Урок предпрофильного курса по теме: «Метод областей как один их самых рациональных методов решения неравенств и систем неравенств с параметрами».
«Крупное научное открытие даёт решение крупной проблемы , но и в решении любой задачи присутствует крупица открытия»
Блез Паскаль.(слайд 1, 2).
Проблема исследования на уроке: подтверждение гипотезы о том, что метод областей является методом интервалов на плоскости.
Предметом исследования являются неравенства и системы неравенств, содержащие параметры, и методы их решения.(слайд3).
Цели исследования : ( слайды 4, 5).
1.Рассмотреть метод областей как один из приемов решения неравенств и систем неравенств на плоскости..
2. Показать типы задач, которые могут быть решены с помощью данного метода.
3. Научить ребят выбирать те задачи, которые можно решить этим методом.
Ход занятия.
Учитель предлагает решить неравенство ≤ 0.
Вспоминаем: какой способ решения дробно-рациональных неравенств мы знаем. И пробуем решить с помощью метода интервалов в группах. Убеждаемся, что применение метода интервалов уже в этом случае затруднено, так как взаимное расположение точек, отмечаемых на числовой оси, может изменяться в зависимости от значений параметра. Это означает необходимость сравнивать их между собой и рассматривать различные случаи. Встает вопрос о том, а можно ли по-другому решить данное неравенство, не прибегая к сравнениям. В этой ситуации нам может помочь метод областей.
Учитель сообщает тему урока и рассматривает алгоритм решения неравенств и систем неравенств с параметром методом областей.
Итак, при решении неравенств «методом областей» необходимо: ( слайд 6).
разложить данное неравенство на множители;
найти и построить уравнения заданных функций, разбивающих координатную плоскость на «частичные области»;
определить знак неравенства в каждой из получившихся областей;
ответить на заданный вопрос.
Выясняем общее и различия данного метода с методом интервалов.
После этого объясняю решение примера 1, используя слайд 7.
Пример 1.Найти все значения а, при которых неравенство
(1) выполняется для всех хиз промежутка 2 ≤ х≤ 3. (2)
Решение. Найдем решение неравенства (1).
На КП-плоскости числитель обращается в нуль на прямой х = 3а + 1, а знаменатель - на прямой х = 2– 2а. Эти прямые разбивают КП-плоскость на четыре частичные области I–IV.
В каждой из частичных областей выражениеF(a,x) с двумя переменными сохраняет знак и меняет его при переходе через границы этих областей. Чтобы установить знакF(a,x) в какой-либо из областей I-IV, достаточно взять любую точку из этой области.
Например, при а = 1, х = 2, F(1, 2) 0. Следовательно, всюду в I области
F(a,x) 0.
Аналогично, определяя знак выражения F(a,x)в других областях, получим, что неравенство выполняется в I и III областях, причем граница х = 3а + 1 является его решением, а граница х = 2– 2а не принадлежит множеству решений рассматриваемого неравенства .
Пересечение данного множества с множеством точек, удовлетворяющих неравенству (2) дает решение неравенства (1) на промежутке 2 ≤ х≤ 3.
Следовательно, неравенство (1) выполняется сразу для всех х из промежутка (2) при
а < – и а ≥ .
Ответ. а < –, а ≥ .
Следующий этап: применяем метод областей к решению системы неравенств. Для этого решаем пример 2 ( слайды 8, 9).
Пример 2.
Найти наименьшее значение параметра а , при котором система имеет хотя бы одно решение:
На плоскости (х;а) изобразим множество точек, удовлетворяющих системе.
а)Рассмотрим
f(х;а)=
f(х;a)=0, если
f(1;0)=0-|1|=-1<0
б)
Рассмотрим
f(х;а)=
f(х;a)=0, если
Это квадратичная функция, график – парабола,
Ветви вверх, вершина (1;-1) , х= 1 ось
симметрии. f(1;0)= 12 -2∙1-1=-2<0
Наименьшее значение параметра а, при котором система имеет хотя бы одно решение равно -1.
Ответ: -1.
Для закрепления метода областей идет работа в группах. Все решают пример 3. При необходимости обращаются за помощью к учителю. Затем проверяем решение с помощью презентации. ( слайды 10, 11).
После этого я прошу по группам выбрать в предложенных сборниках ЕГЭ те задания, которые можно решить с помощью данного метода. Эти задания я даю группам на дом для того, чтобы к следующему уроку они подготовили проект от группы.
. В ходе работы делаем вывод, что более простым является метод областей. Кроме этого метод позволяет решить большее количество задач. Часто при решении заданий с параметрами решение аналитическим способом является очень длинным и не всегда рациональным, тогда как решение этого задания методом областей значительно упрощает «выкладки» и дает возможность наглядно увидеть его решение.
