"Различные способы доказательства теоремы Пифагора "

АВТОНОМНАЯ НЕКОММЕРЧЕСКАЯ ПРОФЕССИОНАЛЬНАЯ ОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ

«КУБАНСКИЙ ИНСТИТУТ ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ»

ИНДИВИДУАЛЬНЫЙ ПРОЕКТ

По дисциплине: «Математика»

На тему: «Различные способы доказательства теоремы Пифагора»

Работу выполнила:

студентка 1 курса группы 20-ПД1-9

Мтиулишвили Алика Давидовна

Специальность: Правоохранительная деятельность

Руководитель:

Ширяева Елена Александровна –

преподаватель математики

Подпись____________

Краснодар 2021 г.

СОДЕРЖАНИЕ

Введение 3

Основная часть

Биография Пифагора4

История открытия теоремы Пифагора8

Различные способы доказательства теоремы Пифагора 11

Пифагоровы тройки 16

Практическое применение теоремы Пифагора 18

Практическая часть 21

Заключение 29

Список литературы 30

ВВЕДЕНИЕ

Теорема Пифагора в геометрии важна не меньше, чем таблица умножения в арифметике. Решение многих геометрических задач (как в планиметрии, так и в стереометрии), сводится к рассмотрению прямоугольных треугольников и применению этой замечательной теоремы. Так же большинство задач по нахождению сторон прямоугольных треугольников сводится к использованию этой теоремы.

В настоящее время всеобщее признание получило то, что успех развития многих областей науки и техники зависит от развития различных направлений математики.

Важным условием повышения эффективности производства является широкое внедрение математических методов в технику и народное хозяйство, что предполагает создание новых, эффективных методов качественного и количественного исследования, которые позволяют решать задачи, выдвигаемые практикой.

По выражению известного ученого Иоганна Кеплера, «геометрия владеет двумя сокровищами – теоремой Пифагора и золотым сечением, и если первое из них можно сравнить с мерой золота, то второе – с драгоценным камнем».

Теорема Пифагора – одна из главных и, можно сказать, самая главная теорема геометрии. Значение ее состоит в том, что из нее или с ее помощью можно вывести большинство теорем геометрии.

Цель исследования: выяснить различные способы доказательства теоремы Пифагора и изучить ее практическое применение.

Задачи:

Изучить биографию Пифагора

Изучить историю открытия теоремы Пифагора;

Исследовать различные способы доказательства данной теоремы

Исследовать пифагоровы тройки.

Изучить практическое применение теоремы Пифагора.

ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ

Биография Пифагора.

Рисунок 1. Пифагор.

Дата рождения: 570 г. до н. э.

Дата смерти: 490 г. до н. э.

Место рождения: Самос

Пифагор – знаменитый эллинский математик, Пифагор - философ, мистик. Геродот назвал его величайшим греческим мудрецом. 570 г. до н.э. ознаменовался рождением Пифагора. Произошло это на острове Самос. Его отец по имени Мнесарх согласно разным источникам был или купцом, или камнерезом.

Согласно легенде рождение ребенка было предсказано Пифией и именно поэтому его назвали именем Пифагор. Гермодамас являлся первым учителем Пифагора. Он и привил юноше любовь к искусству, заставлял наизусть изучать отрывки из произведений Гомера.

В юношестве Пифагор был отправлен в Египет для обучения у жрецов и познания древней мудрости. Согласно некоторым источникам, Поликрат отправил с будущим математиком рекомендательное письмо для фараона. Оно стало гарантом для обретения Пифагором знаний, недостижимых другим чужестранцам.

По данным Ямвлиха, покинув родной остров, Пифагор много путешествовал и добрался до Египта через несколько лет. Через 22 года Пифагору пришлось уехать в Вавилон в качестве пленника. В 525 г. до н.э. когда персидский завоеватель захватил Египет, Пифагор стал рабом. В родной Самос он смог вернуться только в 56 лет после долгих лет постижения разных наук и общения со жрецами в Вавилоне.

Легенда гласит, что Пифагор сплотился с персидскими магами, и привез с собой идеи восточной мистики и мифологии. В родных краях Пифагор занялся изучением медицины, этики политики и др.

