На правильном пути по ступенькас прогрессии

АВТОНОМНАЯ НЕКОММЕРЧЕСКАЯ ПРОФЕССИОНАЛЬНАЯ

ОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ

«КУБАНСКИЙ ИНСТИТУТ ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ»

ИНДИВИДУАЛЬНЫЙ ПРОЕКТ

по дисциплине «Математика»

На тему: «На правильном пути по ступенькам прогрессии»

Выполнила студентка группы: 20-ПД1-9

Специальность: правоохранительная деятельность

Землякова Елизавета Сергеевна

Руководитель:

Ширяева Елена Александровна

учитель математики Подпись______________

Краснодар, 2021

Содержание:

Введение………………………………………………………………………...…3

1. Знакомство с понятием геометрической прогрессии…………………...........4

2. Сферы применения геометрической прогрессии…………………….............5

3. Геометрическая прогрессия и финансовые пирамиды…………………..…...7

3.1 История возникновение финансовых пирамид ……………………….…….7

3.2 Математический анализ финансовой пирамиды ……………………………8

3.3 Крах финансовой пирамиды ……………………………………………...…13

4. Мой эксперимент: «Сетевой маркетинг» ……………………………………14

Заключение………………………………………………………………...……..17

Список используемой литературы………………………………………..…….18

Введение

Любой человек, мечтающий быть лидером, должен обязательно стать интересной личностью, а это невозможно без расширения своего кругозора и углубления знаний в самых разных областях.

Современная молодежь готова активно включаться в новые формы деятельности и, при грамотно построенной структуре и налаженной системе обучения и мотивации людей, увеличивать свой доход.

Лучше получать 1% от усилий 100 человек, чем 100% от собственных усилий, а это означает, что нужно искать новые формы продвижения продукта, рекламы, новые формы ведения бизнеса и лучше всего для этого подходит сетевой маркетинг, структура которого основана на таком важном математическом понятии, как геометрическая прогрессия.

Так как я студентка 1 курса, вскоре начну «взрослую», самостоятельную жизнь, я решила наглядно показать все преимущества сетевого маркетинга и недостатки финансовых пирамид, для того, чтобы в будущем быть состоятельной в финансовых вопросах.

Проблемный вопрос: Действительно ли прогрессии играют большую роль в повседневной жизни?

Цель исследования: установить картину возникновения понятия прогрессии и выявить примеры их применения.

Задачи исследования:

Изучить наличие задач на прогрессии с практическим содержанием в различных учебных пособиях.

Выяснить, когда и в связи с какими потребностями человека появилось понятие последовательности, в частности -прогрессии;

Раскрыть истоки происхождения финансовых пирамид и создание сетевого маркетинга на их основе;

Установить: имеют ли прогрессии прикладное значение?  Найти примеры применения прогрессий в нашей жизни;

Показать связь геометрической прогрессии применительно к сетевому маркетингу.

        Гипотеза исследования: прогрессии имеют определенное практическое значение.

Методы исследования: Анализ математической, справочной литературы, литературы по истории математики, материала из Интернета. Обобщение найденных фактов.

1. Знакомство с понятием геометрической прогрессии

Термин «прогрессия» имеет латинское происхождение (progression, что означает «движение вперёд») и был введён римским автором Боэцием (VI в.).

Этим термином в математике прежде именовали всякую последовательность чисел, построенную по такому закону, который позволяет неограниченно продолжать эту последовательность в одном направлении.

Геометрическая прогрессия- последовательность чисел b1, b2, b3,…

(членов прогрессии), в которой каждое последующее число, начиная со второго, получается из предыдущего умножением его на определённое число (знаменатель прогрессии), где b1 ≠ 0, q ≠ 0 :

Рис.1 Основные формулы геометрической прогрессии

2. Сферы применения геометрической прогрессии

Сегодня, каждый человек, сам того не замечая, является участником прогрессии, а то и не одной. Геометрическая прогрессия окружает нас повсюду.

В Медицине

Наиболее ярким примером геометрической прогрессии в медицине является вспышка такой известной эпидемии как Сибирская Язва в 1979 году в Свердловске, когда произошли случайные выбросы в атмосферу облака спор Сибирской Язвы из военно-биологической лаборатории военного городка №19.

4 апреля - первый смертельный случай заболевания. Поставлен диагноз «пневмония».

Начиная с 5 апреля 1979 г., в течение 2-3 недель в районе катастрофы наблюдалась высокая смертность от заболевания (по данным некоторых исследователей — по 5 человек ежесуточно).

