируют друг друга, и мы ожидаем, что популяция будет расти постоянно со скоростью спонтанной рождаемости, которая составляет одно существо за шаг времени.
Начиная с пяти существ, ожидаемая кривая будет расти стабильно вверх. Это устойчивый рост. В этом можно было убедиться, нанося результаты различных симуляций друг на друга.
Все становится еще интересней, когда вероятность репликации становится выше, чем вероятность смерти.
Мы получаем положительный наклон. С увеличением количества существ, ожидаемые изменения также становятся больше. В результате мы наблюдаем экспоненциальный рост (возрастание величины, когда скорость роста пропорциональна значению самой величины).
Наконец установим уровень спонтанной рождаемости на нуле.
И мы все еще наблюдаем эффект резинки, когда существ становится все больше и больше. Но когда количество существ равно нулю, то все остановится на месте (вымирание). Если мы начнем с двух существ, население будет расти в геометрической прогрессии, не будет умирать. Но в других случаях существам может повезти меньше, они вымрут, так и не восстановившись.
Если сложные организмы не могут появиться спонтанно, не могут размножаться, если они уже не существуют, то как они могут вообще появиться и выжить?
2.3 Мутации и первые репликаторы
Когда вероятность репликации выше вероятности смерти, то популяция может расти в геометрической прогрессии. Но серьезная проблема все еще не решена - сложные организмы не могут образовываться без репликации.
До сих пор, когда каждое из наших существ копировалось, оно создавало свою точную копию. В реальном мире, однако, никто не идеален. Иногда ошибка в ходе репликации, то есть мутация, приводит к новому виду существ.
Рисунок 3
Мы назовем такие ошибки мутациями. В нашем случае, у особей с мутациями будет отличие в вероятности выживания. У синей особи вероятность спонтанного рождения будет равна 100 процентов, это значит, что на каждом шаге будет появляться одна новая синяя особь. При этом шанс смерти будет равен 10 процентов, а шанс репликации – 5 процентов.
У зеленых особей шанс на смерть и репликацию останется прежним, однако мы избавимся от коэффициента случайной рождаемости. Кроме того, нам надо установить шанс на мутацию, которую в уравнениях будем обозначать, как М. Пусть она будет равна 10 процентам.
Симуляция показала, что зелёных существ в популяции крайне мало. Казалось бы, мутация – это поступательное движение, в результате которого появляются новые, совершенные организмы, однако, простыми словами, это всего лишь беспорядок, которому иногда везет.
Условие мутации необходимо добавить в полученное ранее уравнение. Мутация связана с репликацией существа, потому, чтобы добавить ее в эту модель, нам надо как-то изменить условия, связанные с репликацией. В среднем, ожидается, что на 10 реплицируемых синих существ одно из них будет зелёным, так как вероятность мутации – 10%. Следовательно, мутацию в модель мы можем добавить, умножив R на 1-М.
Как насчёт зелёных существ? Мы также начнем с уравнения, полученного ранее.
Так как зелёные существа не мутируют, то мы не будем добавлять переменную мутации в эту формулу, но добавим еще одно условие чтобы учесть количество мутировавших, которые образовались из-за мутации синих существ. Каким должно быть это условие? Если мы раскроем скобки в уравнении для синих существ, то
Выражениепоказывает количество существ, которые появились бы в результате мутации синих существ. Мы можем прибавить это же выражение к уравнению для зелёных, чтобы учесть количество мутировавших.
+
Данное уравнение показывает, как популяция зеленых существ начинает расти с нуля. По сути, они полагаются на мутацию другого вида, что является своеобразным аналогом спонтанного рождения у синих существ.
Добавим еще изменений, которые могут дать нам новые виды. Допустим, синие существа могут также мутировать в красных с той же вероятностью в 10%. Значения для красного существа: .
Рисунок 4
Также введем новые обозначения для синих существ - , для вероятности мутации в зеленое существо, - для мутации в красное существо.
Далее, добавим оранжевый вид, который появляется от красных с вероятностью 5% () У данного вида шанс репликации выше чем шанс смерти, а значит он имеет шанс на экспоненциальный рост.
Рисунок 5
Запустив симуляцию, мы можем увидеть, что популяция оранжевых существ начала расти экспоненциально и практически вытеснила все остальные виды. Однако, чем больше репликации, тем больше шансов на ошибку, а это значит, что оранжевый тоже может мутировать в другие, более сложные виды существ. Синий вид, в свою очередь – первый репликатор. Даже неидеальная система, полная плохих мутаций, может породить вид, который будет расти экспоненциально. На самом деле, реальная причина зарождения жизни намного сложнее того, что мы сейчас изобразили, однако несмотря на хаотичность данной версии, у нас есть первый репликатор, и пока он есть и мутирует, велика вероятность, что мы получим существо, вероятность репликации которого выше чем вероятность смерти, и тогда древо жизни начнет развиваться.
Предположительно, первым репликатором в реальном мире стала молекула РНК, она довольно проста, чтобы сформироваться, не прибегая к репликации, но тем не менее, она размножается, создавая больше своих копий.