По сведениям Порфория, Пифагор покинул остров, так как конфликтовал с тираном Поликратом. Причем точно неизвестно, где все это время находился Пифагор. Согласно Аристоксену, большинство своих знаний Пифагор приобрел благодаря Фемистоклеи Дельфийской, жившей в приближенных для греков местах.

Следующей остановкой Пифагора послужил город Кротон - греческой колонии, где у него появилось много учеников. Первое, что привлекало людей – это призыв к умеренному образу жизни.

Пифагор стремился облагородить основные слои общества. Он был уверен власть должна быть в руках у мудрых людей, и благодаря их нравственности, люди будут им повиноваться.

Со временем последователи Пифагора создали определенную организацию, схожую с религиозным орденом. В нем могли состоять только избранные, они очень ценили и чтили своего лидера.

Со временем этот орден оказался настолько влиятельным, что практически стал править в Кротоне. Идея о том, что Земля круглая впервые была озвучена в школе Пифагора. Однако общество не прониклось этой идеей. Несмотря на это, большинство открытий, которые стали революционными, являлись заслугами Пифагора.

В конце 6 в. до н. э. вначали набирать силу антипифагорейские движения. Это заставило Пифагора отправиться в колонию Метапонт. Там он прожил до своей смерти. Уважение пришло к нему только посмертно, а склеп ученого стал местной достопримечательностью. Женой Пифагора была Феано, родившая ему сына и дочь.

До сих пор историки не установили, в каком возрасте умер Пифагор. Ссылаясь на утверждения Ямвлиха, что тайное сообщество просуществовало 39 лет, есть смысл считать, что великий философ умер в 491 году до н. э. В то же время Диоген заявляет, что Пифагор ушел из жизни в 80 лет. Также бытует мнение, что он скончался в возрасте 90 лет.

Многие из последователей Пифагора, будучи состоятельными и образованными людьми, прилагали немало усилий для того, чтоб внедрить в своих городах мировоззрения и принципы, основанные на учениях своего наставника.

В неравном бою пифагорейцы остались побежденными и, ставши объектом гонений из родных земель, расселились по итальянским и греческим землям. Порфирий в своих произведениях пишет, что - Пифагора убили в Метапонте при восстании его противников.

Основные достижения Пифагора:

• Пифагор первым заявил о том, что человеческая душа после его смерти рождается заново, пока не искупит своих грехов. Пифагором было создано тайное сообщество, в котором пропагандировались идеи чистоты души и тела.

• Труды Пифагора стали основой для развития точных наук

• Самым известным его достижением признана теорема Пифагора

Важные даты биографии Пифагора:

• 546 год до н.э. – обосновал философскую идею

• 510 год до н.э. – организовал школу

Интересные факты Пифагора:

• В действительности Пифагор – это псевдоним.

• С первой же прочитанной лекцией Пифагором объединилось более 2000 почитателей. Вскоре эта цифра увеличилась в несколько раз.

• Пифагор всегда был мистиком.

• Увлекался спортом, особенно хорошо давались ему кулачные бои, в которых он неоднократно побеждал на Олимпийских играх.

• Всем известная кружка, которая позволяет пить воду только в определенном количестве является творением Пифагора.

• Философ вкладывал в числа особый смысл и считал, что судьба человека заложена в них. Так число 10 оказалось его любимым.

• Пифагор не ел мясо животных.

• Одевался Пифагор довольно необычно и своенравно. Основными элементами его одежды были штаны, просторные белые одежды и золотая диадема на голове.

• Был хорошо образованным человеком, читал Гомера, интересовался поэзией.

• Существует множество разных легенд, связанных с этим великим человеком, но одной из самых противоречивых является та, согласно которой, известную теорему Пифагора он всего лишь выиграл у математика в споре кто кого перепьет. Отдавая свиток с теоремой, математик сказал: «Кто владеет данным свитком, того будут помнить не одно тысячелетие».

Рисунок 2. Пифагор

История открытия теоремы Пифагора.