12 июня - смерть последнего погибшего в районе эпидемии.

По официальным данным за всё время эпидемии погибло 64 человека, исследователи и журналисты называют большую цифру — до 100 человек.

В Биологии

Способность к размножению у бактерий настолько велика, что если бы они не гибли от разных причин, а беспрерывно размножались, то за трое суток общая масса потомства одной только бактерии могла бы составить 7500 тонн. Таким громадным количеством бактерий можно было бы заполнить около 375 железнодорожных вагонов.

Пример К. А. Тимирязева: “Потомство одного одуванчика за 10 лет может покрыть пространство в 15 раз больше суши земного шара”.

Пример Карла Линнея: “Потомство пары мух съест мёртвую лошадь также скоро как лев”. Девятое поколение одной пары мух наполнило бы куб, сторона которого равна 140 км, или же составило бы нить, которой можно опоясать земной шар 40 млрд. раз.

Всего за пять поколений, то есть за 1 – 1,5 летних месяцев, одна единственная тля может оставить более 300 млн. потомков, а за год её потомство способно будет покрыть поверхность земного шара слоем толщиной почти в 1 метр.

Потомство пары птиц величиной с воробья при продолжительности жизни в четыре года может покрыть весь земной шар за 35 лет.

Можно сделать вывод о том, что все организмы обладают интенсивностью размножения в геометрической прогрессии.

В жизнедеятельности

Каждый день мы получаем и передаем информацию, делимся впечатлениями…а так же рассказываем знакомым то, что услышали и что показалось нам интересным, информация распространяется со скоростью выше скорости света, особенно быстро распространяются сплетни. Пути распространения сплетни различны: беседа, письмо, газеты, журналы, и даже жесты.

В Экономике

Геометрическая прогрессия имеет очень широкие приложения в экономике. С ее помощью банк производит расчеты с вкладчиком, решает, стоит ли вкладывать деньги в крупные проекты, доход от которых будет получен через несколько лет и т. д.

3. Геометрическая прогрессия и финансовые пирамиды

3.1 История возникновение финансовых пирамид

Раз уж мы затронули финансовый вопрос, то, безусловно, хотелось бы рассказать о финансовых пирамидах.

Впервые "пирамида" была создана в США в 1919 году неким Чарльзом Понти, который эмигрировал в Америку из Италии. После целого ряда неудачных попыток создать свой собственный доходный бизнес, Понти создал новую фирму The Securities Exchange Company. Было объявлено, что SХС привлекает средства внешних инвесторов для их выгодного вложения под высокий процент - 45% каждые девяносто дней. Понятно, что остальные американские акции не могли приблизиться к такой высоте дохода даже близко, что и решило исход дела. Американцы стали активно вкладывать деньги в Securities Exchange Company. Первое время они и проценты получали исправно, что значительно расширило популярность SХС, а также резко увеличило приток новых вкладчиков. Вскоре вскрылся обман. Оказалось, что SХС никаких денег никуда не инвестировала, а просто платила проценты за счет поступлений от продаж новых выпусков своих облигаций.

В России в дореволюционные годы также нашлись предприниматели, которые сбывали свой товар довольно оригинальным способом, обычно посредственного качества. Начинали они с того, что в распространённых газетах и журналах печатали рекламу такого содержания: «Каждый может приобрести в собственность велосипед, затратив только десять рублей. Пользуйтесь редким случаем. Вместо 50 рублей – 10 рублей Условия покупки высылаются бесплатно».

Немало людей, конечно, соблазнялись заманчивым объявлением и просили прислать условия необычной покупки. В чём смысл этой аферы я объясню ниже.

Финансовые аферы бывали в СССР. Они проводились в виде «денежных игр по почте». Люди часто получали письма, в которых им сообщалось, что если они пошлют по рублю по пяти указанным в письме адресам, а затем разошлют такие же письма по пяти адресам, вычеркнув адрес, указанный первым и вписав пятым свой, то в скором времени получат уйму денег.