Прошу учеников определить общие признаки задач подходящих под рассматриваемые методы:
В задаче дан один параметр а и одна переменная х.
Они образуют некоторые аналитические выражения F(x,a),G(x,a).
Графики уравнений F(x,a) =0, G(x,a) =0 строятся несложно.
И наконец-то делаем вывод, что метод областей является методом интервалов на плоскости. ( слайд 12).
IY.Рефлексия.
Учитель задает вопрос, что понравилось на уроке и предлагает 7 вариантов ответов: (слайд 13).
1.Возможность работать с товарищами в группе.
2.Интересные и занимательные задачи.
3.У меня все здорово получалось.
4.Необычная ситуация.
5.Одобрение учителя .
6.На практике применил свои знания.
Ученики высказывают свои мнения.
Урок заканчивается словами Леонардо да Винчи:
«Знания, не рождённые опытом, матерью всякой достоверности, бесплодны и полны ошибок». ( слайд 14).
Приложение 2 (презентация).
Домашнее задание.
Применение метода областей при подготовке к проекту для групп.
Пример 1.(Лысенко 2012 г.). (группа 1)
-= 0
D= - 4ас = - 4() = 9 - 6а + 1 – 8 +4а = - 2а + 1 = . Х1,2 = .
Х1 = == 2а – 1. х2 = = = а.
( х – 2а + 1) (х – а) 0.
Используем метод областей.
Вводим прямоугольную систему координат аох и строим графики:
х – 2а + 1 = 0, х = 2а – 1.
х – а = 0, х = а.
Определяем знак 1 области. Возьмем точку (2;0)
(0 – 4 + 1) ( 0 – 2) 0, тогда во 2 обл. знак минус, в 3-ей – плюс, в 4-ой – минус.
Построим график уравнения ах = 1.
Система имеет решения если а
а3 = 1, а1 найдем из уравнения = а,
= 1, а = ±1. а1 = -1, а3 = 1.
а2 найдем из уравнения
= 2а – 1.
2- а = 1, 2- а – 1 = 0.
а1,2 = = .
а1 = 1, а2= -.
Ответ: а .
Пример 2.(Лысенко 2012 г.) (группа 2).
= 0.
D= - 4ас = – 4(3 – а) = 16- 8а +1 - 12 + 4а= 4 - 4а + 1 = .
Х1,2 = . Х1 = = = 3а – 1.
Х2 = = = а. (х – 3а + 1) (х – а) 0.
Используем метод областей.
Вводим прямоугольную систему координат аОх и строим графики
х – 3а + 1 = 0, х = 3а – 1. х – а = 0, х = а.
Определяем знак 1 области. Возьмем точку (2;0): (0 – 6 + 1) (0 – 2) 0.
Знак в 1-ой четверти- плюс, во 2-ой знак минус, в 3-ей – плюс, в 4-ой – минус.
Построим график уравнения ах = 4, х = -гипербола
Система имеет решение если а.
а1 и а4 найдем из уравнения = а, 4 = , а = 2 ,
Поэтому а1 = -2, а4 = 2.
а2 и а3 найдем из уравнения
= 3а -1, 4 = 3 - а,
3- а – 4 = 0,
а2 = -1, а3 = 1.
Ответ: а (-2; -1) (1 ; 2).
Пример 3. (ФИПИ 2011 г.). (группа 3).
Найдите все значения а, при каждом из которых общие решения неравенств
и образуют на числовой оси отрезок длины единица.
Решение.
а) Найдем а, при которых система неравенств (1) имеет решения:
Преобразуем систему:
а)
Рассмотрим
f(х;а)=
f(х;a)=0, если
Это квадратичная функция, график – парабола, ветви вверх, вершина
(1; 0), х=1 ось симметрии. f(0;0)=1-0>0
б)
Рассмотрим f(х;а)=
f(х;a)=0, если ,
Это квадратичная функция, график – парабола, ветви вниз, вершина
(2; ), х=2 – ось симметрии. f(0;-1)=4-5-4=-5<0
Система неравенств имеет решение, если aϵ [0; ].
Решения неравенств образуют на числовой оси отрезок длины единица,
при а=1 и а= ¼
Действительно, точки (½;¼) и (³∕₂;¼) принадлежат графику
а=(х-1)2 , расстояние между ними равно |³∕₂ - ½|=1.
Расстояние между точками (1;1) и (2;1) графиков
а= -1∕6 (х-2)2 +5∕4 и
а=(х-1)2 равно |2-1|=1.
Решения неравенств образуют на числовой оси отрезок длины единица,
при а=1 и а= ¼
Ответ: а=1 и а= ¼