В настоящее время известно, что эта теорема не была открыта Пифагором. Однако одни полагают, что именно Пифагор первым дал ее полноценное доказательство, а другие отказывают ему и в этой заслуге. Некоторые приписывают Пифагору доказательство, которое Евклид приводит в первой книге своих “Начал”. С другой стороны, Прокл утверждает, что доказательство в “Началах” принадлежит самому Евклиду.

История математики почти не сохранила достоверных конкретных данных о математической деятельности Пифагора. Зато легенда сообщает даже ближайшие обстоятельства, сопровождавшие открытие теоремы. Сохранилось древнее предание, что в честь своего открытия Пифагор принёс в жертву богам быка, по другим свидетельствам – даже сто быков. Это, однако, противоречит сведениям о моральных и религиозных воззрениях Пифагора. В литературных источниках можно прочитать, что он "запрещал даже убивать животных, а тем более ими кормиться, ибо животные имеют душу, как и мы". В связи с этим более правдоподобной можно считать следующую запись: "… когда он открыл, что в прямоугольном треугольнике гипотенуза имеет соответствие с катетами, он принес в жертву быка, сделанного из пшеничного теста".

Исторический обзор теоремы Пифагора начнем с древнего Китая. Здесь особое внимание привлекает математическая книга Чу-пей. В этом сочинении так говорится о пифагоровом треугольнике со сторонами 3, 4 и 5:

Рисунок 3. Пифагоров треугольник.

"Если прямой угол разложить на составные части, то линия, соединяющая концы его сторон, будет 5, когда основание есть 3, а высота 4".

Очень легко можно воспроизвести их способ построения. Возьмем веревку длиною в 12 м. и привяжем к ней по цветной полоске на расстоянии 3м. от одного конца и 4 метра от другого. Прямой угол окажется заключенным между сторонами длиной в 3 и 4 метра. В этой же книге предложен рисунок, который совпадает с одним из чертежей индусской геометрии Басхары.

Теорема Пифагора, согласно немецкому математику Кантору, была известна еще в 2300 году до н. э. в Египте. Древние жители долины Нила во времена правления фараона Аменемхета I знали равенство 3²+ 4² = 5². Предполагается, что с помощью треугольников со сторонами 3, 4 и 5 египетские «натягиватели веревок» выстраивали прямые углы.

Знали теорему Пифагора и в Вавилоне. На глиняных табличках, датируемых 2000 годом до н.э. и относимых ко времени правления царя Хаммурапи, обнаружен приблизительный расчет гипотенузы прямоугольного треугольника.

В средние века теорема Пифагора определяла границу, если не наибольших возможных, то, по крайней мере, хороших математических знаний. Характерный чертеж теоремы Пифагора, который ныне иногда превращается школьниками, например, в облаченного в мантию профессора или человека в цилиндре, в те времена нередко употреблялся как символ математики.

Рисунок 4. «Человек в цилиндре»

Различные способы доказательства теоремы Пифагора

1. Древнекитайское доказательство

На древнекитайском чертеже четыре равных прямоугольных треугольника с катетами a, b и гипотенузой с уложены так, что их внешний контур образует квадрат со стороной a+b, а внутренний – квадрат со стороной с, построенный на гипотенузе

a² + 2ab +b² = c² + 2ab

a² +b² = c²

2. Доказательство Дж. Гардфилда (1882 г.)

Расположим два равных прямоугольных треугольника так, чтобы катет одного из них был продолжением другого.

Площадь рассматриваемой трапеции находится как произведение полусуммы оснований на высоту

S = 

C другой стороны, площадь трапеции равна сумме площадей полученных треугольников:

S = 

Приравнивая данные выражения, получаем:

 или с² = a² + b²

3.Доказательство Хоукинсa.

   Приведем еще одно доказательство, которое имеет вычислительный характер, однако сильно отличается от всех предыдущих. Оно опубликовано англичанином Хоукинсом в 1909 году; было ли оно известно до этого- трудно сказать. Прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C повернем на 90° так, чтобы он занял положение A'CB'. Продолжим гипотенузу A'В' за точку A' до пересечения с линией АВ в точке D. Отрезок В'D будет высотой треугольника В'АВ. Рассмотрим теперь заштрихованный четырехугольник A'АВ'В . Его можно разложить на два равнобедренных треугольника САA' и СВВ' (или на два треугольника A'В'А и A'В'В).

