Линейные и целые рациональные неравенства
Линейными называются неравенства, у которых полная степень составляющих его многочленов равна единице.
Целыми рациональными называются неравенства, которые не содержат в знаменателе переменной, они сводятся к линейным домножением обеих частей на наименьший общий знаменатель дробей, входящих в неравенство.
Напомним, что неравенства бывают строгими (знаки >, <) и нестрогими (знаки ). В зависимости от их типа у строгих неравенств точки решения отмечаются незакрашенными кружочками, скобки промежутков решения круглые «( )», у нестрогих, соответственно – закрашенные кружочки и квадратные «[ ]» скобки промежутков.
Пример 1. Решить неравенство
Раскрыв скобки, получим:
Переносим переменные в одну часть, свободные члены – в другую, меняя при переносе знак на противоположный.
Делим обе части неравенства на (-9), при этом, так как число отрицательное, знак неравенства сменится.
Отмечаем решение неравенства на числовой оси; так как неравенство нестрогое, точка отмечается закрашенным кружочком (это означает, что данная точка входит в интервал решения неравенства):
Ответ. .
Пример 2. Решить неравенство:
Данное неравенство является целым рациональным, сводится к линейному, как и в случае уравнений, умножением обеих частей на наименьший общий знаменатель. В нашем случае таким знаменателем будет число 6, причем, так как 6 – положительное число, то знак неравенства не изменится.
Переносим все, что с «иксом» в левую часть, без «икса» – в правую, при этом знак неравенства не меняется.
Делим обе части неравенства на (12), учтем, что мы делим на отрицательное число, следовательно, знак неравенства изменится на противоположный.
Отмечаем решение неравенства на числовой оси; так как неравенство нестрогое, точка отмечается закрашенным кружочком (это означает, что данная точка входит в интервал решения неравенства):
Ответ. .
Линейные неравенства с модулем
Определение модуля
Его мы уже повторяли, но все же. Есть два определения: алгебраическое и графическое. Для начала — алгебраическое.
Модуль числа x — это либо само это число, если оно неотрицательно, либо число, ему противоположное, если исходный x — всё-таки отрицателен.
Записывается это так:
Говоря простым языком, модуль — это «число без минуса». И именно в этой двойственности (где-то с исходным числом ничего не надо делать, а где-то придётся убрать какой-то там минус) и заключается вся сложность.
Есть ещё геометрическое определение. Его тоже полезно знать, но обращаться к нему мы будем лишь в сложных и каких-то специальных случаях, где геометрический подход удобнее алгебраического.
Пусть на числовой прямой отмечена точка a. Тогда модулем |x−a| называется расстояние от точки x до точки a на этой прямой.
Если начертить картинку, то получится следующее:
Графическое определение модуля
Так или иначе, из определения модуля сразу следует его ключевое свойство: модуль числа всегда является величиной неотрицательной. Этот факт будет красной нитью идти через всё наше сегодняшнее повествование.
Простейшие неравенства с модулем решаются по следующей схеме, подобной схеме решения уравнений с модулем:
1. Неравенства вида «Модуль меньше функции»
Это одна из самых часто встречающихся задач с модулями. Требуется решить неравенство вида:
В роли функций f и g может выступать что угодно, но обычно это многочлены. Пример такого неравенства: .
Все они решаются буквально в одну строчку по схеме:
Нетрудно заметить, что избавляемся от модуля, но взамен получаем двойное неравенство (или, что тоже самое, систему из двух неравенств). Зато этот переход учитывает абсолютно все возможные проблемы: если число под модулем положительно, метод работает; если отрицательно — всё равно работает; и даже при самой неадекватной функции на месте f или g метод всё равно сработает.
Естественно, возникает вопрос: а проще нельзя? К сожалению, нельзя. В этом вся фишка модуля.
Впрочем, хватит философствовать. Давайте решим парочку задач:
Пример 3. Решите неравенство:
Итак, перед нами классическое неравенство вида «модуль меньше» — даже
Не торопитесь раскрывать скобки, перед которыми стоит «минус»: вполне возможно, что из-за спешки вы допустите обидную ошибку.
Поскольку дальше нужно решить каждое неравенство отдельно, пора переходить к системе (можно было сделать это и раньше, но тогда решение получится чуть более громоздким):
Задача свелась к двум элементарным неравенствам. Отметим их решения на параллельных числовых прямых:
Пересечение множеств
Пересечением этих множеств и будет ответ.
Ответ.
2. Неравенства вида «Модуль больше функции»
Выглядят они так:
Похоже на предыдущее? Похоже. И тем не менее решаются такие задачи совсем по-другому. Формально схема следующая:
Другими словами, мы рассматриваем два случая:
Сначала просто игнорируем модуль — решаем обычное неравенство;
Затем по сути раскрываем модуль со знаком «минус», а затем умножаем обе части неравенства на −1, меня при этом знак.
При этом варианты объединены квадратной скобкой, т.е. перед нами совокупность двух требований.
Обратите внимание ещё раз: перед нами не система, а совокупность, поэтому в ответе множества объединяются, а не пересекаются. Это принципиальное отличие от предыдущего пункта!
Вообще, с объединениями и пересечениями у многих студентов сплошная путаница, поэтому давайте разберёмся в этом вопросе раз и навсегда:
«∪» — это знак объединения. По сути, это стилизованная буква «U», которая пришла к нам из английского языка и является аббревиатурой от «Union», т.е. «Объединения».
«∩» — это знак пересечения. Этот значок возник как противопоставление к «∪».
В переводе на русский это означает следующее: объединение (совокупность) включает в себя элементы из обоих множеств, поэтому никак не меньше каждого из них; а вот пересечение (система) включает в себя лишь те элементы, которые одновременно находятся и в первом множестве, и во втором. Поэтому пересечение множеств никогда не бывает больше множеств-исходников.
Так стало понятнее? Вот и отлично. Переходим к практике.
Пример 4. Решите неравенство:
Действуем по схеме:
Решаем каждое неравенство совокупности:
Отмечаем каждое полученное множество на числовой прямой, а затем объединяем их:
Объединение множеств
Совершенно очевидно, что ответом будет .
Ответ. .
.png)
.png)
