Линейные уравнения
Уравнение с одним неизвестным, которое после раскрытия скобок и приведения подобных членов принимает вид , где a и b произвольные числа, называется линейным уравнением с одним неизвестным.
Сегодня вспомним, как такие уравнения решать.
Например, все уравнения:
- линейные.
Значение неизвестного, обращающее уравнение в верное равенство называется решением или корнем уравнения.
Например, если в уравнении 3х + 7 = 13 вместо неизвестного х подставить число 2, то получим верное равенство 3∙2 +7 = 13. Значит, значение х = 2 есть решение или корень уравнения.
А значение х = 3 не обращает уравнение 3х + 7 = 13 в верное равенство, так как 3∙2 +7 ≠ 13. Значит, значение х = 3 не является решением или корнем уравнения.
Решение любых линейных уравнений сводится к решению уравнений вида .
Перенесем свободный член из левой части уравнения в правую, изменив при этом знак перед b на противоположный, получим
.
Если a ≠ 0, то .
Пример 1. Решить уравнение.
Данное уравнение имеет единственный корень
Ответ.
Равенство выполняется при любом значении х, значит, уравнение имеет бесконечно много корней.
Ответ. .
Равенство неверное при любом значениих, следовательно, уравнение корней не имеет.
Ответ. .
Целые рациональные уравнения
Целыми рациональными называются уравнения, которые не содержат в знаменателе переменной, для упрощения вычислений они домножаются на наименьший общий знаменатель дробей, входящих в уравнение.
Разновидностей целых рациональных уравнений довольно много, но сегодня мы рассмотрим лишь те, что сводятся к линейным.
Пример 2. Решить уравнение:
Данное уравнение является целым рациональным уравнением, домножим обе его части на наименьший общий знаменатель всех дробей, в нашем случае – это число 10. Для того, чтобы не запутаться при переходе, обязательно подписываем у каждой дроби дополнительные множители! Обратите также внимание, что абсолютно все члены уравнения умножаются на общий знаменатель!
Далее действуем как в обыкновенном линейном уравнении. Переносим все, что с «иксом» в левую часть уравнения, без «икса» – в правую, меняя при переносе знаки на противоположные.
Ответ. .
Линейные уравнения с модулем
Модулем положительного числа называется само число, модулем отрицательного числа называется противоположное ему число, модуль нуля - нуль.
Противоположными называются числа, которые отличается только знаком. Если число положительное, то противоположное ему отрицательное число и наоборот. Число нуль является противоположным самому себе.
Ещё один важный факт: модуль никогда не бывает отрицательным. Какое бы число мы ни взяли — хоть положительное, хоть отрицательное — его модуль всегда оказывается положительным (или в крайнем случае нулём). Именно поэтому модуль часто называют абсолютной величиной числа.
Ну хорошо, с определением разобрались. Но как же решать уравнения, содержащие этот самый модуль?
Пример 3. Начнём с самых простых вещей. Рассмотрим такой пример:
Итак, модуль x равен 3. Чему может быть равен x? Исходя из определения, нас вполне устроит . Действительно:
А есть ли другие числа? Например, — ведь для него тоже , т.е. требуемое равенство выполняется.
Так может, если поискать, подумать, мы найдём ещё числа? Но нет, больше таких чисел нет. Уравнение имеет лишь два корня: и .
Ответ. .
Пример 4. Возьмем пример похожий:
Как уже говорилось ранее, модуль всегда положительный, соответственно равняться никак не может. Это значит, что данное уравнение не имеет решений.
Ответ. .
Таким образом при решении уравнений с одним модулем нужно рассматривать 2 варианта – когда под знаком модуля положительное число и когда отрицательное, при этом, если модуль оказался равным отрицательному числу, то уравнение корней не имеет. Простейшие уравнения с модулем решаются по следующей схеме.
Пусть нам дано уравнение , причём (иначе, как мы уже знаем, корней нет). Тогда можно избавиться от знака модуля по следующему правилу:
Таким образом, наше уравнение с модулем распадается на два, но уже без модуля. Вот и вся технология! Попробуем решить парочку уравнений.
Пример 5. Начнём вот с такого
Отдельно рассмотрим, когда справа стоит десятка с плюсом, и отдельно — когда с минусом. Имеем:
Вот и всё! Получили два корня: и . Всё решение заняло буквально две строчки.
Ответ. и
Пример 6. Теперь давайте рассмотрим что-нибудь чуть посерьёзнее:
Опять раскрываем модуль с плюсом и минусом:
Пара строчек — и ответ готов! Нужно лишь запомнить несколько правил.
Ответ. и
Идём дальше и приступаем к действительно более сложным задачам.
Пример 7. Рассмотрим вот такое уравнение:
Это уравнение принципиально отличается от всех предыдущих. Чем? А тем, что справа от знака равенства стоит выражение — и мы не можем заранее знать, положительное оно или отрицательное.
Как быть в таком случае? Во-первых, надо раз и навсегда понять, что если правая часть уравнения окажется отрицательной, то уравнение не будет иметь корней — мы уже знаем, что модуль не может быть равен отрицательному числу.
А во-вторых, если правая часть всё-таки положительна (или равна нулю), то можно действовать точно так же, как раньше: просто раскрыть модуль отдельно со знаком «плюс» и отдельно — со знаком «минус».
Таким образом, сформулируем правило для произвольных функций и
Применительно к нашему уравнению получим:
Ну, с требованием мы как-нибудь справимся, для этого нужно подставить корни, которые мы получим из первого уравнения, и проверить: выполняется неравенство или нет.
Поэтому решим само уравнение:
Осталось выяснить, какой их этих двух корней удовлетворяет требованию ? Да оба! Поэтому в ответ пойдут два числа: и . Вот и всё решение.
Ответ. и .
И напоследок еще одно уравнение.
Пример 8. Решить уравнение
Уравнение распадается на два случая, в зависимости от знака выражения под модулем. Другими словами, оно равносильно совокупности двух систем:
Решение первой системы: . У второй системы решений нет (проверьте самостоятельно).
Ответ. 1.