SCAA'=b²/2

SCBB'=a²/2

SA'AB'B=(a²+b²)/2

Треугольники A'В'А и A'В'В имеют общее основание с и высоты DA и DB, поэтому :

SA'AB'B=c*DA/2+ c*DB/2=c(DA+DB)/2=c²/2

Сравнивая два полученных выражения для площади, получим:

a²+b²=c²

4. Доказательство Вальдхейма.

   Это доказательство также имеет вычислительный характер. Можно использовать рисунки для доказательства основанного на вычислении площадей двумя способами.

Для того чтобы доказать теорему пользуясь рисунком достаточно только выразить площадь трапеции двумя путями.

Sтрапеции=(a+b)²/2

Sтрапеции=a²b²+c²/2

Приравнивая правые части получим:

a²+b²=c²

5.Старейшее доказательство (содержится в одном из произведений Бхаскары).

Пусть АВСD квадрат, сторона которого равна гипотенузе прямоугольного треугольника АВЕ (АВ = с, ВЕ = а,

АЕ = b);

+Пусть СКВЕ = а, DLCK, AMDL 

ΔABE = ∆BCK = ∆CDL = ∆AMD,

6. Доказательство простейшее

7. Доказательство древних индусов

Квадрат со стороной (a+b), можно разбить на части либо как на рисунке а), либо как на рисунке b). Ясно, что части 1,2,3,4 на обоих рисунках одинаковы. А если от равных (площадей) отнять равные, то и останутся равные, т.е.

с2 = а2 + b2.

Впрочем, древние индусы, которым принадлежит это рассуждение, обычно не записывали его, а сопровождали лишь одним словом:Смотри!

 8.Доказательство Евклида

В течение двух тысячелетий наиболее распространенным было доказательство теоремы Пифагора, придуманное Евклидом. Оно помещено в его знаменитой книге «Начала».

Евклид опускал высоту СН из вершины прямого угла на гипотенузу и доказывал, что её продолжение делит достроенный на гипотенузе квадрат на два прямоугольника, площади которых равны площадям соответствующих квадратов, построенных на катетах.

Чертёж, применяемый при доказательстве этой теоремы, в шутку называют «пифагоровы штаны». В течение долгого времени он считался одним из символов математической науки.

Доказательство теоремы Пифагора учащиеся средних веков считали очень трудным и называли его Dons asinorum- ослиный мост, или elefuga- бегство "убогих", так как некоторые "убогие" ученики, не имевшие серьезной математической подготовки, бежали от геометрии.

Слабые ученики, заучившие теоремы наизусть, без понимания. были не в состоянии преодолеть теорему Пифагора, служившую для них вроде непреодолимого моста. Из-за чертежей, сопровождающих теорему Пифагора, учащиеся называли ее также "ветряной мельницей", составляли стихи вроде "Пифагоровы штаны на все стороны равны", рисовали карикатуры

Рисунок 5. Доказательство Евклида.

Пифагоровы тройки

Теорема Пифагора продолжает оставаться живительным источником красоты, совершенства и творчества для новых поколений. Несмотря на то что, суть теоремы проста и изящна, но было бы ошибкой думать, что в плане её содержания не осталось места для каких-то новых исследований. Результатом одного из таких исследований являются Пифагоровы тройки -наборы из трёх натуральных чисел, из которых сумма квадратов двух чиселравна квадрату третьего числа.

Пифагоровы тройки – это тройки (x, y, z) натуральных чисел x, y, z, для которых выполняется равенство х² + у²=z²

Например, (3, 4, 5) является пифагоровой тройкой. Геометрический смысл пифагоровых троек состоит в том, что они выражают стороны прямоугольного треугольника.

Прямоугольный треугольник, с катетами 3, 4 и гипотенузой 5 называется египетским треугольником. Площадь этого треугольника равна совершенному числу 6. Оно связано также со здоровьем и равновесием (поскольку состоит из двух троек). Периметр равен 12 – числу, которое считалось символом счастья и достатка.