В письме описывался и механизм такого обогащения. Действительно, от пяти человек, которым я пошлю письма, я получу по рублю, таким образом верну потраченные мной деньги. Привлеченные мною участники, рассылают письма, в которых мой адрес стоит уже четвертым. Количество таких писем равно 25. От этих адресатов я получаю 25 рублей. Затем 25 человек рассылают по 5 писем, в которых мой адрес стоит третьим. Их получают 125 человек, и каждый из них посылает мне по рублю. Продолжим, они рассылают 125*5=625 писем, в которых мой адрес стоит вторым. Таким образом, теперь уже 625 человек посылают мне по рублю. Следующий этап - 625*5=3125 рублей. Итого мой доход составляет 25+125+625+3215=3900 рублей. Было немало простаков, желавших разбогатеть подобным образом, однако в выигрыше оказывались лишь устроители такой игры. Дело в том, что число участников такой игры с каждым кругом увеличивается в. Если пять устроителей игры разослали, скажем, 120 писем со своими адресами, то в первом круге участвуют 120 человек, а во втором -в пять раз больше, т.е. 600 человек, в третьем- 3000 человек, в четвертом-15000 человек, в пятом- 75000 человек. От этих людей устроители получают больше 100000 рублей. В шестой круг будут втянуты уже 375000, в седьмой 1875000, в восьмой9375000, в девятый 46875000 человек, а в десятом должно участвовать все население нашей страны, включая младенцев- 234375000 человек. Ясно, что те, кто включился в девятом или десятом круге, не получит ничего - поскольку некому посылать эти письма.

В 90-х годах прошлого столетия идея финансовой пирамиды нашла благодатную почву для возрождения в России. В 90-х годах двадцатого века МММ, Русский Дом Селенга, АО «Русская недвижимость», «Тутти», «Иваспорт», «Властелина» и другие «компании», пользуясь абсолютно аналогичными приёмами, сумели обмануть более миллиона доверчивых россиян и жителей других государств СНГ через банковские вклады. Правда, в новых условиях итог для вкладчиков оказался куда более плачевным. Подавляющее их большинство потеряли свои вклады полностью и навсегда…

3.2 Математический анализ финансовой пирамиды

В Риме однажды произошёл следующий случай: «император вызвал своего полководца Теренция и приказал ему выбрать награду за свои подвиги. Теренций попросил у государя миллион брассов. После недолгого раздумья император согласился, но при условии, что Теренций сам вынесет эту сумму из казначейства, выполнив одно его условие: «В первый день ты вынесешь только одну монету и положишь её к моим ногам. Во второй день возьмёшь монету равную двум брассам и положишь и её к моим ногам. С каждым днём вес и сумма монет будет увеличиваться в два раза. Сколько монет вынесешь – столько и заберёшь». Теренций принял условие императора и приступил на следующий же день к работе, но через восемнадцать дней Теренций не смог больше выносить монеты, т. к. вес последней монеты составлял 655 кг. и соответствовал 131 072 единичным монетам. В итоге Теренций вынес из казначейства 262143 брасса, но император отдал ему лишь только около двадцатой части всей суммы, которую просил Теренций».

Проверим расчёт казначея, а заодно и вес монет. Теренций вынес:

,

Рис.2 Расчёт казначея

Выходит, первым изобретателем финансовой пирамиды является римский император (III-II и. до н.э.), а Теренций выступил в роли пострадавшего.

Итак, математически доказана невозможность выполнения обещаний императора, т. к. цифры растут с неимоверной быстротой, говорят с быстротой геометрической прогрессии.

Математики с давних времен изучают последовательности чисел, подобные геометрические прогрессии. данным, арифметические и «Последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же числом, называется арифметической прогрессией.

Последовательность, отличных от нуля чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число, называется геометрической прогрессией»

Если число, на которое последовательно умножают члены прогрессии,

(оно называется знаменателем прогрессии), больше единицы, то члены прогрессии очень быстро возрастают.

По подсчете числа участников и прибыли верхушки пирамиды пользуются формулами n-го числа и суммы первых n членов прогрессии.

an =a1+(n-1)d

где a1- первый член прогрессии, d- ее разность.

Сумма первых n членов арифметической прогрессии

Sn = a1+a2+…+ an может быть найдена по формулам

,

где a1- первый член прогрессии, an- член с номером n, n- количество суммируемых членов.

где a1- первый член прогрессии, d- разность прогрессии, n- количество суммируемых членов

Любой член геометрической прогрессии может быть вычелен по формуле

Если b1>0 и q>1, прогрессия является возростоящей последовательностью, если 0<q<1, - убывающей последовательностью, а при q<0 – знакочередующейся.