2.4 Симуляция конкуренции и логистического роста
Мы уже видели, как существа, которые реплицируются, могут размножаться экспоненциально без ограничений. Ранее мы строили симуляции, в которых существа на каждом шагу умирают, появляются и размножаются в соответствии с определёнными шансами на основании составленного нами уравнения.
В случае, если шанс репликации выше шанса смерти, на графике мы будем наблюдать стабильно возрастающую линию. Но что, если мы хотим, чтобы в какой-то момент она выровнялась?
Чтобы численность населения выровнялась, нам нужно, чтобы ожидаемое изменение за шаг времени стало равно нулю, когда уже живут, например, 50 существ. Как же нужно изменить уравнение, чтобы это произошло? Мы хотим, чтобы дельта была равна нулю, когда количество существ стало равно 50.
Один из способов сделать это – повысить вероятность смерти существ, когда общая численность населения уже достаточно велика. Это звучит логично, ведь когда существ становится слишком много, шансы на нехватку еды и места резко возрастают. Таким образом, мы оставим базовый шанс смерти прежним, но добавим некоторое условие, которое позволит скорректировать численность.
Мы хотим, чтобы этот фактор был малозначительным, когда существ немного, и возрастал, когда популяция начнет расти. Самый простой способ сделать это – записать данное условие как произведение текущего количества существ и определённой константы.
Когда популяция небольшая, эффект скученности будет небольшим, а когда численность возрастает, то и эффект будет большим. Назовём эту константу коэффициентом скученности. Его значение показывает, насколько увеличивается вероятность смерти существа с появлением другого, нового существа. Поэтому, если его значение, например, 0.001, это означает, что вероятность смерти всех существ с появлением нового существа увеличивается на 0.1%.
Новое существо ест пищу и занимает место, поэтому остальным не хватает ресурсов. Когда существ много, это условие начинает сильно влиять на популяцию. При 50 существах дельта будет равна нулю.
Чтобы убедиться в том, что наши расчеты верны, давайте запустим симуляцию.
Рисунок 6
Теперь давайте посмотрим, что будет, если в результате мутаций начнут появляться новые виды существ.
Рисунок 7
Они будут потреблять одни и те же ресурсы, потому уравнение будет включать в себя общее количество существ всех видов.
Рисунок 8
В конечном итоге, оранжевый вид превзошел остальные. Синим было недостаточно уметь выживать при нехватке ресурсов, теперь им нужно превосходить конкурентов, чтобы поддерживать свою численность.
Выводы:
Репликация может привести к экспоненциальному росту популяции
Ошибки в репликации могут привести к появлению новых видов существ и последующему разнообразию видов
Ограниченный набор ресурсов регулирует численность популяции, вызывает конкуренцию между различными типами существ
Репликация, мутация и конкуренция составляют ядро эволюции.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Математика - область человеческого знания, изучающая математические модели, отражающие объективные свойства и связи. Кроме того, математика дает удобные способы описания самых разнообразных явлений реального мира и тем самым выполняет роль языка науки. Наконец, математика дает людям методы изучения и познания окружающего мира, методы исследования как теоретических, так и практических проблем.
Роль математики в современной науке постоянно возрастает. Это связано с тем, что, во-первых, без математического описания целого ряда явлений трудно надеяться на их более глубокое понимание и освоение, а, во-вторых, развитие физики, лингвистики, технических и некоторых других наук предполагает широкое использование математического аппарата. Более того, без разработки и использования последнего было бы, например, невозможно ни освоение космоса, ни создание электронно-вычислительных машин, нашедших применение в самых различных областях человеческой деятельности.
Биология – комплексная наука, ведущее положение в которой занимает химико-физическое направление. Новейшие данные в биологии вносят существенный вклад в научную картину мира. На современном этапе биология - являет собой учение о жизни в самом широком смысле, учение о процессах, которые происходят в живых телах.
Связь математической и биологической наук неоспорима и тесна. В своей исследовательской работе я привела примеры как использования математики в практических вопросах биологии, так и при описании различных биологических процессов, в частности, связанных с динамикой роста популяции различных видов живых существ. Междисциплинарное направление биоматематика продолжает развиваться и проникать в жизнь человека.
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ
https://www.youtube.com/watch?v=Opgyd29_LT4&list=PLTIKImJ9eObmCn16MVOEQ38iGO7_ypN5B&index=1
https://www.youtube.com/watch?v=BvVR_mPTUF4&list=PLTIKImJ9eObmCn16MVOEQ38iGO7_ypN5B&index=2
https://www.youtube.com/watch?v=g5BUuAzco8Q&list=PLTIKImJ9eObmCn16MVOEQ38iGO7_ypN5B&index=3
https://www.youtube.com/watch?v=TCQgSBKytt4&list=PLTIKImJ9eObmCn16MVOEQ38iGO7_ypN5B&index=4
https://cyberleninka.ru/article/n/istoriya-biomatematiki-i-osobennosti-ee-prepodavaniya-v-sovremennoy-vysshey-shkole/viewer
Соколов С. В. С59 Модели динамики популяций: учеб. пособие. СПб.: Изд-во СПбГЭТУ «ЛЭТИ», 2018.
Гагарина Д.А. презентация МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ: базовые модели и примеры