Нахождением пифагоровых троек занимались Евклид, Пифагор, Диофант и многие другие. 

Ясно, что если (x, y, z) – пифагорова тройка, то для любого натурального k тройка (kx, ky, kz) также будет пифагоровой тройкой. В частности, (6, 8, 10), (18, 24, 30) и т.д. являются пифагоровыми тройками.

По мере того, как числа возрастают, пифагоровы тройки встречаются всё реже и находить их становится все труднее и труднее. Пифагорейцы изобрели метод отыскания таких троек и, пользуясь им, доказали, что пифагоровых троек существует бесконечно много.  Тройки, не имеющие общих делителей, больших 1, называются простейшими.

Рассмотрим некоторые свойства пифагоровых троек.

Свойство 1.  Числа, входящие в простейшую пифагорову тройку, попарно взаимно просты. 

Действительно, если два из них, например x и y имеют простой общий делитель p, то из равенства х²+у²=z² следует, что на p делится и третье число z. Это противоречит тому, что тройка – простейшая.

Следствие.  В простейшей пифагоровой тройке только одно число может быть чётным. 

Свойство 2. В простейшей пифагоровой тройке числа x и y не могут быть одновременно нечётными. 

Пифагор нашёл формулы, которые в современной символике могут быть записаны так: a=2n+1, b=2n(n+1), c=2 n2 +2n+1, где n – целое число.

Эти числа – пифагоровы тройки.

Пифагоровы числа обладают рядом любопытных особенностей:

Один из катетов должен быть кратен трём.

Один из катетов должен быть кратен четырём.

Одно из пифагоровых чисел должно быть кратно пяти.

По-видимому, вавилоняне знали, как вычислить пифагоровы числа, но как они к этому пришли – неизвестно. Как позднее это делали древние греки – известно. По существу, их доказательство в модернизированном виде воспроизводится во многих книгах.

Пифагоровы тройки находят прямое применение в проектировании множества вещей, окружающих нас в повседневной жизни. А умы ученых продолжают искать новые варианты доказательств теоремы Пифагора.

Рисунок 6. Пифагоровы тройки.

Практическое применение теоремы Пифагора.

Мобильная связь

Рисунок 7. Антенна мобильной связи

Кто в современном мире не пользуется сотовым телефоном? Каждый абонент мобильной связи заинтересован в ее качестве. А качество в свою очередь зависит от высоты антенны мобильного оператора. Чтобы рассчитать, в каком радиусе можно принимать передачу, применяем теорему Пифагора.

Какую наибольшую высоту должна иметь антенна мобильного оператора, чтобы передачу можно было принимать в радиусе R=200 км? (радиус Земли равен 6380 км.)

Решение:

Пусть AB= x, BC=R=200 км, OC= r =6380 км.

OB=OA+ABOB=r + x.

Используя теорему Пифагора, получим Ответ: 2,3 км.

Как рассчитать высоту шкафа-купе?

Рисунок 8. Расчёт высоты шкафа-купе.

На первый взгляд ничего особенного: снять размеры высоты от пола до потолка в нескольких точках, отнять несколько сантиметров, чтобы шкаф не упирался в потолок. Поступив так, в процессе сборки мебели могут возникнуть трудности. Ведь сборку каркаса мебельщики выполняют, располагая шкаф в горизонтальном положении, а когда каркас собран, поднимают его в вертикальное положение. Рассмотрим боковую стенку шкафа. Высота шкафа должна быть на 10 см меньше расстояния от пола до потолка при условии, что это расстояние не превышает 2500 мм. А глубина шкафа – 700 мм. Почему на 10 см, а не на 5 см или на 7, и причем здесь теорема Пифагора?

Итак: боковая стенка 2500-100=2400(мм)- максимальная высота конструкции.

Боковая стенка в процессе подъема каркаса должна свободно пройти как по высоте, так и по диагонали. По теореме Пифагора

АС= √ АВ² + ВС²

АС= √ 2400²+ 700² = 2500 (мм)

Что произойдет если высоту шкафа уменьшить на 50 мм?

АС= √ 2450²+ 700 ²= 2548 (мм)

Диагональ 2548 мм. Значит, шкаф не поставишь (можно испортить потолок).