Сумма n первых членов геометрической прогрессии может быть вычеслена по формуле

при q≠1

Так вот в случае с Теренцием мы получили сумму 18 первых членов геометрической прогрессии, первый член которой равен1, а знаменатель- 2, то есть

S=2^18-1/2-1=262143

Рассмотрим деятельность финансовых пирамид, типа «Телемаркет». Напомним принцип работы этих фирм. Выпускаются акции, которые затем продаются и покупаются по все возрастающей цене. Рассмотрим простейший случай. Фирма выпустила 100000 акций по цене 1000 рублей и объявила, что через неделю она будет их скупать по 1090 рублей, а продавать по 1100 рублей. Еще через неделю будет скупать по 1180 рублей, продавать по 1200 рублей и. т.д. Мы видим, что каждую неделю она будет увеличивать стоимость покупки акции на 90 рублей, а продажи - на 100 рублей.

Здесь мы имеем дело с двумя последовательностями: 1000, 1090, 1180... и 1000, 1100, 1200... В каждой из них следующий член больше предыдущего на одно и то же число. В первой это 90, а во второй 100. Подобные последовательности являются арифметическими прогрессиями. Они растут медленнее, чем геометрические прогрессии, но все равно быстро. Прибыль компании также увеличивается по правилам арифметической прогрессии казалось бы прибыль невелика. Однако если количество акций велико, то и прибыль будет большой. В нашем случае прибыль с одной акции на десятом шаге составит 100 рублей. Тогда общая прибыль, с учетом продажи самих акций равна (1000+100)100000=110000000 рублей. При этом не следует забывать, что фирма не инвестирует, а прибыль получает за счет держателей акций.

Вернёмся к акции с велосипедами. В чём она заключалась? «В ответ на запрос первые покупатели акций получали подробный проспект, из которого узнавали следующее: за 10 рублей высылался пока не сам велосипед, а только 4 билета, которые надо было сбыть по 10 рублей своим четверым знакомым. Собранные таким образом 40 рублей следовало отправить фирме, и тогда лишь прибывал велосипед; значит, он обходился покупателю действительно всего в 10 рублей, остальные 40 рублей уплачивались ведь не из его кармана». Правда, кроме уплаты 10 рублей наличными деньгами, покупатель имел некоторые хлопоты по продаже билетов среди знакомых, но этот труд в счет не шел.

Что это были за билеты? Какие блага получал их покупатель за 10 рублей? Он имел право обменять их у фирмы на 5 таких же билетов; другими словами, он приобретал возможность собрать 50 рублей со своих знакомых для покупки велосипеда, который ему обходился, как ни удивительно, только в 10 рублей, т. е. в стоимость одного билета. Новые обладатели билетов в свою очередь получали от фирмы по 5 билетов для дальнейшего распространения и т. д.

На первый взгляд, во всём этом не было обмана. Рекламные обещания исполнялось: велосипед в самом деле обходился покупателям всего лишь за 10 рублей. Да и фирма получала свою прибыль, - она получала за свой товар полную его стоимость. А между тем вся затея – несомненное мошенничество. «Лавина», как называли эту аферу у нас, или «снежный ком», как величали её французы, вовлекала в убыток тех её участников, которые не смогли сбыть дальше купленные ими билеты. Они – то и уплачивали фирме разницу между 50 – рублёвой стоимостью велосипедов и 10 – рублёвой платой за них. Рано ли, поздно ли, но неизбежно наступал день, когда очередные обладатели «счастливых» билетов не могли найти охотников их приобрести.

Первая группа покупателей, прибредшая свои билеты прямо от фирмы, находит своих покупателей обычно без особого труда; каждый член этой группы распространяет4 билета, привлекая 4 новых участников. Эти четверо должны сбыть свои билеты 4*5, т.е. 20 другим, убедив их в выгодности такой покупки. Допустим, что это удалось, и 20 покупателей становятся счастливыми обладателями билетов. Лавина движется дальше: 20 новых обладателей билетов должны наделить ими 20*5=100 других.

До сих пор каждый из «родоначальников» лавины втянул в неё 1+4+20+100=125 человек, из которых 25 имеют по велосипеду, а 100 – только надежду его получить, уплатив за эту надежду по 10 рублей.