Крыша

Рисунок 9. Расчет высоты крыши.

При строительстве домов и коттеджей часто встает вопрос о длине стропил для крыши, если уже изготовлены балки. Например: в доме задумано построить двускатную крышу (форма в сечении). Какой длины должны быть стропила, если изготовлены балки AC=8 м., и AB=BF.(См. рисунок)

Решение:

Треугольник ADC— равнобедренный АВ=ВС=4 м, BF=4 м, Если предположить, что FD=1,5 м, тогда:

А) Из треугольника DBC: DB=2,5 м DС=  =  =  .

Б) Из треугольника ABF: AF=  =   5,7.

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

Задание 1

Итак, дано:

Длина одного из катетов равняется 48, гипотенузы – 80.

Длина катета равняется 84, гипотенузы – 91.

Решение:

a) Подстановка данных в приведённое выше уравнение даёт следующие результаты:

48²+ b² = 80²

2304 + b² = 6400

b² = 4096

b = 64 или b = -64

Поскольку длина стороны треугольника не может быть выражена отрицательным числом, второй вариант автоматически отбрасывается.

Ответ к первому рисунку: b = 64.

b) Длина катета второго треугольника находится тем же способом:

84²+ b² = 91²

7056 + b² = 8281

b² = 1225

b = 35 или b = -35

Отрицательное решение отбрасывается.

Ответ ко второму рисунку: b = 35

Задание 2

Сперва найдем длину наибольшего отрезка, образованного точками с координатами (-2, -3) и (5, -2). Для этого используем известную формулу для нахождения расстояния между точками в прямоугольной системе координат:

Аналогично находим длину отрезка, заключенного между точками с координатами (-2, -3) и (2, 1):

Наконец, определяем длину отрезка между точками с координатами (2, 1) и (5, -2):

Поскольку имеет место равенство:

то соответствующий треугольник является прямоугольным.

Таким образом, можно сформулировать ответ к задаче: поскольку сумма квадратов сторон с наименьшей длиной равняется квадрату стороны с наибольшей длиной, точки являются вершинами прямоугольного треугольника.

Задание 3

Дано: ∆АВС

CD ⊥ AB, AD = BC, AB = 3, CD = √3

Найти: АС.

Решение:

1) Примем ВС = AD = х, следовательно, в ∆DBC: ВС² = DC² + DB².

х² = (√3)² + (3 - x)²; х² = 3 + 9 – 6x + x²; 6x = 12; x = 2; BС = AD = 2 см.

2) В ∆АОС: АС² = АD² + ОС²; АС² = 4 + 3 = 7; АС = √7.

Ответ: √7.

Задание 4

Дано: расстояние от точки R до точки P (катет треугольника) равняется 24, от точки R до точки Q (гипотенуза) – 26.

Итак, помогаем Вите решить задачу. Поскольку стороны треугольника, изображённого на рисунке, предположительно образуют прямоугольный треугольник, для нахождения длины третьей стороны можно использовать теорему Пифагора:

Итак, ширина пруда составляет 10 метров.

Задание 5

Задание 6

Нам дано:

Длины меньших сторон треугольника равны 45 и 55 соответственно, большей – 75.

Длины меньших сторон треугольника равны 28 и 45 соответственно, большей – 53.

Решаем задачу:

a) Необходимо проверить, равна ли сумма квадратов длин меньших сторон данного треугольника квадрату длины большей:

75²= 5625

45²+ 55² = 2025 + 3025 = 5050

5625 ≠ 5050

Следовательно, первый треугольник не является прямоугольным.

b) Выполняется та же самая операция:

53²= 2809

28²+ 45² = 784 + 2025 = 2809

2809 = 2809

Следовательно, второй треугольник является прямоугольным.

Задание 7

На вершинах двух елок сидят две вороны. Высота елок равна 4 м и 6 м. Расстояние между ними равно 10 м. На каком расстоянии нужно положить сыр для этих ворон, чтобы они находились в равных условиях, т.е. чтобы расстояния от них до сыра было одинаковым?

Решение.
Составим схему задачи.

Поскольку ели растут вертикально, то AEB и DEC - прямоугольные треугольники.
Откуда
AB² + BE² = AE²
CD² + СE² = DE²

Поскольку птицы должны быть в равных условиях, то BE = CE, откуда
AB² + BE² = CD² + CE²

Из условия задачи мы знаем, что AB = 4, а CD = 6 (или наоборот, что не имеет значения), тогда
BE² +4² =CE² +6²
BE² + 16 = CE² + 36

Поскольку, по условию задачи CE + BE = 10, то

BE = 10 - CE

тогда

( 10 - CE )2 + 16 = CE2 + 36

100 - 20CE + CE2 + 16 = CE2 + 36

80 = 20CE

CE = 4

Откуда BE = 10 - 4 = 6

Исходя из этого, поскольку

AB2 + BE2 = AE2

42 + 62 = AE2

AE2 = 52

AE = 2√13

Таким образом, расстояние между сыром и воронами 2√13 м

Ответ: AE = 2√13 м

Задание 8

От столба высотой 9 м к дому натянут провод, который крепится на высоте 3 м от земли (см. рисунок). Расстояние от дома до столба 8 м. Вычислите длину провода.

Решение.

Проведём отрезок, параллельный горизонтальной прямой, как показано на рисунке. Таким образом, задача сводится к нахождению гипотенузы прямоугольного треугольника; обозначим её за  По теореме Пифагора:

Ответ: 10.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Важность теоремы состоит, прежде всего, в том, что из нее или с ее помощью можно вывести большинство теорем геометрии. В работе представлена связь между теоремой Пифагора и другими дисциплинами; её практическая значимость. Я попыталась собрать и обобщить информацию по данной теме. Мною было прочитано, изучено огромное количество литературы, посещено множество сайтов. Наука математика, через теорему Пифагора тесно связана с искусством, музыкой, философией, астрономией.

Геометрия владеет двумя сокровищами: одно из них – это теорема Пифагора, а другое деление отрезка в среднем и крайнем отношении. Первое можно сравнить с мерой золота, второе же больше напоминает драгоценный камень»

Иоганн Кеплер

Так, можно сказать, что теорема Пифагора – это одно из двух имеющихся в геометрии сокровищ. И за эту ценность мы должны быть благодарны Пифагору. Именно он воспитал в человечестве веру в могущество разума, убеждённость в познаваемости природы, уверенность в том, что ключом к тайнам мироздания является математика. В ходе своих исследований я выяснила, что заслуга Пифагора состояла в том, что он дал полноценное научное доказательство теоремы. На основании всего вышеизложенного можно сказать:

Теорема Пифагора на протяжении многих веков служит толчком к интересным и важным математическим открытиям (теорема Ферма, теория относительности Эйнштейна);

Теорема Пифагора имеет огромное применение в практике.

Способы доказательства теоремы Пифагора могут быть разнообразны и удивительны

Из теоремы Пифагора или с ее помощью можно вывести большинство теорем геометрии

Во время работы над проектом мне пришла идея составить тест, который поможет лучше разобраться в данной теме и укрепить свои знания

Список использованных источников:

Математика: Справочник школьника и студента / Б. Франк и др.; Перевод с нем. – 3-е изд., стереотип. – М.: Дрофа, 2003.

Геометрия, 7-9 классы: учебник для общеобразовательный организаций / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов и др. – М.: Просвещение, 2015

Чистяков В.Д. Старинные задачи по элементарной математике. Минск, 1978.

Учебник «Геометрия 7-9» А.В.Погорелов.М:Просвещение,2009

Войтикова Н.В. «Теорема Пифагора» курсовая работа, Анжеро-Судженск, 1999г.

Энциклопедический словарь юного математика. Сост. А.П. Савин. – М.: Педагогика, 1985.

Пельтуер А. Кто вы Пифагор? – М.: Знание – сила, № 12, 1994.

Еленьский Щ. По следам Пифагора. М., 1961.

http://www.hintfox.com/article/teorema-pifagora-i-ee-aktyalnost.html

https://www.webmath.ru/poleznoe/formules_19_1.php

https://the-biografii.ru/uchenye/342-biografiya-pifagora.html