Теперь «лавина» выходит из тесного круга людей знакомых между собой и начинает растекаться по городу, где ей становится, однако, всё труднее и труднее отыскивать новые жертвы. Сотня последних обладателей билетов должна снабдить такими же билетами 500 граждан, которым в свою очередь придётся завербовать 2500 новых. Город очень быстро наводняется билетами, так что отыскать охотников приобрести их становится делом весьма и весьма нелёгким. Число граждан, втянутых в лавину, растет. Вот числовая пирамида, которая в этом случае получается: числовая пирамида, которая в этом случае получается:

1

4

20

100

500

2500

12500

62500

Если город невелик, и все его население, способное сидеть на велосипеде, составляет 62 1⁄2 тысячи, то лавина должна иссякнуть. Все жители оказались втянутыми в неё. Но обладает велосипедами только пятая часть, у остальных же 4/5 на руках остались билеты, которые некому продать.

Для города с более многочисленным населением, даже для современного столичного центра, который насчитывает миллионы жителей, момент насыщения наступит всего несколькими шагами позднее, потому что числа лавины растут со скорость геометрической прогрессии, знаменатель которой равен пяти. Вот следующие ярусы нашей числовой пирамиды:

312 500 1 562 500 7 812 500 39 062 500.

Именно по принципу геометрической прогрессии получают свою прибыль большинство устроителей финансовых пирамид. Более того, геометрическая прогрессии – это суть финансовой пирамиды.

Сравним скорости роста двух прогрессий арифметической и геометрической. Возьмем геометрическую прогрессию 1,2,4,8,... и арифметическую, 101, 201, 301,... Создается впечатление, что члены арифметической прогрессии растут гораздо быстрее, чем члены геометрической. Но смотрим, что же происходит дальше. Девятый член арифметической прогрессии равен 901, а геометрической – 512. Их следующие члены равны, соответственно, 1001 и 1024. Геометрическая прогрессия обогнала арифметическую и начинает намного ее опережать: 1101 и 2048, 1201 и 4096, 1301 и 8192... На примере видно, что геометрическая прогрессия со знаменателем большим единицы растет значительно быстрее любой арифметической прогрессии.

Без сомнения, новые финансовые пирамиды будут появляться и дальше во все больших количествах, а их создатели будут применять все более изощрённые методы сокрытия

3.3 Крах финансовой пирамиды

По причине невозможности обеспечения на длительный период постоянного притока новых вкладчиков, ресурсы финансовой пирамиды начинают истощаться. Таким образом, уже через полгода существования такой структуры способность вкладчиков получить высокие доходы сильно ограничивается. Возможность выплаты обещанных денег с течением времени становится все меньше, но финансовые обязательства растут в геометрической прогрессии. В этой ситуации инвесторы начинают испытывать волнение, основание финансовой пирамиды «расшатывается» под влиянием слухов, черных прогнозов, паники. Все это приводит к массовому сбросу ценных бумаг, резкому падению их рыночных курсов, неспособности организаторов пирамиды поддерживать их рыночную стоимость и ликвидность.

Кстати сказать, по принципу пирамиды построена система пенсионного обеспечения в нашей и ряде других стран. Распределительный механизм этой системы позволяет пенсионерам получать пенсии, благодаря ныне работающим гражданам. И до тех пор, пока число работающих превышает число пенсионеров, такая пирамидальная система будет действовать безотказно.

Мой эксперимент

Каждый человек, который сталкивается с понятием сетевого маркетинга, считает, что в сетевом бизнесе необходимо продавать продукцию, чтобы начать зарабатывать. Но профессиональные «сетевики» считают иначе. Успех сетевого предпринимателя – это построение партнерской структуры (сети), в который каждый человек мотивирован на высокий заработок и так же занимается построением своей структуры партнеров.

Я решила выбрать именно развитие своей структуры с помощью принципа геометрической прогрессии, а не прямые продажи.

Для того, чтобы изобразить наглядно принцип геометрической прогрессии и возможность заработка с его помощью, предлагаю рассмотреть классический и самый наглядный пример с озером:

«В моем примере озеро зарастает лилиями полностью за 30 дней, каждый день 1 лилия дает потомство в виде еще одной лилии, если сегодня росла всего одна линия, – завтра их будет две, послезавтра 4 потом 8, и вот что интересно на 29 день озеро зарастет лишь наполовину и всего за один – 30-ый день зарастет и еще половина озера, то есть озеро зарастет лилиями полностью всего за 1 день! Так растет и партнерская сеть, которая в самом начале не приносит больших результатов, но придёт момент, когда удвоение сети принесет мне значительный доход.

Представьте, что я могу приглашать в этот бизнес всего одного человека в месяц и научить его делать то же самое, то есть приглашать в этот бизнес всего одного человека в месяц. Давайте посчитаем сколько человек будет в мой сети через 1 год 1 месяц: я приглашаю одного моего знакомого, теперь нас двое, во второй месяц я приглашаю еще одного, и мой знакомый сделает то же самое - теперь вас четверо. Третий месяц – все четверо пригласят по одному и нас станет уже 8, нетрудно посчитать, что на четвертый месяц моя сеть будет состоять из 16 человек, на пятый месяц из 32 человек, на 6 из 64.

В этот момент может показаться, что сеть развивается слабо и много денег не принесет, но надо набраться терпения, потому что в седьмой месяц в моей сети будет уже 128 человек, на восьмой месяц 256, на 9 – 512, 10 – 1024, 11 – 2048 и концу года моя сеть будет состоять из 4096 человек и это лишь при условии приглашения всего одного человека в месяц.

Если с каждого приглашенного я заработаю по 10$, то мой заработок в сетевом бизнесе будет именно таким (Табл. 1):

Рисунок 3 - Рост моей структуры в сетевом бизнесе

Даже если мы будем лениться, и половина нашей сети тоже не будут активны, все равно моя сеть будет состоять из 2000 человек. Даже если из них только половина будет что-то покупать, я буду получать комиссионные вознаграждения с 1000 человек, а это неплохие деньги при условии, что с каждой покупки мне будут начислять, например, по 10 долларов, мой ежемесячный доход составит 10000 долларов, даже если эти люди будут работать в два раза хуже, то все равно мой доход составит приличную сумму.

Но у меня нет столько знакомых, где же мне взять столько людей? В этом и заключается одно из преимуществ бизнеса сетевого маркетинга, – мне достаточно пригласить в этот бизнес всего 12 человек, и они в свою очередь приведут целую армию повторив мои действия.

Таким образом, моя сеть может расти по геометрической прогрессии, более того, не обязательно строить сеть в рамках своего города, имея знакомых и родных в других городах. Партнеры выведут свой бизнес за рамки моего места жительства, расширяя его территориальные границы.

Заключение

Изучила наличие задач на прогрессии с практическим содержанием в различных учебных пособиях.

Выяснила, когда и в связи с какими потребностями человека появилось понятие последовательности, в частности -прогрессии;

Раскрыла истоки происхождения финансовых пирамид и создание сетевого маркетинга на их основе;

Установила, что прогрессия имеет прикладное значение.  Нашла примеры применения прогрессий в нашей жизни;

Показала связь геометрической прогрессии применительно к сетевому маркетингу.

Я действительно убедилась в том, что прогрессия играет большую роль в повседневной жизни.

На мой взгляд, в результате проделанной работы я предоставила достаточно аргументов для того, чтобы утверждать, что геометрическая прогрессия может использоваться для приумножения своих доходов. Однако, следует помнить, что сетевой маркетинг и финансовая пирамида- две разные вещи. С помощью сетевого маркетинга можно построить успешный бизнес, а финансовые пирамиды неизбежно приведут к обогащению единиц, за счет разорения миллионов.

Список использованных источников:

Савин А.П., Станцо В.В.,. Котова А.Ю, «Математика. Я познаю мир» 1996 г.

Большой экономический словарь/ Под ред. А.Н. Азрилияна. 5-е изд. доп. и перераб. М.: Институт новой экономики, 2002. С. 677.

Борисов А.Б. Большой экономический словарь. М.: Книжный мир, 2003. С. 528.

Вугальтер А.Л. Фундаментальная экономия. Динамика / А. Л. Вугальтер. – М.: ЗАО «Издательство «Экономика»», 2007. – 371 с.

Логинов О.И. Бешеные деньги. От фальшивых монет до финансовых пирамид / О. И. Логинов. – М.: Эксмо, 2008. – 448 с.

Логинов О.И. Мошенники и аферисты. Как не стать жертвой обмана / О. И. Логинов. – М.: Эксмо, 2009. – 640 с.

Райзберг Б.А., Лозовский Л.Ш., Стародубцева Е.Б. Современный экономический словарь. 2-е изд., испр. М.: ИНФРА-М, 1999. С. 248.

Румянцева Е.Е. Новая экономическая энциклопедия. – М.: ИНФРА-М, 2005. С. 389–390.

«Русские народные пирамиды» // журнал «Наши деньги», апрель 2008, №5

Чечулинский А. «Крупная финансовая пирамида разоблачена в Москве» // http://www.1tv.ru/news/world/150148